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Wn bande passante du filtre (fréquence haute de la bande passante pour un Enfin, Matlab, poss`ede des fonctions permettant d'estimer Butterworth >> [z, p
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Il est donc nécessaire de pré-déformer le gabarit du filtre analogique Sous Matlab, on peut aussi générer des filtres de type Butterworth, Tchebyscheff par les
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Filtre de Butterworth : définition et propriétés 10-1 100 101 -100 -90 -80 -70 - 60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Gain en dB pour N=1, 2, 3, 4, 5 Programme Matlab
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Filtre Passe-Bande Exemple Matlab N = 10; order butterworth ordre 10 [ZB, PB, KB] = buttap(N); numzb = poly([ZB]); denpb = poly([PB]); wo = 600; bw = 200;
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phase du filtre numérique (voir l'annexe A décrivant ce programme Matlab) Ce logiciel vous permet de choisir entre la synthèse de filtres RII (Butterworth ou
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du filtre lorsque le signal n'est pas purement sinusoïdal (propagation de paquets Sous Matlab, les fréquences de coupure sont normalisées par rapport à fe / 2 H(f) cahier des charges demandées (filtre de type Butterworth par exemple)
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ETUDE DE FILTRES NUMÉRIQUES 1 2 Fonctions MATLAB á « [b, a] = butter(n/2, ∆f) » fournit les coefficients du filtre de Butterworth d'ordre n (pair de
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1 3 Signaux 2 Filtrage 2 1 Introduction 2 6 Synthèse d'un filtre RII 2 2 Filtre analogique 2 8 Application au filtre de Butterworth 3 2 Filtrage avec Matlab 4
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Coder un filtre en Matlab, c ou assembleur Un filtre RII est spécifié par les valeurs des pôles et des zéros de H(z) (au Filtres de Butterworth – Filtres de
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On s'intéresse à la famille des filtres de Butterworth La fonction butter de Matlab permet d'obtenir les coefficients du filtre sous forme des coefficients apparaissant
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TP de FILTRAGE
e sTP DE FILTRAGE................................................................................................................................................1
1 ETUDE DE FILTRES NUMÉRIQUES ......................................................................................................2
1.1 GABARIT D"UN FILTRE..............................................................................................................................2
1.2 FONCTIONS MATLAB.............................................................................................................................2
1.3 A2 ESTIMATION DE GAIN COMPLEXE.....................................................................................................3
2.1 I 2.2 OUTILS :...................................................................................................................................................3
2.3 ALGORITHME :.........................................................................................................................................3
2.4 S H - 2 -1 Etude de filtres numériques
1.1Gabarit d"un filtre
Le gabarit d"un filtre n"est autre que l"ensemble des caractéristiques du filtre, à savoir :á Le gain du filtre dans la bande passante.
á L"atténuation du filtre en bande coupée.á La fréquence de coupure f
c , on l"exprime souvent sous forme normalisée par rapport à la fréquence d"échantillonnage. Elle vérifie | TF{h}(f c ) | = max{ | TF{h}(f) | } / 2 á La largeur de bande de transition souhaitée qui doit être la plus petite possible. á Les éventuelles oscillations en bande passante et/ou atténuée.1.2 Fonctions MATLAB
Soit h(z) la transformée en z d"un filtre numérique donné dont la décomposition sous forme fraction
rationnelle est donnée par : h(z) = b(1) + b(2) z -1 + ... + b(nb+1) z -nb1 + a(2) z
-1 + ... + a(na+1) z -naá " s = filter(b, a, e) » filtre numériquement les données stockées dans le vecteur e avec le filtre décrit à
la fois par le vecteur b (coefficients du numérateur de h(z)) et le vecteur a (coefficients dudénominateur de h(z)). Imposons au vecteur a de commencer par un 1. Notons que la fonction " filter »
permet tout autant de construire un filtre récursif (RII) qu"un filtre non récursif (RIF).á " [h, w
