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Durée : 4 heures

Baccalauréat S Antilles-Guyane11 septembre2014

EXERCICE16 points

Commun à tous lescandidats

Uneentreprisedejouetsenpeluche souhaite commercialiser unnouveauproduitetàcette fin, effectue divers tests permettant de rejeter les peluches ne répondant pas aux normes en vigueur. D"expérience,le concepteur sait que 9% des nouveaux jouets ne répondent pas aux normes.

À l"issue des tests, il est noté que

96% des peluches répondant aux normes sont acceptées par lestests;

97% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l"issue des

tests. On prélève une peluche au hasard dans la production de l"entreprise. On note Nl"évènement : "la peluche répond aux normes en vigueur»; Al"évènement : "la peluche est acceptée à l"issue des tests».

Partie A

1.Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.

2.Démontrer que la probabilité qu"une peluche soit acceptée àl"issue des tests est

0,8763.

3.Calculer la probabilité qu"une peluche qui a été acceptée à l"issue des tests soit véri-

tablement aux normes en vigueur. Arrondir le résultat au dix-millième.

Partie B

On considère que la vie d"une peluche se termine lorsqu"ellesubit un dommage majeur

(déchirure,arrachage ... ). On admet que la durée de vie en années d"une peluche, notéeD,

suit une loi exponentielle de paramètreλ.

1.On sait queP(D?4)0,5. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.

Calculer la valeur exacte deλ.

2.On prendra iciλ0,1733.

Le jour de ses trois ans, un enfant qui joue avec cette peluchedepuis sa naissance décide, voyant qu"elle est encore en parfait état, de la donner à sa soeur qui vient de naître. Calculer la probabilité pour que sa soeur la garde sans dommage majeur au moins cinq années supplémentaires. Arrondir le résultat au dix-millième.

Partie C

Un cabinet de sondages et d"expertise souhaite savoir quel est le réel intérêt des enfants pour ce jouet. À la suite d"une étude, il apparaît que pour un enfant de quatre ans, le

nombre de jours, notéJ, où la peluche est son jouet préféré suit une loi normale de pa-

ramètresμetσ. Il apparaît queμ358 jours.

1.SoitXJ358

σ. Quelle est la loi suivie parX?

2.On sait queP(J?385)0,975. Déterminer la valeur deσarrondie à l"entier le plus

proche.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE26 points

Commun à tous lescandidats

Partie A

On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur l"intervalle [0 ;[ par f(x)xex.

1.Déterminer la limite de la fonctionfen.

2.Déterminer la dérivéefde la fonctionfsur [0 ;[ et en déduire le tableau de

variations defsur [0 ;[. On donne enannexela courbeCfreprésentative de la fonctionfdans un repère du plan. La droiteΔd"équationyxa aussi été tracée.

Partie B

Soit la suite

(un)définie paru01 et, pour tout entier natureln,un1f(un).

1.Placer sur le graphique donné enannexe, en utilisant la courbeCfet la droiteΔ, les

pointsA0,A1etA2d"ordonnées nulles et d"abscisses respectivesu0,u1etu2. Laisser les tracés explicatifs apparents.

2.Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,un0.

3.Montrer que la suite(un)est décroissante.

4. a.Montrer que la suite(un)est convergente.

b.On admet que la limite de la suite(un)est solution de l"équationxexx. Résoudre cette équation pour déterminer la valeur de cette limite.

Partie C

On considère la suite

(Sn)définie pour tout entier naturelnpar S nkn? k0u ku0u1un. Compléter l"algorithme donné enannexeafin qu"il calculeS100.

EXERCICE33 points

Commun à tous lescandidats

On considère l"équation

(E1): e xxn0 oùxest un réel strictement positif etnun entier naturel non nul.

1.Montrer que l"équation(E1)est équivalente à l"équation(E2):

ln(x)x n0.

2.Pour quelles valeurs denl"équation(E1)admet-elle deux solutions?

Antilles-Guyane211 septembre 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE45 points

Réservé auxcandidats n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

On noteCl"ensemble des nombres complexes.

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormé?

O,u,v?

. On prendra comme unité

2 cm sur chaque axe.

Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure

des questions. On considère la fonctionfqui à tout nombre complexezassocie f(z)z22z9.

1.Calculer l"image de1i

3 par la fonctionf.

2.Résoudre dansCl"équationf(z)5.

Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation. Construire alors sur le graphique, à la règle et au compas, les points A et B dont l"af- fixe est solution de l"équation (A étant le point dont l"affixea une partie imaginaire positive).

On laissera les traits de construction apparents.

3.Soitλun nombre réel. On considère l"équationf(z)λd"inconnuez.

Déterminer l"ensemble des valeurs deλpour lesquelles l"équationf(z)λadmet deux solutions complexes conjuguées.

4.Soit (F) l"ensemble des points du plan complexe dont l"affixezvérifie

f(z)83. Prouver que (F) est le cercle de centreΩ(1 ; 0) et de rayon 3.

Tracer (F) sur le graphique.

5.Soitzun nombre complexe, tel quezxiyoùxetysont des nombres réels.

a.Montrer que la forme algébrique def(z) est x

2y22x9i(2xy2y).

b.On note (E) l"ensemble des points du plan complexe dont l"affixezest telle que f(z) soit un nombre réel. Montrer que (E) est la réunion de deux droitesD1etD2dont on précisera les

équations.

Compléter le graphique de l"annexe en traçant ces droites.

