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DERNIÈRE IMPRESSION LE9 octobre 2014 à 9:32

Limites de fonctions

Table des matières

1 Limite finie ou infinie à l"infini2

1.1 Limite finie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Limite infinie à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Limite infinie en un point3

3 Limites des fonctions élémentaires4

4 Opérations sur les limites4

4.1 Somme de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2 Produit de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.3 Quotient de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

5 Limite d"une fonction composée6

6 Théorèmes de comparaison8

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

1 Limite finie ou infinie à l"infini

1.1 Limite finie à l"infini

Définition 1 :Dire qu"une fonctionf

a pour limite?en+∞, signifie que tout intervalle ouvert contenant?, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un in- tervalle]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) =? A xOC fΔ La droiteΔd"équationy=?est diteasymptote horizontaleàCf Remarque :On définit de façon analogue limx→-∞f(x) =?. Exemple :Les fonctions de référence :x?→1 x,x?→1xnetx?→1⎷xont des limites nulles en+∞et-∞pour les deux premières. Leurs courbes admettent alors l"axe des abscisses comme asymptote horizontale.

1.2 Limite infinie à l"infini

Définition 2 :Dire qu"une fonction

fa pour limite+∞en+∞, signifie que tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un intervalle ]A;+∞[. On note alors : lim x→+∞f(x) = +∞ A]M Cf O Remarque :Cela implique que la fonctionfn"est pas majorée On définit de façon analogue limx→-∞f(x) = +∞. Ainsi que : limx→+∞f(x) =-∞et limx→-∞f(x) =-∞ Exemple :Les fonctions de référence :x?→x,x?→xnetx?→⎷ xont pour limite +∞en+∞. La fonction de référence :x?→xna pour limite+∞en-∞sinest pair et-∞en -∞sinest impair.

PAULMILAN2 TERMINALES

2. LIMITE INFINIE EN UN POINT

Une fonction peut tendre vers+∞en

+∞de plusieurs façons. C"est le cas par exemple des fonctionsx?→x2,x?→xet x?→⎷ x.

x?→x2tend "rapidement" vers l"in-

fini. La concavité est tournée vers le haut.

x?→xtend "moyennement" vers l"in-

fini. Pas de concavité.

x?→⎷xtend "lentement" vers l"in-

fini. La concavité est tournée vers le bas

Trois façons de

tendre vers+∞ ⎷x x x2 O

2 Limite infinie en un point

Définition 3 :Dire qu"une fonction

fa pour limite+∞ena, signifie que tout intervalle]M;+∞|contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un inter- valle ouvert contenanta. On note alors : lim x→af(x) = +∞quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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