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Antilles-Guyane-Septembre-2014.
Exercice 45 points
Dans une ville, une enseigne de banque nationale possède deux agences, appelées X et Y. D'une année sur
l'autre, une partie des fonds de l'agence X est transférée à l'agence Y, et réciproquement. De plus,chaque année,
le siège de la banque transfère une certaine somme à chaque agence.Soitnun entier naturel. On notexnla quantité de fonds détenue par l'agence X, etynla quantité de fonds
détenue par l'agence Y au1erjanvier de l'année 2014+n, exprimées en millions d'euros.On note
Unla matrice(xn
yn)et on note I=(10 01).On suppose que le1er janvier de l'année 2014, l'agence X possède 50 millions d'euros et l'agence Y possède 10
millions d'euros. L'évolution de la quantité de fonds est régie par la relation suivante :Un+1=Aun+Boù A=(0,60,15
0,20,4)et B=(1
3)1 . Interpréter dans le contexte de l'exercice le coefficient 0,6 de la matrice A et le coefficient 3 de la matrice B.
2 . Donner la matrice U0 puis calculer la quantité de fonds détenue par chacune des agences
X et Y en 2015 exprimées en millions d'euros.
3 . On note D=
(0,3000,7), P=(13
-22)et Q=(0,25-0,3750,250,125).
a. Donner sans détailler le calcul, la matrice PDQ.b. Expliciter le calcul du coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne du produit QP. Dans la
suite, on admettra que QP = I. On admettra dans la suite de l'exercice que pour tout entier naturel non nul n,An=PDnQ4 . On pose pour tout entier naturel n,
Vn=Un-(5
203)a. Démontrer que pour tout entier naturel n,
Vn+1=AVnb. Déterminer
V0puis pour tout entier naturel n, donner l'expression deVnen fonction de A, n etV0.5 . Soitnentier naturel. On admet que :
An=Antilles-Guyane-Septembre-2014.
a. Déterminer le coefficient de la première ligne de la matriceVnen détaillant les calculs.
b. En déduite l'expression dexnen fonction de n.c. Déterminer la limite dexnquandntend vers +∞ et interpréter ce résultat dans le cadre du problème.
Antilles-Guyane-Septembre-2014.
Correction :
Remarque préliminaire
Une agence bancaire dans une ville gèrent les dossiers de ses clients, gestion des comptes (non étudiée dans
l'exercice), placements des clients ( non étudiés dans l'exercice et les prêts des clients ).
La banque met à la disposition de ses agences, un capital que l'on appelle fonds pour les clients (exemples :
prêts personnels, prêts automobile, prêts travaux, prêts immobiliers, prêts aux artisans, prêts aux entreprises).
Il est possible d'imaginer que pour un prêt important pour l'agence X, l'agence Y participe et réciproquement.
Les remboursements des prêts reconstituent une partie des fonds initiaux. Mais chaque année une partie des
fonds initiaux reste immobilisée (pour les prêts immobiliers le délai de remboursement peut être de 20 ans ou
25 ans ).
1 . Pour tout entier naturelnUn+1=AUn+B
{xn+1=0,6xn+0,15yn+1 yn+1=0,2xn+0,4yn+30,6xncorrespond à 60 % dexn60 % de la quantité de fonds de l'agence X de l'année2014+nfait partie de la quantité de fonds de l'agence X
de l'année2014+n+1.Remarque
20 % de la quantité de fonds de l'agence X de l'année2014+nfait partie de la quantité de fonds de l'agence Y
pour l'année2014+n+1.Donc 20 % de la quantité de fonds de l'agence X de l'année2014+nn'est plus disponible pour l'année
2014+n+1.
. Le coefficient 3 de la matrice B est le montant en millions d'euros, transféré à l'agence Y, par la banque,
pour l'année2014+n+1.2 . x0=50 ety0=10U0=
(5010)U1=
(x1 y1)=(0,60,150,20,4)(x0
y0)+(1 3) {x1=0,6×50+0,15×10+1=32,5 y1=0,2×50+0,4×10+3=17 La quantité de fonds dont dispose l'agence X pour l'année 2015 est : 32,5 millions d'euros. La quantité de fonds dont dispose l'agence Y pour l'année 2015 est : 17 millions d'euros.3 .a. On peut utiliser la calculatrice. (Les détails des calculs ne sont demandés).
PD= (13 -22)(0,3000,7)=(1×0,3+3×01×0+3×0,7
-0,61,4)PDQ= (0,32,1 -0,61,4)(0,25-0,3750,250,125)
PDQ= -0,6×0,25+1,4×0,250,6×0,375+1,4×0,125)= (0,60,150,20,4)PDQ=A
Antilles-Guyane-Septembre-2014.
b. QP=(0,25-0,3750,250,125)(13
-22)QP= 01)=I (On demande que de calculer la première ligne).4 . a.
Vn+1=Un+1-
(5 203)=AUn+(1
3)-(5 203)Vn+1=A
(Vn+(5 203))+(1
3)-(5 203)Vn+1=AVn+A(5
20 3)+(1 3)-(5 20 3)Or, A(5 203)=(0,60,5
0,20,4)(5
20 3)= (0,6×5+0,15×20 30,2×5+0,4×20
3)= (3+3 3 1+8 3)=(4 113)Donc,
Vn+1=AVn+(4
11 3)+(1 3)-(5 203)Vn+1=AVn
b. On peut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que :Vn=AnV0
V0=U0-
(5 203)=(50
10)-(5
20 3)V0= (45 103)5 .a. Le coefficient de la première ligne de la matrice Vn est :
3= 0,3n
(0,25×45-0,375×103)+0,7n(0,75×45+0,375×10
3)=Antilles-Guyane-Septembre-2014.
b. xn-5=10×0,3n+35×0,7n xn=10×0,3n+35×0,7n+500,31 donclimn→+∞0,3n=0
00,71 donclimn→+∞0,7n=0
limn→+∞xn=5Dans un avenir lointain la quantité de fonds ( disponible) de l'agence X sera voisine de 5 millions d'euros.
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