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On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R → R,x ↦→ chx = ex + e−x 2 En ce qui concerne les limites, on a ex −−−−→ x→+∞

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Outil Mathématiques 1

L1 SPM - 2014-2015

Max Bauer

Université de Rennes 1, UFR Mathématiques

Table des matières

1 Fonctions numériques d"une variable réelle 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3 Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4 Notion d"asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Définition de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Propriétés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.6 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Définition de la notion de dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Continuité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.7 Extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.8 Quelques propriétés des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Limites de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Règle de l"Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.9 Convexité, concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Definition de la convexité, concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Convexité et différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.10 Plan d"étude d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.11 Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Définition et existence d"une fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Continuité et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2 Quelques fonctions classiques 21

2.1 Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
Relations importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Limites importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Représentation graphique de la fonctionln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Logarithme de basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Représentation graphique de la fonctionloga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23

2.2 La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
Relations importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Limites importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Exponentielle de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
Etude de fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Représentation graphique de la fonction puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Croissance comparée des fonctions logarithme, exponentielle et puissance . . . . . . . . .

29

2.6 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Définition des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
Formules de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
La fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7 Formules trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33
Symétries du sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Formules d"addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Formules de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Transformation de produit en somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.8 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34
La fonction arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
La fonction arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
La fonction arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Quelques formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.9 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
Définition des fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
La fonction sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
La fonction cosinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
La fonction tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Limites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.10 Formules trigonométriques hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
Formules de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
Transformation de produit en sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Les nombres complexes 44

2

3.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Définition et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Représentation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.2 Conjugué, module et argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45
Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Argument et forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48
Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Formules de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Un exemple de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Racines carrées d"un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Racines carrées sous forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49
Racines carrées sous forme exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5 Equation du second degré à coefficients dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

3.6 Racines n-ièmes d"un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Racines n-ièmes de l"unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51
Racines n-ièmes d"un complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Polynômes et fractions rationnelles 55

4.1 Polynômes surRouC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

Vocabulaire sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Décomposition en facteurs irréductibles dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 Décomposition en facteurs irréductibles dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

4.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59
Définition d"une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Partie entière d"une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Décomposition en éléments simples dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

Etapes à suivre pour la décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62
Exemples de décomposition en éléments simples dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

Décomposition en éléments simples dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

Exemples de décomposition en éléments simples dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

Récapitulatif des méthodes utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5 Calcul de primitives 67

5.1 Notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67
Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.3 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.4 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

5.5 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

5.6 Primitives se ramenant à des primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . .

73
3 Fonctions polynômiales encosxetsinx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 Fractions rationnelles encosxetsinx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 4 Fractions rationnelles enex,coshx,sinhx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

6 Équations différentielles 76

6.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76
La loi de refroidissement de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Définition d"une equation différentielle linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . .

76

La solution générale de l"équation sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

Solution de l"équation non-homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

Solution vérifiant une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

6.2 Equations du premier ordre à variables séparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

6.3 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants . . . . . . . . . .

84
Ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Définition d"une equation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants . .

84
L"équation sans second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
L"équation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Solution vérifiant des conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88
4

1 Fonctions numériques d"une variable réelle

1.1 Introduction

Dans ce chapitre comme dans la suite du polycopié, nous utiliserons les symboles suivants : 1.

Sym bolesense mblistes

-2: appartenance; siEest un ensemble,x2Ese lit : "xappartient àE». -: inclusion; siEetFsont deux ensembles,FEse lit : "Fest inclus dansE»; il ne faut

pas confondre ce symbole et le précédent, le symbole d"inclusion sert uniquement à comparer des

ensembles; ainsi la propriétéx2Es"écrit égalementfxg E, oùfxgdésigne le sous-ensemble

deEne contenant que l"élémentx. -;: ensemble vide. -\: intersection. -[: réunion. 2.

Connecteurs binaires

-=): implication; siPetQsont deux assertions,P=)Qest une nouvelle assertion, qui se lit : "PimpliqueQ». -(): équivalence; siPetQsont deux assertions,P()Qest une nouvelle assertion, qui se

lit : "Péquivalente àQ». La distinction entre cette notion et celle citée ci-dessus étant une des

bases du raisonnement mathématique, il faudra être extrêmement attentif à l"emploi de l"un ou

l"autre symbole. 3.

Quan tificateurs

-8: pour tout;8x2E :::se lit : " Pour toutxappartenant àE... ». -9: il existe;9x2E :::se lit : " Il existexappartenant àE... ».

Nous nous bornerons ici à employer les symboles ci-dessus comme de simples notations. Il faut cependant

se rappeler qu"il ne s"agit en aucun cas d"abréviations; ces symboles ne doivent jamais apparaître dans

une phrase en langage courant. Pour caractériser les éléments d"un ensemble, on utilisera aussi la notation

(non canonique!) :jqui se lit "tel que" : par exemple,fx2Rjx0gestR+.