6.Déterminer les coordonnées des points d"intersection des ensembles (E) et (F).

EXERCICE45 points

Réservé auxcandidats ayantsuivi la spécialité Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y.

D"une année sur l"autre, une partie des fonds de l"agence X est transférée àl"agence Y, et ré-

ciproquement. De plus, chaque année, le siège de la banque transfère une certaine somme

à chaque agence.

Soitnun entier naturel. On notexnla quantité de fonds détenue par l"agence X, etynla quantité de fonds détenue par l"agence Y au 1 erjanvier de l"année 2014n, exprimées en millions d"euros.

On noteUnla matrice?xn

y n? et on noteI?1 00 1?

On suppose que le 1

erjanvier de l"année 2014, l"agence X possède 50 millions d"euros et l"agence Y possède 10 millions d"euros.

Antilles-Guyane311 septembre 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

L"évolution de la quantité de fonds est régie par la relationsuivante : U n1AUnB, oùA?0,6 0,150,2 0,4? etB?13?

1.Interpréter dans le contexte de l"exercice le coefficient 0,6 de la matriceAet le coeffi-

cient 3 de la matriceB.

2.Donner la matriceU0puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des

agences X et Y en 2015, exprimée en millions d"euros.

3.On noteD?0,3 0

0 0,7?

,P?1 3 2 2? etQ?0,250,375

0,25 0,125?

a.Donner sans détailler le calcul, la matricePDQ. b.Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et dela deuxième colonne du produit matricielQP. Dans la suite, on admettra queQPI. On admettra dans la suite de cet exercice que pour tout entiernaturel non nuln, A nPDnQ.

4.On pose pour tout entier natureln,VnUn?5

20/3? a.Démontrer que pour tout entier natureln,Vn1AVn. b.DéterminerV0puis pour tout entier natureln, donner l"expression deVnen fonc- tion deA,netV0.

5.Soitnun entier naturel. On admet que

A n?0,250,3n0,750,7n0,375(0,3n0,7n) 0,5 (0,3n0,7n)0,750,3n0,250,7n? a.Déterminer le coefficient de la première ligne de la matriceVnen détaillant les calculs. b.En déduire l"expression dexnen fonction den. c.Déterminer la limite dexnquandntend verset interpréter ce résultat dans le cadre du problème.

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Durée : 4 heures

Baccalauréat S Antilles-Guyane11 septembre2014

EXERCICE16 points

Commun à tous lescandidats

À l"issue des tests, il est noté que

96% des peluches répondant aux normes sont acceptées par lestests;

97% des peluches ne répondant pas aux normes ne sont pas acceptées à l"issue des

Partie A

1.Construire un arbre pondéré représentant la situation exposée précédemment.

2.Démontrer que la probabilité qu"une peluche soit acceptée àl"issue des tests est

0,8763.

3.Calculer la probabilité qu"une peluche qui a été acceptée à l"issue des tests soit véri-

Partie B

1.On sait queP(D?4)0,5. Interpréter ce résultat dans le contexte de cet exercice.

Calculer la valeur exacte deλ.

2.On prendra iciλ0,1733.

Partie C

1.SoitXJ358

σ. Quelle est la loi suivie parX?

2.On sait queP(J?385)0,975. Déterminer la valeur deσarrondie à l"entier le plus

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE26 points

Commun à tous lescandidats

Partie A

1.Déterminer la limite de la fonctionfen.

2.Déterminer la dérivéefde la fonctionfsur [0 ;[ et en déduire le tableau de

Partie B

Soit la suite

1.Placer sur le graphique donné enannexe, en utilisant la courbeCfet la droiteΔ, les

2.Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln,un0.

3.Montrer que la suite(un)est décroissante.

4. a.Montrer que la suite(un)est convergente.

Partie C

On considère la suite

EXERCICE33 points

Commun à tous lescandidats

On considère l"équation

1.Montrer que l"équation(E1)est équivalente à l"équation(E2):

2.Pour quelles valeurs denl"équation(E1)admet-elle deux solutions?

Antilles-Guyane211 septembre 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE45 points

On noteCl"ensemble des nombres complexes.

O,u,v?

2 cm sur chaque axe.

1.Calculer l"image de1i

3 par la fonctionf.

2.Résoudre dansCl"équationf(z)5.

On laissera les traits de construction apparents.

3.Soitλun nombre réel. On considère l"équationf(z)λd"inconnuez.

4.Soit (F) l"ensemble des points du plan complexe dont l"affixezvérifie

Tracer (F) sur le graphique.

5.Soitzun nombre complexe, tel quezxiyoùxetysont des nombres réels.

2y22x9i(2xy2y).

équations.

6.Déterminer les coordonnées des points d"intersection des ensembles (E) et (F).

EXERCICE45 points

à chaque agence.

On noteUnla matrice?xn

On suppose que le 1

Antilles-Guyane311 septembre 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1.Interpréter dans le contexte de l"exercice le coefficient 0,6 de la matriceAet le coeffi-

2.Donner la matriceU0puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des

3.On noteD?0,3 0

0 0,7?

0,25 0,125?

4.On pose pour tout entier natureln,VnUn?5

5.Soitnun entier naturel. On admet que

Antilles-Guyane411 septembre 2014

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

Annexede l"exercice2à rendreavecla copie

PartieB - Question1

0,51,0

PartieC

Déclaration des variables :

Setusont des nombres réels

Initialisation :

Sprend la valeur ......