[PDF] [PDF] I Comportement global dune suite II Comportement asymptotique d

[PDF] Première S - Comportement dune suite, Problèmes - Parfenoff org

Donc la suite est strictement croissante mais n'est pas monotone II) Etude du comportement des suites à l'infini Exemple 1 : On définit la suite par : = 2 

[PDF] Corrigé fiche 5 : comportement dune suite Applications directes

Exercice 2 Rappel : on cherche toujours une limite quand n tend vers c'est-à-dire quand n devient très grand ( penser en si c'est plus facile ) : quand n devient 

[PDF] I Comportement global dune suite II Comportement asymptotique d

Exercice 2 Déterminer avec cette définition la nature des suites de terme général : 1 un = n n+1 2 un = (−1)n Proposition 4 (Unicité de la limite) Si une suite u 

[PDF] Exercices sur les suites Première S Exercice 1 Donner les quatre

Construire sur l'axe des abscisses du graphique ci-contre, les premiers termes de la suite Décrire alors le comportement de cette suite 1 2 3 4 5 6

[PDF] Feuille dExercices : Suites, suite - ECS1

(c) En déduire qu'elles sont convergentes et précisez leurs limites (d) La suite u est-elle convergente ? 4 Etudiez de même le comportement de la suite u lorsque  

[PDF] Exercice 1 : (4 points) Etudier la monotonie de la suite u 1) un = n

5) Étudier les variations de la suite (un) Page 2 Première S3 IE5 comportement des suites S2 2016-2017 2

[PDF] Fiche 1 : Les suites Méthodes et exercices - Studyrama

Exercice 4 Etudier la monotonie de la suite définie par 2 n 1n u u = + pour tout n et par a) 5,0 u0 = b) 2 u0 = Etudier le comportement asymptotique d'une 

[PDF] Exercices : Suites Numériques - Free

Calculer les 6 premiers termes de cette suite ; que pouvez vous conjecturer sur son comportement (sens de variation, limite) ? 2 On pose = -3 n n v

[PDF] Exercices supplémentaires : Suites

Exercices supplémentaires : Suites Partie A : Calculs de termes et Calculer , , et Exercice 3 On considère la suite définie par = 8, = 4 et, pour tout ∈ℕ, = −

[PDF] Chapitre 3 Comportement asymptotique des suites

un − l < ǫ ⇐⇒ l − ǫ

[PDF] comportement d'une suite 1ere s

[PDF] conjecturer le comportement d'une suite ? l'infini

[PDF] limite finie d'une suite

[PDF] conjecturer la limite d'une suite avec calculatrice casio

[PDF] déterminer la limite d'une suite

[PDF] monotonie d'une suite

[PDF] conjecturer l'expression de vn en fonction de n

[PDF] en déduire l'expression de vn puis celle de un en fonction de n

[PDF] suite conjecture

[PDF] conjecturer une suite avec la calculatrice

[PDF] liste des conjonctions de coordination et de subordination pdf

[PDF] les valeurs des conjonctions de coordination

[PDF] conjonction de coordination liste complete

[PDF] conjonction de subordination liste complète

[PDF] les conjonctions de coordination exercices pdf

©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20231

Cours sur les suites numériques

I Comportement global d"une suite

Dans tout le texteK=RouC.

Définition 1On appelle suite numérique toute applicationu:N→K. On la note(un)n?Nou (un)ouu. On parle de suite réelle siK=Ret de suite complexe siK=C. L"ensemble des suites numériques est notéKN.

Mise à part dans la dernière section sur les suites complexes, si rien n"est précisé les suites

considérées sont à valeurs réelles. Définition 2 (Vocabulaire)Soituune suite réelle. •uest dite majorée s"il existe un réelMtel que pour toutn?N,un?M. •uest dite minorée s"il existe un réelmtel que pour toutn?N,un?m.

