[PDF] [PDF] III INTERPOLATION ET APPROXIMATION DE FONCTIONS

[PDF] III INTERPOLATION ET APPROXIMATION DE FONCTIONS

Interpolation polynomiale en 6 points On cherche une fonction simple, p(x) facile `a évaluer, passant par ces points : Interpolation par fonctions splines

[PDF] I Interpolation - Institut de Mathématiques de Toulouse

Il s'agit de l'interpolation de Lagrange de la fonction f(x) := 1 1 + x2 , −5 ≤ x ≤ 5 , soit avec noeuds equirépartis soit avec les noeuds de Chebyshev Il est 

[PDF] Chapitre 2 Interpolation polynomiale

Interpolation polynomiale 2 1 Motivations En analyse numérique, une fonction f inconnue explicitement est souvent – connue seulement en certains points x0, 

[PDF] Chapitre II Interpolation et Approximation

´Equipé du merveilleux Théor`eme de Runge, choisissons la fonction f(x) = sin x sur l'intervalle [0, 5] Cette fonction n'a aucun pôle fini, donc la convergence du 

[PDF] 1 - INTERPOLATION

Table: Explosion de l'erreur entre fonction de Runge et son interpolé de Lagrange quand n → +∞ Explication: c'est le terme prod(xn−1/2) = ∏ n i= 

[PDF] Approximation et interpolation des fonctions - Numdam

Approximation et interpolation des fonctions différentiables de plusieurs variables Annales scientifiques de l'É N S 3e série, tome 83, no 4 (1966), p 271 -341

[PDF] Interpolation - ASI

Soit une fonction f (inconnue explicitement) Il faut se restreindre à une famille de fonctions On appelle spline cubique d'interpolation une fonction notée

[PDF] Interpolation polynomiale 1 Interpolation de Lagrange

f(xi)li(x) Définition 5 – Ce polynôme s'appelle l'interpolant de la fonction f de degré n aux points x0, x1,

Interpolation des fonctions de deux variables suivant le principe de

— On montre comment interpoler une fonction connue en un nombre fini de points quelconques du plan,, en minimisant (suivant le principe des fonctions- spline) 

[PDF] Chapitre 1 : Polynôme dinterpolation de Lagrange & son utilisation

base générale base polynomiale simple Une fonction d'interpolation est toujours proposée comme une 'décomposition' sur une base connue de fonctions

[PDF] Interpolation de Lagrange

[PDF] Interpolation Numérique

[PDF] INTERPOLATION OF OPERATORS ON Lp

[PDF] Interpolation polynomiale - Anciens Et Réunions

[PDF] Interpolation polynomiale (notes de cours)

[PDF] Interpolation/Décimation 1

[PDF] Interpolations - Usure

[PDF] Interpon D2525 Collection Anodic

[PDF] Interpore Cross International

[PDF] Interpr - Icewarp France - France

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[PDF] interpretation 002 - Anciens Et Réunions

[PDF] Interprétation Albert Einstein

[PDF] interpretation cinema

[PDF] Interpretation de la notion de `effectivement actif`

III

INTERPOLATION ET APPROXIMATION

DE FONCTIONS

Analyse Numerique

Tronc Commun

Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation1

Un exemple

Evolution de la population en FranceOn considere l'evolution de la population francaise depuis 1936 :

193641183000

194639848000

195442781000

196246459000

196849655000

197552599000

198254296000

199056652000

199958521000

200560825000

Peut-on

estimer le nomb red'habitants p endantles ann eeso uil n'y a pas eu de recensement?Peut-on predire le nombre d'habitants en 2010? Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation2

Un exemple

Evolution de la population en FranceOn considere l'evolution de la population francaise depuis 1936 :

193641183000

194639848000

195442781000

196246459000

196849655000

197552599000

198254296000

199056652000

199958521000

200560825000

Peut-on

estimer le nomb red'habitants p endantles ann eeso uil n'y a pas eu de recensement?Peut-on predire le nombre d'habitants en 2010? Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation2

Un exemple

Evolution de la population en FranceOn considere l'evolution de la population francaise depuis 1936 :

