Savoir manipuler les écritures algébrique et exponentielle des nombres Définition : Le conjugué du nombre complexe z = a + ib, o`u (a, b) ∈ R2 est ¯z = a
| Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Nombres complexes et exponentielle complexe - Annuaire IMJ-PRG
(e) partie imaginaire de z le nombre réel mpzq “ b ; (f) conjugué de z le nombre complexe ¯z “ a ´ ib ; (g) module de z le nombre réel postif ou nul z “ a a2 ` b2
[PDF] La fonction exponentielle complexe
La fonction exponentielle x → ex est d'une grande importance en analyse réelle mais aussi les différences, entre les exponentielles réelles et complexes
[PDF] Lexponentielle complexe
Démonstration : La conjugaison complexe est une application R- linéaire, donc continue Il en découle que le conjugé de exp(z), c'est- à-dire le conjugué de la
[PDF] Nombres complexes - ENS
Le conjugué de z ∈ CI est le nombre noté z∗ ou z tel que : z = e[z] − i m[z] 0 2 1 Fonction exponentielle réelle et complexe Série enti`ere Pour des
[PDF] Nombres complexes
Savoir manipuler les écritures algébrique et exponentielle des nombres Définition : Le conjugué du nombre complexe z = a + ib, o`u (a, b) ∈ R2 est ¯z = a
[PDF] Le module, les arguments, lexponentielle imaginaire et leurs
Définitions de l'argument d'un nombre complexe et de l'exponentielle imaginaire fonction exponentielle imaginaire Module et arguments d'un conjugué
[PDF] Nombres complexes - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien
x2+y2 (on a multiplié par le conjugué) 2 Arguments d'un nombre complexe non nul On a alors z = reiθ (écriture exponentielle) avec r = z et θ = arg(z)
[PDF] Les nombres complexes prolongent lensemble des nombres réels
Le conjugué du nombre complexe = + est le nombre ̅ Exemple : Passage de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, puis
[PDF] NOMBRES COMPLEXES - maths et tiques
On appelle nombre complexe conjugué de , le nombre, noté ̅, égal à Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et
[PDF] NOMBRES COMPLEXES - Christophe Bertault
On appelle conjugué de z le nombre complexe : z = Re(z) − iIm(z) tielle iθ » transforme les sommes en produits comme l'exponentielle réelle En fait, une
[PDF] conjugue les verbes entre parenthèses au présent de l'indicatif
[PDF] conjuguer les verbes entre parenthèses au passé composé
[PDF] conjuguer les verbes entre parenthèses au temps qui convient
[PDF] mets les verbes entre parenthèses au présent
[PDF] tout les temps de l'indicatif
[PDF] preterit be ing anglais
[PDF] pluperfect en anglais
[PDF] preterit be ing ou preterit simple
[PDF] preterit have
[PDF] preterit be ing equivalent francais
[PDF] pluperfect be ing
[PDF] preterit be anglais
[PDF] prétérit continu
[PDF] exercices temps verbaux français
![[PDF] Nombres complexes](https://pdfprof.com/Listes/17/43850-179782729860110_extrait.pdf.pdf.jpg "[PDF] Nombres complexes")
4fi´`¸
%4. ■4 N1L■*
■■¯fiflfi)"fi 4 D L4 L5 42$O4fi$fiD
2■5
4*/>:,)
(5 + ı*""A HDAA■
■4. 5D4 55■■*#■2
4. ■4 ■4L■■*
)■@4. )444 (,!fifl/:=7) 254
Ψ´".44)
/7?-)■5P %%012 .L■)# ■-fi´■ ■55■ ■4. A4 ■* 44 4. ■4 @)■Q929 ■4 @4. 4 *./ıfi$fi¸01¸°¸023
■■■■#! fl ´fi*" ggR´esum´e de coursΞNotation alg´ebrique des nombres complexes
Pr´esentation de C
D´efinition :On appellenombre complexetoute quantite de la formea+i?∅oθu(a∅?)2R?et oθu
iest un nombre complexe tel quei?=?1: aest lapartie reelledezet?est lapartie imaginaireet on notea=Re(z)et?=?m(z).Vocabulaire :Si la partie reelle dezest nulle, on dit quezestimaginaire pur.Th´eor`eme 1.1.- Unicit´e de l"´ecriture d"un nombre complexe en notation alg´ebrique -.Pour
tout couple (z∅z0)2C?de nombres complexes,z=z0? ? Rez=Rez0 ?mz=?mz0On noteCl'ensemble des nombres complexes non nuls.Conjugu´e et module d"un nombre complexe
D´efinition :Le conjuguedu nombre complexez=a+i?∅oθu(a∅?)2R?estz=a?i?:Le conjugue verie les dierentes proprietes suivantes.Proposition 1.2.-Soit (z∅z0)2C?un couple de nombres complexes. Alors :
z+z0= z+ z0; siz06= 0,z=z 0= z=z0;z=z; z:z0= zz0;Re(z) =∞?