•uest dite bornée si elle est majorée et minorée donc s"il existe un réelM >0tel que pour

toutn?N,|un|?M. •uest dite croissante (resp. strictement croissante) si pourtoutn?N, un+1?un, (resp. u n+1> un). •uest dite décroissante (resp. strictement croissante) si pour toutn?N, un+1?un, (resp.un+1< u n). Exercice 1Vérifier le vocabulaire ci-dessus sur les exemples suivants :

II Comportement asymptotique d"une suite

II.1 Suite convergente

Définition 3 (Notion de suite convergente)On dit qu"une suiteuconverge vers un réell si : ?ε >0,?n0?N,?n?n0,|un-l|?ε. On dit aussi que la suiteuest convergente. Si une suite n"est pas convergente, on dit qu"elle est divergente. Donner la nature d"une suite c"est indiquer si elle est convergente ou divergente. Remarque : le rangn0dépend du réelε. Plusεest petit, plusn0est grand. Exercice 2Déterminer avec cette définition la nature des suites de termegénéral :

1.un=nn+12.un= (-1)n

Proposition 4 (Unicité de la limite)

Si une suiteuconverge vers un réell, celui-ci est unique, on l"appelle la limite deu. On notelimun=l. Proposition 5Une suite convergente est bornée. La réciproque est fausse,prendreun= (-1)n. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20232

II.2 Suites tendant vers l"infini

Définition 6 (Limites infinies)Soituune suite.

• On dit queutend vers+∞si : ?A >0,?n0?N,?n?n0,un?A. • On dit queutend vers-∞si : ?B <0,?n0?N,?n?n0,un?B. Exercice 3Démontrer avec cette définition que la suite définie parun=n2tend vers +∞. Proposition 7Une suite qui tend vers l"infini est non bornée. En particulier, elle diverge.

III Opérations sur les limites

Nous allons démontrer les résultats suivants "du lycée» que l"on peut résumer dans les

tableaux suivants (FI signifie forme indéterminée) : soituetvdeux suites qui admettent une limite (éventuellement infinie). limunlll+∞-∞+∞ limunll?R?l?R?0 limvnl?+∞-∞±∞ lim(un×vn)l×l?signe(l)× ∞signe(-l)× ∞FI limunl?= 0±∞0+0- lim1un 1 l0+∞-∞

0+(resp. 0-) signifie que limun= 0 avecun>0 (resp.un<0) à partir d"un certain rang.

III.1 Avec des suites bornées

Proposition 8Une combinaison linéaire ou un produit de suites bornées est encore une suite bornée.

Faux pour l"inverse :un=1

nest bornée par 1 mais1un=nnon bornée. Proposition 9Le produit d"une suite qui converge vers0par une suite bornée est une suite qui converge vers0. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20233

III.2 Avec des suites convergentes

Proposition 10 (Combinaison linéaire et produit de suites convergentes)Soituetv des suites qui convergent versletl?.

1. Pour tous réelsaetb, la combinaison linéaire(aun+bvn)converge versal+bl?.

2. La suite produituvconverge versll?.

Proposition 11 (Inverse et quotient de suites convergentes)Soituune suite qui converge versl?= 0.

1. Sil >0(resp.l <0),?n0?N,?n?n0,un>0(resp.un<0).

2. La suite

1 uconverge vers1l.

3. Sivest une suite convergente versl?, la suitev

uconverge versl?l. On admet le résultat suivant qui sera prouvé plus tard dans le chapitre sur la continuité. Proposition 12 (Image d"une suite convergente par une fonction continue)Soitf: I→Rune fonction continue. Si une suiteuconverge vers un réell?I, c"est-à-direlimun=l, alors on alimf(un) =f(l). Exercice 4Soitf:R→Rcontinue telle que?x?R,f(2x) =f(x). Alorsfest constante.

III.3 Avec des suites divergentes

Proposition 13Soituune suite qui tend vers+∞(resp.-∞) etvune suite qui converge versl. Alors

1. la suiteu+vtend vers+∞(resp.-∞).

2. Si de plusl >0(resp.l <0) la suiteu×vtend vers+∞(resp.-infty).

Proposition 14Siutend vers±∞, alors1

utend vers0.

IV Obtention de limites par comparaison

Proposition 15 (Passage à la limite dans une inégalité)Soituetvdeux suites qui convergent versletl?. On suppose que : ?n0?N,?n?n0,un?vn.