193641183000

194639848000

195442781000

196246459000

196849655000

197552599000

198254296000

199056652000

199958521000

200560825000

Peut-on

estimer le nomb red'habitants p endantles ann eeso uil n'y a pas eu de recensement?Peut-on predire le nombre d'habitants en 2010? Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation2 Interpolation polynomiale en 6 points193019401950196019701980199020002010 4 4.5 5 5.5 6x 10

7Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation3

Interpolation lineaire par morceaux193019401950196019701980199020002010 4 4.5 5 5.5 6x 10

7Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation4

Moindres carres (Regression lineaire)193019401950196019701980199020002010 4 4.5 5 5.5 6x 10

7Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation5

Interpolation de Lagrange

On considere

( n+ 1)p ointsdans le plan (d'abscisses distincts) (x0;y0);(x1;y1);:::;(xn;yn)

(donnees experimentales, statistiques, ...)On cherche une fonctionsimple,p(x)facile a evaluer,passant pa rces p oints:

p(xi) =yii= 0;1;:::;nPar exemple, la fonctionppeut ^etre polynomiale : p(x) =a0+a1x+a2x2+:::+anxnAnalyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation6

Interpolation de Lagrange

On considere

( n+ 1)p ointsdans le plan (d'abscisses distincts) (x0;y0);(x1;y1);:::;(xn;yn)

(donnees experimentales, statistiques, ...)On cherche une fonctionsimple,p(x)facile a evaluer,passant pa rces p oints:

p(xi) =yii= 0;1;:::;nPar exemple, la fonctionppeut ^etre polynomiale : p(x) =a0+a1x+a2x2+:::+anxnAnalyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation6

Interpolation de Lagrange

On considere

( n+ 1)p ointsdans le plan (d'abscisses distincts) (x0;y0);(x1;y1);:::;(xn;yn)

(donnees experimentales, statistiques, ...)On cherche une fonctionsimple,p(x)facile a evaluer,passant pa rces p oints:

p(xi) =yii= 0;1;:::;nPar exemple, la fonctionppeut ^etre polynomiale : p(x) =a0+a1x+a2x2+:::+anxnAnalyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation6

Remarque

On obtient le systeme lineaire d'ordre

( n+ 1)suivant : a

0+x0a1+x20a2+:::+xn0an=y0

a

0+x1a1+x21a2+:::+xn1an=y1

a

0+xna1+x2na2+:::+xnnan=ynLa resolution de ce systeme peut ^etre en general co^uteuse et n'est pas recommandee.

Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation7

Remarque

On obtient le systeme lineaire d'ordre

( n+ 1)suivant : a

0+x0a1+x20a2+:::+xn0an=y0

a

0+x1a1+x21a2+:::+xn1an=y1

a

0+xna1+x2na2+:::+xnnan=ynLa resolution de ce systeme peut ^etre en general co^uteuse et n'est pas recommandee.

Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation7

Bases de Lagrange

Prenons l'exemple d'une interpolation lineairen= 1. On veut : a

0+a1x0=y0

a

0+a1x1=y1On denit la fonction

p(x) =y0xx1x

0x1+y1xx0x

1x0 =y0L0(x) +y1L1(x)On verie quepest un polyn^ome de degre1 et que p(x0) =y0;p(x1) =y1

Doncpest le polyn^ome recherche.D

efinitionOn dit quepest lep olyn^omed'interp olationde Lagr angeasso cieaux p oints( x0;y0), (x1;y1).Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation8

Bases de Lagrange

Prenons l'exemple d'une interpolation lineairen= 1. On veut : a

0+a1x0=y0

a

0+a1x1=y1On denit la fonction

p(x) =y0xx1x

0x1+y1xx0x

1x0 =y0L0(x) +y1L1(x)On verie quepest un polyn^ome de degre1 et que p(x0) =y0;p(x1) =y1

Doncpest le polyn^ome recherche.D

efinitionOn dit quepest lep olyn^omed'interp olationde Lagr angeasso cieaux p oints( x0;y0), (x1;y1).Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation8