(z+z);?m(z) =∞?i(z?z).Corollaire 1.3.- Caract´erisation des nombres r´eels, imaginaires purs -.Soitz2Cun nombre
complexe. Alors :ze s tr eel,?m(z) = 0,z= z;zest imaginaire pur,Re(z) = 0,z=?z.D´efinition :Le moduledu nombre complexez=a+i?∅oθu(a∅?)2R?est le reel positif ou nul
deβni parjzj=?zz=?a Remarque :soitz2C, on a l'encadrement maxfjRezj∅j?mzjg ? jzj ? jRezj+j?mzj.Proposition 1.4.- Propri´et´es du module -.Pour tout couple (z∅z0) de nombres complexes,jz
: z0j=jzjjz0j;jz=z0j=jzj=jz0j;jz+z0j ? jzj+jz0j;jz?z0j ?ββjzj ? jz0jββ:Remarque :jz+z0j=jzj+jzj0si, et seulement si, il existe un reel≥ >0 tel quez0=≥z.?OMBRES COMPLEXES3ΞΞ
Plan complexe
Le plan complexePest le plan muni d"un rep`ere orthonormal directR= (O∅ ~{∅ ~|).`A tout nombre
complexez=x+iy∅o`u (x∅ y)2R2, on associe le pointMdePtel queωOM=x~{+y~|:On dit queMest l"?mage du c?m?lexezet quezest l"axe du ????tM:On peut associer aussi `az le vecteur~u=x~{+y~|:On dit quezest l"affixe du vecteur~u:Nombres complexes de module 1
On noteUl"ensemble des nombres complexes de module 1:Exponentielle imaginaire pure
D´efinition :Soit?2R, on appelleexponentielle imaginaire d'angle?, et on noteeiθlecomplexeeiθ= cos(?) +isin(?).Proposition 1.5.- Repr´esentation des nombres complexes demodule 1 -.Pour tout nombre
complexez2U, il existe?2R, unique `a 2-pr`es, tel quez=eiθ.Th´eor`eme 1.6.- R`egles de calcul pour l"exponentielle imaginaire -.Soit (?∅?0)2R2, alors :ei0=
1 ; eiθ= 1=eiθ=e
iθ; ei(θ+θ0)=eiθeiθ0;ei(θθ0)=eiθ=eiθ0:Formules d"Euler et Moivre Th´eor`eme 1.7.-Pour tout r´eel?2Ret tout entier relatif\2Z,E u ler: cos(?) =eiθ+eiθ2 et sin(?) =eiθeiθ2i; M oivre :eiθn=einθ, soitcos(?) +isin(?)n= cos(\?) +isin(\?).Applications `a la trigonom´etrieLemme 1.8.- Factorisation d"une somme d"exponentielles -.Soit (?1∅?2)2R2, alorseiθ1+eiθ2= 2cos`?1?22
e iθ1+θ22 eiθ1eiθ2= 2isin`?1?22 e iθ1+θ22:On d´eduit de ces propri´et´es, les formules de trigonom´etrie rappel´ees `a la fin du r´esum´e de cours.
Notation exponentielle des nombres complexesProposition 1.9.-Soitz2Cun nombre complexe non nul. Ilex??teun couple de r´eels (?∅?)2
R +Rtel quez=?eiθ=?cos?+isin?. Cette ´ecriture est appel´eef??me ex???e?t?elle ?u t??g???m?et???uedez.4CHAPITRE 1 D´efinition :Siz2C?s"´ecritz=ρe??, alors n´ecessairementρ=jzj. On appelleu\ ar}ume\t dez, et on noteArg(z)tout nombre r´eel tel quez=jzje?Arg(?).Interpr´etation :soitMl
' imaged ansl ep lanc omplexed 'unc omplexen onn ulz=ρe??. Alorsρ=jzjest la longueur du vecteurωOMetθest une mesure modulo 2πde l'angle oriente (?ı,ωOM).