Alorsl?l?.

Attention, une inégalité stricte devient large après un passage à la limite : pour toutn?

N ?,1 n>0, mais lim1n= 0. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20234 Proposition 16 (Théorème des gendarmes)Soitu,vetwtrois suites telles que : ?n0?N,?n?n0,un?vn?wn. Siuetwconvergent vers une même limitel, alorsvconverge versl.

Exercice 5Soita?R. Limite deun=1

n2?nk=1?ka?. Proposition 17 (Comparaison)Soituetvdeux suites telles que : ?n0?N,?n?n0,un?vn. Silimu= +∞, alorslimv= +∞, et silimv=-∞, alorslimu=-∞.

Exercice 6Démontrer par comparaison quesn=1

⎷1+···+1⎷ntend vers +∞(bonus : déterminer un équivalent par "comparaison série/intégrale»). Proposition 18 (Suite géométrique)Soita?R. Alors :

1. sia >1,liman= +∞. 2. si|a|<1,liman= 0.

3. sia= 1, la suite(an)est constante. 4. sia?-1, la suite(an)diverge.

Proposition 19 (Croissances comparées)Soita >0. On aan<<+∞n!<<+∞nn. Cela se traduit par : liman n!= 0etlimn!nn= 0. La suite géométriqueanest négligeable devantn!qui est négligeable devantnn. Remarque : ce résultat n"est pertinent que lorsque liman= +∞, c"est-à-dire lorsquea >1.

Dans ce cas, signalons que la suite géométriqueanest prépondérante devant la suitenαcar

a n= exp(nlna)>> nα.

V Suites et monotonie

Théorème 20 (de la limite monotone)Toute suite croissante et majorée converge. Siuest croissante et n"est pas majorée, alors elle tend vers+∞.

Remarque : la preuve repose sur la propriété de la borne supérieure qui sera faîte dans le

chapitre "pour remettre de l"ordre dansR». Exercice 7 (Exemples)Les deux exemples sont indépendants.

1. Démontrer la convergence de la suiteudéfinie parun=?nk=1(1 +1

2k).

2. Soitula suite définie parun+1=un+1

unetu0= 1. Démontrer queutend vers +∞. Définition 21 (Suites adjacentes)Deux suites sont dites adjacentes si elles sont monotones de sens contraire et que leur différence tend vers 0. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20235 Théorème 22 (des suites adjacentes)Deux suites adjacentesuetvconvergent vers une même limitel. De plus siuest croissante etvdécroissante, on a : ?n?N, un?l?vn. Remarque : cette dernière inégalité permet de majorer l"erreur commise lorsque l"on ap- proximelparun:|un-l|?|un-vn|.

Exercice 8On poseun=?nk=01

k!etvn=un+1n!. Démontrer queuetvsont adjacentes et déterminer une valeur approchée à 10 -6près de leur limite.

VI Suites extraites

Définition 23Une suitevest dite extraite d"une suiteus"il existe une applicationφ:N→N strictement croissante telle que : ?n?N,vn=uφ(n). Proposition 24 (Conservation de la limite pour une suite extraite) Toute suite extraite d"une suite convergente est convergente et converge vers la même limite. Si une suiteutend vers+∞(resp.-∞), alors toute suite extraite deutend vers+∞ (resp.-∞).

Application à la divergence de suite :

• si une suiteupossède une suite extraite divergente, alorsudiverge.

• si une suiteupossède deux suites extraites qui ont des limites différentes, alorsudiverge.

Exercice 9 (Exemples)

1. Établir la divergence des suitesun= (-1)netvn= cos?3nπ

5?

2. Donner un exemple de suite non majorée qui ne tend pas vers +∞.

Exercice 10On poseHn= 1 +1

2+···+1n. Démontrer que pour toutn?N?,H2n-Hn?12.

En déduire que (Hn) diverge.