Bases de Lagrange

Prenons l'exemple d'une interpolation lineairen= 1. On veut : a

0+a1x0=y0

a

0+a1x1=y1On denit la fonction

p(x) =y0xx1x

0x1+y1xx0x

1x0 =y0L0(x) +y1L1(x)On verie quepest un polyn^ome de degre1 et que p(x0) =y0;p(x1) =y1

Doncpest le polyn^ome recherche.D

efinitionOn dit quepest lep olyn^omed'interp olationde Lagr angeasso cieaux p oints( x0;y0), (x1;y1).Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation8

Bases de Lagrange

Prenons l'exemple d'une interpolation lineairen= 1. On veut : a

0+a1x0=y0

a

0+a1x1=y1On denit la fonction

p(x) =y0xx1x

0x1+y1xx0x

1x0 =y0L0(x) +y1L1(x)On verie quepest un polyn^ome de degre1 et que p(x0) =y0;p(x1) =y1

Doncpest le polyn^ome recherche.D

efinitionOn dit quepest lep olyn^omed'interp olationde Lagr angeasso cieaux p oints( x0;y0), (x1;y1).Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation8

Bases de Lagrange

On denit les polyn^omes

L i(x) =(xx0)(xx1):::(xxi1)(xxi+1):::(xxn)(xix0)(xix1):::(xixi1)(xixi+1):::(xixn)=Y j6=ixxjx ixjL iest un polyn^ome de degrenet on a L i(xj) =( 0 si i6=j; 1 si i=jMontrons que les polyn^omesLisont lineairement independants :

Soientb0;b1;:::;bn(n+ 1)r eelstels que

n X j=0b jLj(x) = 08x2R:On a, pourx=xi 0 =nX j=0b

jLj(xi) =bi:Doncbi= 0p ourtout i= 0;:::;n.Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation9

Bases de Lagrange

On denit les polyn^omes

L i(x) =(xx0)(xx1):::(xxi1)(xxi+1):::(xxn)(xix0)(xix1):::(xixi1)(xixi+1):::(xixn)=Y j6=ixxjx ixjL iest un polyn^ome de degrenet on a L i(xj) =( 0 si i6=j; 1 si i=jMontrons que les polyn^omesLisont lineairement independants :

Soientb0;b1;:::;bn(n+ 1)r eelstels que

n X j=0b jLj(x) = 08x2R:On a, pourx=xi 0 =nX j=0b

jLj(xi) =bi:Doncbi= 0p ourtout i= 0;:::;n.Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation9

Bases de Lagrange

On denit les polyn^omes

L i(x) =(xx0)(xx1):::(xxi1)(xxi+1):::(xxn)(xix0)(xix1):::(xixi1)(xixi+1):::(xixn)=Y j6=ixxjx ixjL iest un polyn^ome de degrenet on a L i(xj) =( 0 si i6=j; 1 si i=jMontrons que les polyn^omesLisont lineairement independants :

Soientb0;b1;:::;bn(n+ 1)r eelstels que

n X j=0b jLj(x) = 08x2R:On a, pourx=xi 0 =nX j=0b

jLj(xi) =bi:Doncbi= 0p ourtout i= 0;:::;n.Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation9

Bases de Lagrange

On denit les polyn^omes

L i(x) =(xx0)(xx1):::(xxi1)(xxi+1):::(xxn)(xix0)(xix1):::(xixi1)(xixi+1):::(xixn)=Y j6=ixxjx ixjL iest un polyn^ome de degrenet on a L i(xj) =( 0 si i6=j; 1 si i=jMontrons que les polyn^omesLisont lineairement independants :

Soientb0;b1;:::;bn(n+ 1)r eelstels que

n X j=0b jLj(x) = 08x2R:On a, pourx=xi 0 =nX j=0b

jLj(xi) =bi:Doncbi= 0p ourtout i= 0;:::;n.Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation9

Bases de Lagrange

On denit les polyn^omes

L i(x) =(xx0)(xx1):::(xxi1)(xxi+1):::(xxn)(xix0)(xix1):::(xixi1)(xixi+1):::(xixn)=Y j6=ixxjx ixjL iest un polyn^ome de degrenet on a L i(xj) =( 0 si i6=j; 1 si i=jMontrons que les polyn^omesLisont lineairement independants :

