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Agr´egation interneUFR MATH´EMATIQUES
Interpolation polynomiale
1. Interpolation de Lagrange
1.1. Base de Lagrange
Soitx0, x1,...,xnn+ 1 r´eels donn´esdistincts. On d´efinitn+ 1 polynˆomeslipouri= 0 `anpar l i(x) =(x-x0)(x-x1)...(x-xi-1)(x-xi+1)...(x-xn) Le num´erateur de chacun de ces polynˆomes est un produit dentermes (x-xk) et est donc un polynˆome de degr´en. Le d´enominateur est une constante. On a donc i)liest un polynˆome de degr´en iii)li(xi) = 1.R´eciproquement, pourifix´e, il existe un unique polynˆomeliv´erifiant les trois propri´et´es
pr´ec´edentes. En effet, on en a d´ej`a construit un qui convenait. Supposons qu"il y en ait deux
l ietpi, alorsli-piest un polynˆome de degr´e au plusnet ayantn+ 1 racines distinctes x0,...,xn, c"est donc le polynˆome nul.
D´efinition 1 -Les polynˆomesli(x) sont les polynˆomes de Lagrange deRn[X] associ´es aux pointsx0,...,xn. Proposition 2 -Les polynˆomesl0(x), l1(x)...,ln(x) forment une base deRn[X]. D´emonstration :il suffit de montrer que ce syst`eme de polynˆomes est libre, puisqu"il est form´e den+1 ´el´ements d"un espace de dimensionn+1 ; supposons qu"il existen+1 r´eels0,...,αntels que, pour tout r´eelx
n? i=0α ili(x) = 0 alors, pourx=xk n i=0α ili(xk) =αk= 0.On a prouv´e le r´esultat.
1.2. Interpolation de Lagrange
Soitfune fonction donn´ee d´efinie surR`a valeurs dansRetx0, x1,...,xnn+ 1 r´eels donn´es distincts. Interpoler la fonctionfpar un polynˆome de degr´enaux pointsx0, x1,...,xnconsiste `a r´esoudre le probl`eme suivant Pr´eparation`a l"agr´egation interne UFR maths, Universit´e de Rennes I Si un tel polynˆome existe, il s"´ecrit de mani`ere unique p(x) =n? i=0α ili(x) queli(xk) = 0 sik?=ietlk(xk) = 1, on obtient k=p(xk) =f(xk). Proposition 4 -L"unique solution du probl`eme (3) est donc p(x) =n? i=0f(xi)li(x). D´efinition 5 -Ce polynˆome s"appelle l"interpolant de la fonctionfde degr´enaux points x0, x1,...,xn.
Remarque -Le polynˆome d"interpolation de Lagrange aux pointsx0, x1,...,xnd"unSi l"on prend pourfle polynˆome constant ´egal `a 1, d"apr`es la remarque pr´ec´edente,fest
´egale `a son interpolant et on obtient
n i=0l i(x) = 1. Le but de l"interpolation est de remplacer une fonctionfplus ou moins compliqu´ee par une fonction plus simple car polynˆomiale, mais pour justifier cet ´echange, il nous faut une estimation de l"erreur commise. On rappelle le th´eor`eme de Rolle :Th´eor`eme 6 - Th´eor`eme de Rolle
Soitf: [a,b]→Rune application continue sur [a,b] et d´erivable sur ]a,b[ telle que f(a) =f(b),alors il existec?]a,b[ tel quef?(c) = 0.1.3. Estimation de l"erreur dans l"interpolation de Lagrange
Avant de donner une estimation de l"erreur, nous allons d´emontrer le lemme suivant Lemme 7 -Soitf: [a,b]?-→Rd´erivable sur [a,b] alors, sifposs`ede au moinsn+ 2 z´eros distincts sur [a,b],f?poss`ede au moinsn+ 1 z´eros distincts sur [a,b].D´emonstration :il suffit d"appliquer le th´eor`eme de Rolle entre deux z´eroscons´ecutifs def
Corollaire 8 -Soitf? Cn+1([a,b]).Sifposs`ede au moinsn+2 z´eros distincts sur [a,b], alorsf(n+1)a au moins un z´ero sur [a,b]. D´emonstration :il suffit de faire une r´ecurrence en appliquant le lemme pr´ec´edent n+1 points de [a,b].On notePle polynˆome d"interpolation de Lagrange defaux points x0,...,xn.