] = freqz((b, a, N, f e ) » retourne N valeurs du gain complexe du filtre numérique échantillonné à la fréquence f e (en Hertz), décrit par b et a. Ces valeurs sont stockées dans h et calculées pour N pulsations stockées dans w. Les pulsations sont equi-espacés sur l"intervalle [0, p].á " [h, t] = impz(b, a, N, f
e ) » retourne la réponse impulsionnelle du filtre numérique décrit par b et a. La réponse impulsionnelle est calculée en N instants stockés dans t et espacés de 1/f e , les valeurs de réponse correspondante sont stockées dans h.á " [b, a] = butter(n/2, Df) » fournit les coefficients du filtre de Butterworth d"ordre n (pair de
préférence). La bande passante du filtre doit être comprise entre 0 et f e /2. Les bornes de cette bande passante, f 1 et f 2 , normalisées par f e /2, sont stockées dans le vecteur Df.á " [b, a
] = cheby1(n/2, R p , Df) » fournit les coefficients du filtre de Chebyshev d"ordre n, de bande passante Df et de R p dB d"ondulations dans la bande passante.á " [b, a
] = ellip(n/2, R p , R s , Df) » fournit les coefficients du filtre de Cauer d"ordre n, de bande passante Df, R p dB d"ondulations dans la bande passante et R s dB dans la bande atténuée.á " stem(t, e
) » donne une représentation graphique adéquate d"un signal numérique e dont les instants
d"échantillonnage sont stockés dans t.á " s = fft(e, N) » calcule la transformée de Fourier discrète du signal numérique e en N points à l"aide de
l"algorithme Fast Fourier Transform (FFT). Afin d"accroître la rapidité de calcul, prendre pour n une
puissance de deux.1.3 Application
Comparer les gabarits des filtres passe bande de Butterworth, de Chebyshev et de Cauer d"ordre 2. On choisira
pour chacun une fréquence d"échantillonnage de 800 Hz, une bande passante comprise entre 200 et 300 Hz. On
- 3 -prendra également 6dB d"ondulation dans la bande passante et 20dB dans la bande d"atténuation. Puis augmenter
l"ordre des filtres, que remarque-t-on ?2 Estimation de gain complexe
2.1Introduction
La meilleure manière de caractériser un filtre linéaire, continu, invariant (LCI) H est d"identifier sa réponse
impulsionnelle h dans le domaine temporel ou bien son gain complexe dans le domaine fréquentiel TF{h}. De ce
fait, nous allons ici proposer une méthode d"identification du gain complexe d"un système LCI à l"aide de la
formule des interférences, supposant bien évidemment que pour toute entrée e il nous est possible de mesurer la
sortie correspondante s du système.2.2 Outils :
Hypothèses : Signaux supposés aléatoires stationnaires au sens large d"ordre 2 et ergodiques.
á Statistique d"ordre 1 (moyenne) : m
e = E[e(t)]á Statistique d"ordre 2 (covariance) : g
se (t) = Cov(s(t), e(t-t)) = E[s(t) e(t-t)*] - E[s(t)] E[e(t-t)]* g e (t) = Cov(e(t), e(t-t)) = E[e(t) e(t-t)*] - E[e(t)] E[e(t-t)]*á Formule des interférences : TF{g
se (t)}(f) = TF{g e (t)}(f) TF{h(t)}(f)á Estimation empirique de g
se (t) : g se ^(t) = N-1ån=1
N-t { (s(n+t)- m s ^]) (e(n)- m e ^)*} pour 0 £ t £ N - 12.3 Algorithme :
á Exciter le système avec un signal dont la densité spectrale soit aussi plate que possible sur toute la
gamme de fréquences où la fonction de transfert est non nulle (générateur de bruit pseudo blanc).
á Estimer la densité spectrale TF{g
se (t)}(f) de l"intercorrélation entre le signal d"entrée et le signal desortie. La sortie est obtenue en filtrant le bruit pseudo blanc considéré comme signal d"entrée.
á Déduire une estimée du gain complexe du filtre considéré, et ce à partir de la formule des
interférences en tenant compte de l"approximation TF^{g e (t)}(f) » 1 lorsque l"entrée est un pseudo bruit blanc.á Réitérer K fois la manipulation et moyenner les K gains complexes obtenus : on dit ainsi moyenner
sur K réalisations.2.4 Simulation
á En pratique, on ne connaît ainsi pas la nature du système observé, on est juste en mesure de produire
la sortie s correspondant à une entrée e donnée. Toutefois, nous allons ici nous placer dans la phase
dite de " simulation », c"est-à-dire dans la phase de validation de l"algorithme : on choisit un filtre
dont on connaît la réponse impulsionnelle ainsi que le gain complexe, on est alors en mesure de créer
à partir d"une entrée, la sortie correspondante, de ce fait on va estimer le gain complexe du filtre en
appliquant l"algorithme. Il nous sera alors possible de vérifier le résultat en le comparant au gain
complexe exact et de tester l"efficacité de l"algorithme.á Prendre pour filtre numérique le filtre de Butterworth d"ordre n = 2 avec pour bande passante celle
employée au paragraphe précédent. Comparer graphiquement l"estimée du gain complexe avec l"original. Faites varier successivement K, N (le nombre d"échantillons) et n, qu"observez-vous ? á Même exercice avec le filtre de Tchebychev d"ordre 2.quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27