Soientb0;b1;:::;bn(n+ 1)r eelstels que

n X j=0b jLj(x) = 08x2R:On a, pourx=xi 0 =nX j=0b

jLj(xi) =bi:Doncbi= 0p ourtout i= 0;:::;n.Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation9

Ainsi la famille( Li)ni=0forme une base de l'espacePn(espace des polyn^omes de degre n), appeleeBase de Lagrange .On denit le polyn^ome dePn:p(x) =nX j=0y jLj(x)x2R:On verie p(xi) =nX j=0y jLj(xi) =yi;i= 0;:::;ni.e.pest un polyn^ome de Lagrange associe aux points( xi;yi). Montrons quepest unique.Soitq2Pnun autre polyn^ome de Lagrange associe aux points( xi;yi). Le polyn^ome

r=pqest dansPnet verier(xi) = 0p ouri= 0;:::;n.Puisque les polyn^omesLjsont lineairement independants, on trouver= 0. D'ou

p=q.Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation10 Ainsi la famille( Li)ni=0forme une base de l'espacePn(espace des polyn^omes de degre n), appeleeBase de Lagrange .On denit le polyn^ome dePn:p(x) =nX j=0y jLj(x)x2R:On verie p(xi) =nX j=0y jLj(xi) =yi;i= 0;:::;ni.e.pest un polyn^ome de Lagrange associe aux points( xi;yi). Montrons quepest unique.Soitq2Pnun autre polyn^ome de Lagrange associe aux points( xi;yi). Le polyn^ome

r=pqest dansPnet verier(xi) = 0p ouri= 0;:::;n.Puisque les polyn^omesLjsont lineairement independants, on trouver= 0. D'ou

p=q.Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation10 Ainsi la famille( Li)ni=0forme une base de l'espacePn(espace des polyn^omes de degre n), appeleeBase de Lagrange .On denit le polyn^ome dePn:p(x) =nX j=0y jLj(x)x2R:On verie p(xi) =nX j=0y jLj(xi) =yi;i= 0;:::;ni.e.pest un polyn^ome de Lagrange associe aux points( xi;yi). Montrons quepest unique.Soitq2Pnun autre polyn^ome de Lagrange associe aux points( xi;yi). Le polyn^ome

r=pqest dansPnet verier(xi) = 0p ouri= 0;:::;n.Puisque les polyn^omesLjsont lineairement independants, on trouver= 0. D'ou

p=q.Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation10 Ainsi la famille( Li)ni=0forme une base de l'espacePn(espace des polyn^omes de degre n), appeleeBase de Lagrange .On denit le polyn^ome dePn:p(x) =nX j=0y jLj(x)x2R:On verie p(xi) =nX j=0y jLj(xi) =yi;i= 0;:::;ni.e.pest un polyn^ome de Lagrange associe aux points( xi;yi). Montrons quepest unique.Soitq2Pnun autre polyn^ome de Lagrange associe aux points( xi;yi). Le polyn^ome

r=pqest dansPnet verier(xi) = 0p ouri= 0;:::;n.Puisque les polyn^omesLjsont lineairement independants, on trouver= 0. D'ou

p=q.Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation10 Ainsi la famille( Li)ni=0forme une base de l'espacePn(espace des polyn^omes de degre n), appeleeBase de Lagrange .On denit le polyn^ome dePn:p(x) =nX j=0y jLj(x)x2R:On verie p(xi) =nX j=0y jLj(xi) =yi;i= 0;:::;ni.e.pest un polyn^ome de Lagrange associe aux points( xi;yi). Montrons quepest unique.Soitq2Pnun autre polyn^ome de Lagrange associe aux points( xi;yi). Le polyn^ome

r=pqest dansPnet verier(xi) = 0p ouri= 0;:::;n.Puisque les polyn^omesLjsont lineairement independants, on trouver= 0. D'ou

p=q.Analyse Numerique{ R. TouzaniInterpolation et approximation10 Ainsi la famille( Li)ni=0forme une base de l'espacePn(espace des polyn^omes de degrequotesdbs_dbs11.pdfusesText_17