Th´eor`eme 9 -On supposef? Cn+1([a,b]), alors
?x?[a,b],?ξ?[a,b], f(x)-P(x) =(x-x0)(x-x1)...(x-xn) (n+ 1)!f(n+1)(ξ). - 2 -Interpolation polynomiale
D´emonstration :six=xi, alors la relation est v´erifi´ee. Soitx?[a,b] fix´e,xdiff´erent de tous lesxi.Posonsq(x) = (x-x0)(x-x1)...(x-xn) etW(t) =f(t)-P(t)-q(t)
q(x)?f(x)-P(x)?. La fonctionWest de classeCn+1commefet s"annule pourt=x,x0,x1,...,xn; elle admet donc au moinsn+ 2 z´eros. D"apr`es le corollaire8, il existe au moins un nombre ξ?[a,b] tel queW(n+1)(ξ) = 0.On en d´eduit la relation. Le pointξ´etant inconnu, on cherche une majoration et on a le corollaire imm´ediat : Corollaire 10 -Sif(n+1)est continue sur [a,b], alors (n+ 1)!supx?[a,b]|f(n+1)(x)|.2. Polynˆomes de Chebyshev
2.1. Choix des points d"interpolation
D"apr`es le corollaire10, pour obtenir la meilleure estimation possible pour une fonctionf donn´ee, il faut choisir lesn+1 points d"interpolationx0,...,xnde mani`ere `a minimiser le maximum sur [a,b] de la fonction|(x-x0)...(x-xn)|.Si on appelleEn+1([a,b]) l"ensembledes polynˆomes de degr´en+1 unitaires, le meilleur choix desxiest donn´e par le polynˆome
q?En+1([a,b]) tel que Il faudra de plus s"assurer que le polynˆomeqtrouv´e admet bienn+1 racines distinctes sur l"intervalle [a,b].On va montrer l"existence de ce polynˆome qu"on appellera polynˆome deChebyshev normalis´e.
Remarque -En faisant le changement de variable
t=2 b-ax-b+ab-a??x=b-a2t+b+a2 on peut toujours se ramener `a une ´etude sur l"intervalle [-1,1]. D´efinition 11 -On appelle polynˆome de Chebyshev de degr´enle polynˆomeTnd´efini sur [-1,1] par T n(x) = cos(nArccos(x)).La formule donn´ee dans le th´eor`eme ne fait pas apparaitrede mani`ere ´evidente un polynˆome.
Cependant, on peut tout de suite noter que, pour toutx?[-1,1],Tn(x)?[-1,1]. Consid´erons la formule de Moivre : (cosθ+isinθ)n= cosnθ+isinnθ.Pourθ?[0,π], posonsx= cosθ, alors sinθ=⎷1-x2.On en d´eduit que
cosnθ= cos(nArccos(x)) =[n/2]? i=0C2in(-1)ixn-2i(1-x2)i.
En particulierTnest un polynˆome de degr´en. - 3 - Pr´eparation`a l"agr´egation interne UFR maths, Universit´e de Rennes IExemple -
T0(x) = 1
T1(x) =x
T2(x) = 2x2-1
Les formules d"addition des fonctions trigonom´etriques donnent cos(n+ 1)θ+ cos(n-1)θ= 2cosθcosnθ.On en d´eduit imm´ediatement que
Proposition 12 -Les polynˆomes de Chebyshev v´erifient la relation de r´ecurrence T n+1(x) +Tn-1(x) = 2xTn(x).Le coefficient du terme enxndeTnest 2n-1.
D´emonstration :le coefficient s"obtient par r´ecurrence. Th´eor`eme 13 -Tna des z´eros simples auxnpoints x k= cos?2k-12nπ?, k= 1,2,...,n.
T natteint son extremum sur l"intervalle [-1,1] auxn+ 1 points x k= cos?k nπ?, k= 0,1,...,n pour lesquels il prend alternativement les valeurs 1 et-1.D´emonstration :calculonsTn(xk).
T n(xk) = cos?nArccos(cos2k-12nπ)?= cos(2k-12π) = 0 car2k-12nπ?[0,π].
On a donc trouv´enracines distinctes, orTnest un polynˆome de degr´en; on les a donc toutes. On montre de mˆemeTn(x?k) = (-1)k.D´efinition 14 -On appelle polynˆome normalis´e de Chebyshev le polynˆomeTnd´efini par