Proposition 25Soituune suite. Si les suites extraites(u2n)et(u2n+1)convergent vers une même limitel, alors la suite(un)converge versl. Exercice 11On suppose que les suites extraites (u2n),(u2n+1) et (u3n) convergent vers res- pectivementl1,l2etl3. Démontrer queuconverge. On sait qu"une suite bornée ne converge pas forcément. On a toutefois le résultat capital suivant : Théorème 26 (de Bolzano Weierstrass)Siuest une suite réelle bornée, alors on peut en extraire une sous-suite qui converge. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20236 VII Quelques méthodes sur les suites récurrentes VII.1 Quelques "trucs» pour étudier les suites du typeun+1=f(un) • On cherche les intervallesIstables parf, c"est à dire tels quef(I)?I(pour cela, on dresse le tableau de variations def). Dans ce cas, siu0?I, alors pour toutn?N,un?I. • On cherche les points fixes defqui sont les limites candidates pouru. En effet, sif:I→I est continue, et queuconverge versl?I, alorslest un point fixe def, c"est-à-diref(l) =l. • Le signe def(x)-xsurIpermet d"obtenir la monotonie deu.

• Le résultat suivant est classique mais hors-programme et je ne l"ai pas utilisé en cours :

siIest stable parfet quefest croissante surI, alorsuest monotone .

Remarque: l"étude sera complétée plus tard à l"aide de l"inégalité desaccroissements finis.

Exercice 12Étudier selon la valeur deu0?Rla suiteudéfinie parun+1=⎷ un-un. VII.2 Formule explicite pour une suite arithmético-géométrique Proposition 27 (suite arithmético-géométrique)Siuest définie parun+1=aun+bavec a?= 1, alors en notantαle point fixe def(x) =ax+b, on avn=un-αqui est géométrique de raisona. VII.3 Formule explicite pour une suite récurrente linéaire d"ordre deux du typeun+2=aun+1+bun

Le tableau suivant représente l"analogie avec les équations différentielles linéaires d"ordre

deux, plus précisément la correspondance entre le discret et lecontinu. On fera attention à la différence de formule de la dernière ligne dans les cas continu et discret. ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20237 Temps

ContinuR

DiscretN

dérivée f?(a) = limx→af(x)-f(a) x-a un+1-un=un+1-un n+1-n primitive

F(x) =?xf(t)dtest une primitive def

vest une primitive deusivn=?n-1k=0uk système dynamique

équation différentielle

suite récurrente linéaire d"ordre un y?=ay,a?K un+1-un=aun, doncun+1= (1 +a)un. les solutions :y(x) =λeax, λ?K les solutions :un=λ(1 +a)n,λ?K fonctions exponentielles suites géométriques linéaire d"ordre 2 ay??+by?+cy= 0 aun+2+bun+1+cun= 0

P=aX2+bX+cΔ?= 0 etK=Cr1,r2racines deP

y(x) =Aer1x+Ber2x, A,B?C un=Arn1+Brn2, A,B?C

Δ = 0,rracine deP

y(x) =Aerx+Bxerx, A,B?K un=Arn+Bnrn, A,B?K

Δ?0 (K=R)

idem au cas Δ?= 0 deK=C idem au cas Δ?= 0 deK=C

Δ<0 (K=R),r=ρ+iω=meiθ

ret rracines deP y(x) = eρx(Acos(wx) +Bsin(wx)), A,B?R un=mn(Acos(nθ) +Bsin(nθ)), A,B?R ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2022-20238

VIII Suites de nombres complexes

Définition 28Une suite(zn)de nombres complexes converge s"il existel?Ctel que : ?ε >0,?n0?N,?n?n0,|un-l|< ε. Exercice 13Nature de la suite (zn) définie parzn+1=exp(i⎷

2020n2)

2znetz0= 1.

Proposition 29Une suite(zn)de nombres complexes converge vers le nombre complexezsi, et seulement si, les suites réelles(Re(zn))et(Im(zn))convergent vers respectivement Re(z)et

Im(z).

Exercice 14Soitz?C. On poseun=zn. Nature de (un)?

Exercice 15Soituetvdeux suites réelles bornées. Démontrer qu"il existeφ:N→Nstricte- ment croissante telle que les suites extraites (uφ(n)) et (vφ(n)) convergent. Théorème 30Le théorème de Bolzano Weierstrass est encore vrai pour les suites de nombres complexes.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35