Il n'y a donc pas unicite de l'ecriture exponentielle.Th´eor`eme 1.10.- D´efaut d"unicit´e de l"´ecriture en notation exponentielle -.Pour tout couple
(z,z0)2C?C?de nombres complexes non nuls :z=z0( ) jzj=jz0jArg(z)η Arg(z0)[2π]Notation :dans l"´enonc´e ci-dessus, on a not´eθ1ηθ2[2π]la relation9k2Z, θ2=θ1+ 2kπ.Proposition 1.11.- Propri´et´es des arguments -.Soit (z,z0)2C?C?etn2Z. AlorsAr
g (z.z0)η Arg(z) +Arg(z0) [2π] ;Arg(z/z0)η Arg(z) Arg(z0) [2π] ; Arg(z)η Arg(z) [2π] ;Arg(z?)ηnArg(z) [2π].Fonction exponentielle complexe D ´efinition :Soitz=x+iyen notation alg´ebrique. On d´efinit l"ex⎷o\e\tielle dezpar : e ?=ex+?y=exe?y=excosy+isiny). On appelle{o\?tio\ ex⎷o\e\tielle ?om⎷lexela fonction :CωC, z7ωe?. Les r`egles de calcul pour les fonctions exponentielles reelle et imaginaire pure, s'etendent `a la fonction exponentielle complexe. On a notamment8(z, z0)2C2, e?e??=e?+??. ?Racinesni`emesd"un complexe D´efinition :On appellera?i\eniemede l'u\itetout complexezv´erifiantz?= 1.L"ensemble desracinesniemesde l"unit´e est not´eU?.Th´eor`eme 1.12.-Soitn2N,nλ1. Notons pourk2Z,zk= exp2?k?
.AlorsU ?=fzk;k2Zg=fz0,z1,...,z?-1gExemples : U1=f1g,U2=f1,1g,U3=f1, j, j2g,U4=f1, i,1,ig, o`uj=e?2π3
.Proposition 1.13.- Racinesni`emesd"un complexe non nul quelconque -.Pour tout nombre complexeω2C?,il existe exactementncomplexeszveriantz?=ω. Si on poseω=ρe??, avec (ρ,θ)2R?+R, il s'agit des complexes denis par :8k2[ [ 0,n1]], zk(ω) =ρ1n e?(θn +2kπn )NOMBRES COMPLEXES5?? Proposition 1.14.-Siz2U\n f1g. Alors 1 +z+z2+...+z\?1= 0.F o rmulaired et rigonom´etrie En utilisant les nombres complexes, on peut d´emontrer certaines formules de trigonom´etrie et retrouver les autres :Proposition 1.15.- Formules d"addition et de duplication -. c o s(a+b) = cosacosbsinasinbcos2a= cos2asin2a sin(a+b) = sinacosb+ cosasinbsin2a= 2sinacosa tan(a+b) =tana+ tanb1t a natanbtan2a=2tana1ta n2aProposition 1.16.- Produits en somme (lin´earisation) -. c o sacosb=12 cos(a+b) + cos(ab) sinasinb=12 cos(ab)cos(a+b) sinacosb=12 sin(a+b) + sin(ab)En particulier, lorsquea=b,nous avons cos2a=121+ cos2a,sin2a=12
1cos2a.Proposition 1.17.- Transformations de sommes en produits
c o sp+ cosq= 2cospq2 cosp+q2 sinp+ sinq= 2cospq2 sinp+q2 c ospcosq=2sinpq2 sinp+q2 sinpsinq= 2cosp+q2 sinpq2 Proposition 1.18.- Formules utilisant la tangente de l"angle moiti´e -.En posantt= tanx2 quand cette quantit´e existe, on peut ´ecrire :cos(x)= 1t21 +t2,sin(x) =2t1 +t2,tan(x) =2t1t2Attention :Les deux premi`eres formules permettent une param`etrisation du cercle unit´e priv´e
def1gque l"on explicitera dans le chapitre 4. Par ailleurs, ces formules seront aussi utiles pour trouver certaines primitives.6CHAPITRE 1Methodes
??M´ethodes´Etude d"une expression complexe
?M´ethode 1.1.- Comment montrer qu"un complexezest r´eel IO\ ⎷eut ?s?il est \o\ \ul? mo\trer ou e?rire que so\ ar}ume\t est u\ multi⎷le deπ. IO\ ⎷eut aussi mo\trer ou e?rire qu?il est e}al ?a so\ ?o\|u}ue.IO\ ⎷eut aussi mo\trer que sa ⎷artie ima}i\aire est \ulle.Exemples :do\\o\s deux exem⎷les qui develo⎷⎷e\t deux ?hemi\eme\ts diere\ts.