L"étude générale d"une fonction numérique de la variable réelle a été abordée en Terminale.

Nous nous contenterons ici de brefs rappels et d"éléments nouveaux concernant les limites, les branches

infinies et les fonctions réciproques.

Nous vous invitons cependant à revoir soigneusement dans votre cours de Terminale ce qui concerne les

axes de symétrie du graphe d"une fonction, le calcul de limites, la continuité, la dérivabilité, le calcul de

dérivées et l"étude des variations d"une fonction.

1.2 Notations

Définition 1.1.Unefonction numériqued"une variable réelle dedomaine de définitionDfR, à

valeurs dans unensemble d"arrivéeIR, est un procédé qui à tout nombre réelx2Df, associe un

nombref(x)2I. On note f:Df!I; x7!f(x)

En pratique, on se donne souvent une fonction par une formule, et l"ensemble de définitionDfest laissé

à déterminer, comme étant le plus grand ensemble sur lequel la formule donnée a un sens.

Exemple 1.2.

f(x) =1p4x2:

De façon générale, il faut faire le liste des contraintes sur les éléments de formule, à partir de la connais-

sance des domaines de définition des fonctions usuelles.

Exemple 1.3.f(x) = ln(ex1) +px

22:
5 Définition 1.4.1.La courbe représentativedef(ougraphedef), est l"ensemble des points de coordonnées(x;f(x))pour tous lesx2Df. 2. Si x2Df,y=f(x), on dit queyest l"imagedexparf, etxun antécédentdey.

3.l"image def, notéeIm(f), est par définition

f(Df) =ff(x) :x2Dfg;

Exemple 1.5.Dans la figure 1 :

1.yest l"image dex1mais aussi dex2.

2. Les an técédentsde ysontx1etx2.x2x1yFigure1 - Visualisation des antécédents d"uny.

Exemple 1.6.1.Image de x7!x2,x2R.

2.

Image de x7!x3,x2R.

3.

Image de x7!sin(x),x2R.

1.3 Symétrie

Soitf:Df!Rune fonction.

Définition 1.7.1.On dit que festpairesi

8x2Df;x2Dfetf(x) =f(x):

2.

On dit que festimpairesi

8x2Df;x2Dfetf(x) =f(x):

Proposition 1.8.1.fest paire si son graphe est symétrique=Oy.

2.fest impaire si son graphe est symétrique=O.

Exemple 1.9.1.f(x) =jxj.

2.gn(x) =xn,n= 1;1;2;3;:::.

3.h(x) = ln(x2) +ex+ex:

Exemple 1.10.Montrer que la fonction

f(x) = ln(x+p1 +x2) vérifief(x) +f(x) = 0. Conclure. 6 Définition 1.11.1.P ourun T >0donné, on dit quefestpériodique de périodeTsi8x2Df;x+T2 D fetf(x+T) =f(x). 2. On dit que T0estlapériode def, siT0est le petit nombreT >0pour lequelfest périodique de périodeT. Exemple 1.12.La période de la fonctionx7!tan(x) =sin(x)cos(x)est.

La fonctionfest périodique si son graphe est préservé par une translation de vecteur horizontal(T;0).

La symétrie d"une fonction permet de limiter l"étude de la fonction à un intervalle d"étude qui est plus

petit que le domaine de définition. Exemple 1.13.Un domaine d"étude de la fonctionx7!cos(x)peut être l"intervalle[0;].

1.4 Notion d"asymptote

Pour ce chapitre,IRest un intervalle,f:I!Rest une fonction, etCfsa courbe représentative dans un repère orthogonal. Notation 1.14.On dit queCfadmet unebranche infinie si l"une au moins des coordonnées de l"un de ses points peut devenir, en valeur absolue, arbitrairement grande.

Ce chapitre est consacré à l"étude de quelques notions de branche infini. Pour simplifier l"écriture,1

désigne+1ou1. Définition 1.15.1.Deux courb esreprés entativesCfetCgsont ditesasymptotes en l"infini si : lim x!1[f(x)g(x)] = 0: 2. On dit que Cfadmet unedroite oblique d"équationy=ax+ben l"infini si lim x!1[f(x)(ax+b)] = 0:

Remarque.Le (2) est un cas particulier de (1).

Exemple 1.16.Considérons les fonctions définies par : f:x7!x2(1 +ex) g:x7!x2 C fetCgsont asymptotes en+1, carlimx!+1(f(x)g(x)) = limx!+1x2ex= 0. Définition 1.17.1.On dit que la courb ereprésen tativeCfd"une fonctionfadmet uneasymptote verticaleenasilimx!a+f(x) =1, oulimx!af(x) =1.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45