On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R → R,x ↦→ chx = ex + e−x 2 En ce qui concerne les limites, on a ex −−−−→ x→+∞
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[PDF] Chapitre 13 :Fonctions hyperboliques
Chapitre 13 : Fonctions hyperboliques Analyse réelle et complexe Page 3 sur 8 F) Fonction th (tangente hyperbolique) 1 1 ch sh th 2 2 + − = + − = = • −
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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 http://ginoux univ-tln 2 Limites : • 0 1 lim 1 x x e x → − = • lim x x e →∞ = +∞ La fonction tangente hyperbolique
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On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R → R,x ↦→ chx = ex + e−x 2 En ce qui concerne les limites, on a ex −−−−→ x→+∞
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sh(x)=+∞ • Limite en −∞ : lim x→−∞ ex = 0 et lim
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On appelle « sinus hyperbolique », « cosinus hyperbolique » et « tangente La fonction cosinus hyperbolique est paire Limites en −∞ et en +∞ ( ) ( ) ( )
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La fonction cosinus hyperbolique est définie sur R par ch x = ex +e−x 2 • Elle est paire : pour tout réel x, ch(−x) = ch x La courbe représentative de ch admet
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Chapitre III
Fonctions hyperboliquesA Fonctions hyperboliques directesA.1 Sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique
A.1.1 D´efinition
On appelle fonctionsinus hyperboliquela fonction sh :R→R,x?→shx=ex-e-x2 .On appelle fonctioncosinus hyperboliquela fonction ch :R→R,x?→chx=ex+e-x2 .A.1.2 Remarques ?La fonction sh est impaire et la fonction ch est paire. En effet, elles sont d´efinies surRet, pour toutx?R, on a sh(-x) =e-x-e-(-x)2 =--e-x+ex2 =-shxet ch(-x) =e-x+e-(-x)2 =e-x+ex2 = chx.Le graphe de la fonction sh admet donc l"origine pour centre de sym´etrie; en particulier, on a sh0 = 0.
Le graphe de la fonction ch admet donc l"axe des ordonn´ees pour axe de sym´etrie.?Pour toutx?R, on a ch2x-sh2x= 1.
En effet, pour toutx?R, on a
ch2x-sh2x=?ex+e-x2
2-?ex-e-x2
2=?ex?2+ 2exe-x+?e-x?24
-?ex?2-2exe-x+?e-x?24 d"o`u ch2x-sh2x=4exe-x4
= 1.?Pour toutx?R, on a chx?1. En effet, soitx?R, on aex>0 ete-x>0 donc chx >0. D"autre part, la relation ch2x= 1+sh2x donne ch2x?1 donc chx?1 ou chx?-1. Comme chx >0, c"est donc que chx?1.
2Chapitre III- Fonctions hyperboliquesA.1.3 Proposition
La fonction sh est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est ch.La fonction ch est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est sh.D´emonstration
La fonction exponentielle est d´erivable surR, de mˆeme que la fonctionx?→e-x, donc les fonctionch et sh sont d´erivables surR(ce sont des sommes de fonctions d´erivables). Pour toutx?R, on a
sh ?x=?ex-e-x2 ?=ex-?-e-x?2 =ex+e-x2 = chxi.e.sh?= ch. De mˆeme, pour toutx?R, on a ch ?x=?ex+e-x2 ?=ex+?-e-x?2 =ex-e-x2 = shxi.e.ch?= sh.Passons `a l"´etude des variations de ces deux fonctions.?Pour la fonction sh, il suffit de l"´etudier sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction impaire. La d´eriv´ee
de sh est ch et on a vu que chx?1>0 pour toutx?Rdonc sh est strictement croissante surR.On a ch0 = 1 donc le graphe de sh admet la droite Δ d"´equationy=xpour tangente en 0.´Etudions
la position du graphe par rapport `a cette tangente. Il convient donc d"´etudier le signe de la fonction
f(x) = shx-x, cette fonction est d´erivable, de d´eriv´eef?(x) = chx-1?0. La fonctionfest donc
croissante surRorf(0) = 0 doncf(x)?0 pour toutx?0i.e.le graphe de sh est situ´e au-dessus de la droite Δ pourx?0 et en-dessous de Δ pourx?0.En ce qui concerne les limites, on aex----→x→+∞+∞ete-x----→x→+∞0 donc shx----→x→+∞+∞. Cherchons
maintenant si le graphe admet une asymptote en +∞; pour toutx >0, on a shxx x→+∞+∞.Il n"y a donc pas d"asymptote en +∞.
On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction sh et tracer son graphe.x-∞0 +∞
sh?x= chx+ + shx+∞ -∞0 0A- Fonctions hyperboliques directes3
?Pour la fonction ch, il suffit l`a aussi de l"´etudier sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction paire. La
d´eriv´ee de ch est sh et on a vu que shx >0 pourx >0 donc ch est strictement croissante sur ]0,+∞[.