Determi\o\s les valeurs den2N⎷our lesquelles le ?om⎷lexez?= ?∞+i??soit reel. Comme z ?est sous {orme d?u\e ⎷uissa\?en-i?eme? le mieux est de ⎷asser ?a la {orme tri}o\ometrique de ∞ +i.O\ e?rit ∞ +i=p?e?4 et do\? ?ommez?est evidemme\t \o\ \ul?Argz?= nArg?∞ +i? =nπ4 doit ?etre u\ multi⎷le deπ??est-?a-dire quendoit ?etre u\ multi⎷le de 4.Soitz2CΓ fΓ∞getZ=zΓ∞z+
∞ ,o\ veut determi\erzde telle ma\i?ere queZsoit reel. Pour ?ela? o\ e?rit queZest reel si et seuleme\t siZ=Z,relatio\ qui s?e?rit? de ma\i?ere equivale\te ⎷arzΓ∞z+ ∞ =zΓ∞z+∞ ??est-?a-dire :zzΓz+zΓ∞ =zzΓz+ zΓ∞,z=z.Et o\ e\ deduit queZest reel si et seuleme\t sizest reel et diere\t deΓ∞.Mise en oeuvre : exercice 1.2.
?M´ethode 1.2.- Comment montrer ou caract´eriser qu"un complexezest ima- ginaire pur IO\ ⎷eut mo\trer ou e?rire que so\ ar}ume\t est de la {ormeπ/? +kπ, k2Z. IO\ ⎷eut aussi mo\trer ou e?rire qu?il est o⎷⎷ose ?a so\ ?o\|u}ue.IO\ ⎷eut aussi mo\trer que sa ⎷artie reelle est \ulle.Exemple :soitz2CΓ fΓ∞get re⎷re\o\sZ=zΓ∞z+∞ ,o\ veut determi\erzde telle ma\i?ere que
Zsoit ima}i\aire ⎷ur. Pour ?ela? o\ e?rit queZest ima}i\aire ⎷ur si et seuleme\t siZ=ΓZ,
relatio\ qui s?e?ritzΓ∞z+∞ =ΓzΓ∞z+∞ ??est-?a-dire?zzΓz+zΓ∞ =Γzz+zΓz+∞,zz= ∞. Et o\
e\ deduit queZest ima}i\aire ⎷ur si et seuleme\t sizest eleme\t deU?z6=Γ∞?. ?M´ethode 1.3.- Comment simplifier un complexez´ecrit sous forme d"une puissance de complexes, du typeZ?,o`un2N etZnon nul U\e methode est d?e?rireZsous {orme tri}o\ometriqueZ=ρe??et da\s ?e ?as? o\ e?rit? de {a≂?o\ immediatez=ρ?e???NOMBRES COMPLEXES7ΞΞExemple :on peut repartir de l"exemple pr´ec´edent de lam´ethode 1.1en ´ecrivant imm´ediatement
z= (1 +i)n= (⎷2) neinπ/4Remarquons, au passage, que l"id´ee qui viendrait `a certains d"utiliser laformule du binˆome de
Newtonpour d´evelopper (1+i)n,dans l"espoir de simplifier cette expression, est `a sortir rapidement
de leur esprit. Ici ce n"est absolument pas indiqu´e voire contre-indiqu´e. Par contre laformule du
binˆome de Newtonpeut aider `a calculer certaines sommes. Ne r´esistons pas au plaisir de le faire,
vous aurez ainsi une m´ethode gratuite en plus! Par exemple, comme (1 +i)n= (⎷2) neinπ/4=n? k=0? n k? i k, en prenant s´epar´ement la partie r´eelle et la partie imaginaire, on a : ⎷2) nc o s? nπ4 n 2k? (-1)k,(⎷2) nsi n? nπ4 n