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(e) partie imaginaire de z le nombre réel mpzq “ b ; (f) conjugué de z le nombre complexe ¯z “ a ´ ib ; (g) module de z le nombre réel postif ou nul z “ a a2 ` b2

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Chapitre 0

Nombres complexes :

z=x+i y x=Axe imaginaire i 1z zArg(z) xy

Fig.1 {

ztel que : z=Le module jzj=p z£ z=p x

2+y22IR+:

zest le m^eme que celui dezou de¡z. On note

L'argument

0.2 Fonction exponentielle exp(x) =1X n=0x n n!= 1 +x 1! +x2 2! +¢¢¢+xn n!+¢¢¢:(2) exp(a+b) = exp(a)£exp(b):(3) exp(x) = limn!1(1 +x n )n exp

0(x) =1X

n=0nxn¡1 n!=1X p=0x p p!= exp(x):(4)

N.B.On peut aussi utiliser la relation (

3 exp(x+h)¡exp(x) h = exp(x)exp(h)¡1 h 'exp(x)1 +h+h2=2 +¢¢¢ ¡1 h f

0(x) =df(x)

dx =®exp(®x) =® f(x):(5)

Exponentielle complexe

2 5 g(x) = cosx+isinx)g0(x) = (¡sinx) +i(cosx) =i(isinx+ cosx) =i g(x):

Document disponible sur

http://www.phys.ens.fr/~hare cosx+isinx= exp(ix):(6) e i¼=¡1:

Module

Tout d'abord, nous pouvons constater que le nombre complexeexp(iµ)est de module1, puisquecos2µ+

sin intervalle de longueur2¼.

Il s'ensuit que la relation (

1 z=jzj £z jzj=jzjexp(iArg(z)); z=jzjexp(¡iArg(z))et¡z=jzjexp(i(Arg(z) +¼)):(7) z zdonne d'ordre), et µa titre d'exemple,p fa»con naturelle. Il en est de m^eme pour les racines d'ordren >2.2π/5 = 72◦

Fig.2 {

Les cinq racines cin-

n µ=p2¼oµup2ZZ: denou d'un multiple dendonnent la m^eme solution. En conclusion, les z n=

1 = 1; pournpair il est en outre

Document disponible sur

http://www.phys.ens.fr/~hare 2 ) et ( 6 sinµ: cosµ=1X p=0(¡1)px2p (2p)!etsinµ=1X p=0(¡1)px2p+1 (2p+ 1)!:(8)

0.2.3 Formules de Moivre

La relation (

6 d'un polyn^ome encos(x)et desin(x). On a en e®et : cos(nx) +isin(nx) = exp(inx) = (cosx+isinx)n vement aux puissances paires et impaires deisin(x): (eiµ)n=nX p=0µ n cos n¡px(isinx)p nX p=0;pair(¡1)p 2 µn cos n¡pxsinpx+inX p=0;impair(¡1)p¡1 2 µn cos n¡pxsinpx 0 @E(n 2 )X q=0(¡1)qµn cos n¡2qxsin2qx1 A +i0 @E(n¡1 2 )X q=0(¡1)qµn cos n¡2q¡1xsin2q+1x1 A

sinx, et est donc une fonctionpaire, tandis que lesinusqui comporte une puissance impaire desinxest une

fonctionimpaire.

0.2.4 Fonction logarithme

3 ), µa savoirlog(z1z2) = log(z1) + log(z1). En 7 ) pourz2CI, il vient alors : log(z) = log(jzj) + log(exp(iArg(z))) = log(jzj) +iArg(z):(9)

logarithme ne sera une((vraie fonction))que si l'on impose en outre une condition sur les valeurs prises par

Arg(z).

0.3 Polyn^omes et racines

0.3.1

si l'on suppose, contrairement µa ce qui a pu ^etre fait jusqu'ici, que les coe±cientsa,betcsont des nombres

complexes, et que l'inconnuexle soit aussi : ax

2+bx+c=a"

x+b 2 +c a

¡µb

2# =a" x+b 2

¡b2¡4ac

4a#

Document disponible sur

http://www.phys.ens.fr/~hare x

1=¡b

2a+r

2aetx1=¡b

2a¡r

2a; complexe(s), on a donc deux cas :

¢·0:

¢<0:

¡¢, et les solutions sont donc :

x

§=¡b

2a§ip

2a:

P(x) =®(x¡r1)£ ¢¢¢(x¡rn):-8

-6 -4 -2 0 2 -1-0.5 0 0.5 1 1.5 2

Fig.3 {

Polyn^ome du troisiµeme de-

deux racines complexes. n= 2. En e®et, siP(z) = 0, on a P( z) = 0, oµu x chercher les racines deP(x)=(x¡1) =x2¡2x+2, qui sont1§i, complexes

Document disponible sur

http://www.phys.ens.fr/~harequotesdbs_dbs31.pdfusesText_37