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[PDF] Nombres complexes et exponentielle complexe - Annuaire IMJ-PRG

(e) partie imaginaire de z le nombre réel mpzq “ b ; (f) conjugué de z le nombre complexe ¯z “ a ´ ib ; (g) module de z le nombre réel postif ou nul z “ a a2 ` b2

[PDF] La fonction exponentielle complexe

La fonction exponentielle x → ex est d'une grande importance en analyse réelle mais aussi les différences, entre les exponentielles réelles et complexes

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Démonstration : La conjugaison complexe est une application R- linéaire, donc continue Il en découle que le conjugé de exp(z), c'est- à-dire le conjugué de la 

[PDF] Nombres complexes - ENS

Le conjugué de z ∈ CI est le nombre noté z∗ ou z tel que : z = e[z] − i m[z] 0 2 1 Fonction exponentielle réelle et complexe Série enti`ere Pour des 

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Savoir manipuler les écritures algébrique et exponentielle des nombres Définition : Le conjugué du nombre complexe z = a + ib, o`u (a, b) ∈ R2 est ¯z = a 

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Définitions de l'argument d'un nombre complexe et de l'exponentielle imaginaire fonction exponentielle imaginaire Module et arguments d'un conjugué

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x2+y2 (on a multiplié par le conjugué) 2 Arguments d'un nombre complexe non nul On a alors z = reiθ (écriture exponentielle) avec r = z et θ = arg(z)

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Le conjugué du nombre complexe = + est le nombre ̅ Exemple : Passage de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, puis

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On appelle nombre complexe conjugué de , le nombre, noté ̅, égal à Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et 

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On appelle conjugué de z le nombre complexe : z = Re(z) − iIm(z) tielle iθ » transforme les sommes en produits comme l'exponentielle réelle En fait, une 

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??????? ?? ??????? ???????D(z0;r) =fz2C;jzz0j< rg? ?? ?????? e z? ?????X n0sup z2Kjzjnn!X n0M ???? ???K? C!C? e e set=X n0s nn!X n0t nn!=X n0X p+q=ns pp!t qq!: X p+q=ns pp!t qq!=nX p=0s pp!t np(np)!=1n!n X p=0 n p s ptnp=1n!(s+t)n; n0(s+t)n=n! =es+t? ????? ??????? ????z2C? ?? ?exp(z) =exp(z)? nNzn=n!? nNz exp(z)? C exp

R:R'R+?

e x+h=exeh=ex(1 +h+h2=2 +:::) =ex+exh+h2'(x;h) ??? ?? ?????? ?? ?? ??????? ??x???ex? 1dtt f:R+!R+; f(x) =xexp(ln(x)); g:R!R; g(x) = ln(exp(x))x : ?????? ??C!R?? ???? g0(t) =zg(t) g(0) = 1: e (t+h)z=etzehz=etz(1+hz+h2z2=2+:::) =etz+zetzh+h2'(t;h;z) zg(t)?? ?? ????g(0) = 1? e ??g(t) =aetz? ?????g(0) = 1? ?? ??????g(t) =etz???? f(z) =g(1) =ez? : [0;1]!C??????? ?? ??? ???(0) = 1??(1) =z? `(t) =Z t 0

0(s)(s)ds :

g

0(t) =0(t)exp(`(t))0(t)(t)(t)exp(`(t)) = 0

???U\U????U?????? ????C? ?? ???? ??? ??x2R? ?? ? jeixj2=eixe ix=eixeix ':R!U; '(x) =eix: e ????U?????? ??C? ?? ?????? ?? ??????? ??? ??????? ??U\R??? ??????? ????U? ?? ??????iU:=fiz; z2Ug??? ?? ?????? ??C? y= 0????z='(x)2'(U\R)? ?????aZ???? ?? ???????a2R?a0? U!R???? ?????? ????? ??????? ??UR??? ?? ?????? ????? 1(U) = ??????? ????? ???U?????? C !R+R=2Z z7!(jzj;Arg(z)): ??????? ??? ???e2i= 1? ??????z=ei? ?? ? ????z6= 1??z2= e

1? ????z=1?

??? ???????sin(z) =eizeiz2i? = cos(iz)? =isin(iz)? ?????z??? ????? ?????cos(z)?sin(z)???(z)????(z)???? ?????? ???eiz= cos(z) +isin(z)??ez=??(z) +??(z)? ???cos2(z) + sin2(z) = 1?

2(z)??2(z) = 1?

??(x)???? ?? ?????? ????? ?? ?? ?????? ??????? ??ex? ???cos(a+b) = cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)? ???sin(a+b) = sin(a)cos(b)sin(b)cos(a)?

L(c) =Z

b a kc0(t)kdt : x c: [0;2]!C t7!Reit

L(C) =Z

2 0 kRieitkdt=Z 2 0

Rdt= 2R :

(t) = 1 +t(z1): `: [0;1]D!C?????? ??? `(t;z) =Z t

0z11 +s(z1)ds :

11 +s(z1)=X

n0(s(z1))n: ?? ????? ?? ????N?? ?? ????? ??? R

N(s) =X

nN(s(z1))n=(s(z1))N1 +s(z1); ????sups2[0;1]jRN(s)j Mjz1jN? ???????jz1j<1? ?? ??? ???? (z) = (z1)Z 1 0X n0(s(z1))nds=X n0Z 1 0 (1)n(z1)n+1snds X n0(1)n(z1)n+1n+ 1: z z 0+A? ?????z0A?

1(x+U)??? ?????? ?? ????

? ???? ????z2 ??????v2D??? ???z=yv??(v) +x2U? ??exp((v)) =v??? z=vy= exp((v))exp(x)2exp(U) =V ;quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35