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(un) et (vn) sont deux suites f et g sont deux fonctions ayant le même ensemble de définition 3, a est un réel ou +о ou −о et est une borne de 3, ℓ et ℓ′ sont 

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Cours (Terminale S) → Limite On dira que la fonction f admet une limite l en + ∞ (resp −∞) si, pour Etablissons, à l'aide de la définition, le résultat : 1 lim 0

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À l'aide du deuxième tableau ou en utilisant la parité de la fonction carrée, on peut dire de la même façon que f (x) tend vers +∞ quand x tend vers - ∞ b) Limite 

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PanaMaths [1-11] Septembre 2008

Cours (Terminale S)

Limite d'une fonction

Limite d'une fonction en ou

Fonction définie au voisinage de (resp. )

Soit f une fonction d'ensemble de définition

f D. On dira que " la fonction f est définie au voisinage de (resp. ) » s'il existe un réel A tel que l'intervalle A; (resp. ;A) soit inclus dans f D.

Limite d'une fonction en (resp. )

Cas d'une limite finie

Soit f une fonction d'ensemble de définition f

D. On suppose que f est définie au voisinage de (resp. ) sur

A; (resp.

;A). On dira que la fonction f admet une limite l en (resp. ) si, pour tout intervalle de la forme ;ll (0), il existe un réel M de

A; (resp. de

;A) tel que pour tout x supérieur (resp. inférieur) à M, on a @> (resp. ) lim x fxl Interprétation géométrique (voir ci-dessous) : dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction f admet au voisinage de (resp. ) une asymptote horizontale d'équation yl. l l M

PanaMaths [2-11] Septembre 2008

L'idée fondamentale de cette définition est la suivante : à partir du moment où l'on se donne

un intervalle ouvert non vide centré en l (c'est-à-dire ;ll avec 0), toutes les

valeurs prises par la fonction à partir d'une certaine valeur de x (cette valeur dépend à priori

de et correspond au réel M de la définition) seront dans cet intervalle. Bien évidemment, dire que l'on a ce résultat pour n'importe quel

0 sous-entend qu'on l'a pour un

arbitrairement petit ... Remarque : il est équivalent de considérer un intervalle ouvert quelconque contenant l ou un intervalle quelconque ouvert centré en l ...

Exemples classiques. Pour tout

a réel, on a :

11lim lim 0

xx xa xa et

1lim 0

x xa Etablissons, à l'aide de la définition, le résultat :

1lim 0

x xa Ici, nous sommes dans la situation où la limite est connue ( 0l).

Nous notons f la fonction

1x xa . Cette fonction est définie sur a et nous allons travailler sur l'intervalle ;a puisque nous nous intéressons à la limite de f en .

Considérons alors un réel

strictement positif quelconque et l'intervalle ;.

On a l'équivalence :

11;;fxxa xa

Comme ;xa, on a : 0xa et il vient alors : 11 xaxa

On poursuit :

11xa xa

. Le réel M cherché vaut, par exemple : 1Ma

On peut donc écrire : pour tout

0,

11;xaxa

On a bien

1lim 0

x xa

PanaMaths [3-11] Septembre 2008

Cas d'une limite infinie

Soit f une fonction d'ensemble de définition

f D. On suppose que f est définie au voisinage de (resp. ). On dira que la fonction f admet (resp. ) comme limite en (resp. ) si, pour tout réel B, il existe un réel M de f D tel que pour tout x supérieur (resp. inférieur) à M, on a

Bfx (resp. Bfx). On écrit alors :

(resp. ) lim x fx f (resp. )

Interprétation de la définition de

lim xquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5