On a sh0 = 0 donc le graphe de sh admet la droite Δ ?d"´equationy= 1 pour tangente en 0. Comme chx?1 pour toutx, le graphe de ch est situ´e au-desus de Δ?.En ce qui concerne les limites, on aex----→x→+∞+∞ete-x----→x→+∞0 donc chx----→x→+∞+∞. De mˆeme
que pour la fonction sh, le graphe de ch n"admet pas d"asymptote en +∞.On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction ch et tracer son graphe.x-∞0 +∞
ch?x= shx-+ chx+∞+∞10Δ
?A.2 Tangente hyperboliqueLe fait que la fonction cosinus hyperbolique ne s"annule pas permet d"introduire la fonction suivante :
A.2.1 D´efinition
On appelle fonctiontangente hyperboliquela fonction th :R→R,x?→thx=shxchx=ex-e-xe x+e-x.A.2.2 Remarques?La fonction th est impaire (puisque sh est impaire et ch est paire). Son graphe admet donc l"origine
pour centre de sym´etrie; en particulier, on a th0 = 0.?Pour toutx?R, on a 1-th2x=1ch 2x.En effet, on peut ´ecrire : 1-th2x= 1-sh2xch
2x=ch2x-sh2xch
2x=1ch
2x.A.2.3 Proposition
La fonction th est d´erivable surRet sa d´eriv´ee est donn´ee par : th?(x) = 1-th2x=1ch 2x.4Chapitre III- Fonctions hyperboliquesD´emonstration
Les fonctions sh et ch sont d´erivables surRet la fonction ch est d´efinie sur toutRdonc le quotientth =
shch d´efinit bien une fonction d´erivable surR. Pour toutx?R, on a th ?x=?shxchx? ?=sh?xchx-shxch?xch2x=ch2x-sh2xch
2x=1ch
2x.Passons `a l"´etude des variations. Il suffit d"´etudier th sur [0,+∞[ puisqu"il s"agit d"une fonction impaire.
La d´eriv´ee de th est?1ch
2donc th est strictement croissante surR.
On a ch0 = 1 donc le graphe de th admet la droite Δ d"´equationy=xpour tangente en 0.´Etudions
la position du graphe par rapport `a cette tangente. Il convient donc d"´etudier le signe de la fonction
g(x) = thx-x, cette fonction est d´erivable, de d´eriv´eeg?(x) =?1-th2x)-1?0. La fonctiongest donc
d´ecroissante surRorg(0) = 0 doncg(x)?0 pour toutx?0i.e.le graphe de th est situ´e en-dessous de la droite Δ pourx?0 et au-dessus de Δ pourx?0.En ce qui concerne les limites, on a :
thx=ex-e-xe x+e-x=exe x1-e-2x1 +e-2x=1-e-2x1 +e-2xmaise-2x----→x→+∞0 donc le num´erateur et le d´enominateur du quotient ci-dessous tendent tous deux
vers 1. Donc lim x→+∞thx= 1. Il s"ensuit que le graphe de th admet la droite d"´equationy= 1 pourasymptote en +∞(donc, par imparit´e, il admet la droite d"´equationy=-1 pour asymptote en-∞).
On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction th et tracer son graphe.x-∞0 +∞
th?x=1ch2x+ + thx1 -10 0 -11B Fonctions hyperboliques r´eciproquesB.1 R
´eciproque de la fonction sinus hyperbolique?La fonction sh est continue et strictement croissante surR, elle r´ealise donc une bijection de cet
intervalle sur son imageRet on peut d´efinir son application r´eciproque.B.1.1 D´efinition On appellefonction argument sinus hyperbolique, et on note Argsh :R→R,x?→Argshx ,l"application r´eciproque de la fonction sinus hyperbolique.Pour toutx?R, on a sh?Argshx?=xet Argsh?shx?=x.
B- Fonctions hyperboliques r´eciproques5
Les variations de la fonction Argsh surRsont les
mˆemes que celles de la fonction sh surR.x-∞0 +∞Argshx+∞
-∞0 0ΔB.1.2 Proposition
La fonction Argsh est d´erivable surRet
pour toutx?R,Argsh?(x) =1⎷1 +x2.B.2 R´eciproque de la fonction cosinus hyperbolique?La fonction ch est continue et strictement croissante sur [0,+∞[, elle r´ealise donc une bijection de
cet intervalle sur son image [1,+∞[ et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.2.1 D´efinition
On appellefonction argument cosinus hyperbolique, et on noteArgch : [1,+∞[→[0,+∞[,x?→Argchx ,l"application r´eciproque de la restriction de la fonction cosinus hyperbolique `a l"intervalle [0,+∞[.B.2.2 Remarques
?Pour toutx?1, on a ch?Argchx?=x.?Pour toutx?0, on a Argch?chx?=x. Il faut, de nouveau, prendre garde au fait que l"expression Argch?chx?est d´efinie pour toutx?R mais ne vaut exactementxque lorsquex?0. Les variations de la fonction Argch sur [1,+∞[ sont les mˆemes que celles de la fonction ch sur [0,+∞[. x1 +∞Argchx+∞
00 16Chapitre III- Fonctions hyperboliquesB.2.3 Proposition
La fonction Argch est d´erivable sur ]1,+∞[ et pour toutx?R,Argch?(x) =1⎷x2-1.B.3 R
´eciproque de la fonction tangente hyperbolique?La fonction th est continue et strictement croissante surR, elle r´ealise donc une bijection de cet
intervalle sur son image ]-1,1[ et on peut d´efinir son application r´eciproque.B.3.1 D´efinition
On appellefonction argument tangente hyperbolique, et on noteArgth :]-1,1[→R,x?→Argthx ,l"application r´eciproque de la fonction tangente hyperbolique.