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[PDF] Chapitre 13 :Fonctions hyperboliques

Chapitre 13 : Fonctions hyperboliques Analyse réelle et complexe Page 3 sur 8 F) Fonction th (tangente hyperbolique) 1 1 ch sh th 2 2 + − = + − = = • −

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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 http://ginoux univ-tln 2 Limites : • 0 1 lim 1 x x e x → − = • lim x x e →∞ = +∞ La fonction tangente hyperbolique

[PDF] Fonctions hyperboliques

On appelle fonction cosinus hyperbolique la fonction ch : R → R,x ↦→ chx = ex + e−x 2 En ce qui concerne les limites, on a ex −−−−→ x→+∞

[PDF] 1) a) La fonction sinus hyperbolique : sh(x) = b) La fonction cosinus

sh(x)=+∞ • Limite en −∞ : lim x→−∞ ex = 0 et lim

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On appelle « sinus hyperbolique », « cosinus hyperbolique » et « tangente La fonction cosinus hyperbolique est paire Limites en −∞ et en +∞ ( ) ( ) ( )

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La fonction cosinus hyperbolique est définie sur R par ch x = ex +e−x 2 • Elle est paire : pour tout réel x, ch(−x) = ch x La courbe représentative de ch admet 

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10 1 2 Définition des fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique Cette expression n'a pas de limite réelle quand x tend vers −1 et donc f n'est pas  

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La fonction cosinus hyperbolique La fonction tangente hyperbolique position limite : c'est la tangente à Cf en A La tangente a pour pente f (a) et passe 

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On appelle cosinus hyperbolique la fonction : ch : R −→ R On appelle tangente hyperbolique la fonction : th : Les limites en ±∞ de ces fonctions sont : lim

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cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente circulaire, une tangente hyperbolique est un sinus cir- d'une limite de l'intégration à l'autre : on consi-

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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4

A. Fonctions exponentielle, puissance et logarithme

1. La fonction exponentielle de base a (

0a) xLn ax f xyfxae

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : xLn a xLn axx a e Ln a e Ln a a

Cas particulier : l'exponentielle de base e

Propriétés

01

1 ; eee

x xLn e x Ln x xex 2 xyxy xyeee 2 ,, x xy y exy ee 1, nxnxx x neeee ux ux euxe http://ginoux.univ-tln.fr 2

Limites :

0

1lim 1

x x e x lim x x e lim 0 x x e lim ; x x e x

2. La fonction logarithme de Neper

:f xyfx Lnx

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit :

1'Ln x

x

Propriétés

10Ln 1Ln e x xLn e x Ln x xex 2 ,, xy Lnx y Lnx Lny 2 ,, xxyLnLnxLnyy n n Lnx n Lnx

01 , 0xLnx

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Limites

lim x Ln x 0 lim x Ln x 1 lim 11 x Ln x x lim 0 ; x Ln x x 00

1lim lim 11

xx Ln xx xLnx 0 lim 0 ; 0 x xLnx

3. La fonction puissance

mLn xm f xyfxxe

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 1 mm xmx http://ginoux.univ-tln.fr 4

4. La fonction cosinus hyperbolique

2 xx f eexychx

La fonction

ychx est une fonction PAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'ch x sh x

5. La fonction sinus hyperbolique

2 xx f eexyshx

La fonction

yshx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'shx chx http://ginoux.univ-tln.fr 5

6. La fonction tangente hyperbolique

xx xx f sh xeexythxch x e e

La fonction

ythx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'th xch x

Relations importantes

22

1ch x sh x

x ch x sh x e x ch x sh x e 2 2

11th xch x

Lien hypertexte

: http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique http://ginoux.univ-tln.fr 6

B. Fonctions hyperboliques inverses

1. La fonction argsinus hyperbolique

2

1 y Argsh x Ln x x x sh y

Cette fonction continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argsh xx

2. La fonction argcosinus hyperbolique

2

1 y Argch x Ln x x x ch y

Cette fonction continue et définie sur

1, et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argch xx

3. La fonction argtangente hyperbolique

11 21xyArgthx Ln xthyx

Cette fonction continue et définie sur

1, 1 et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argth x

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T.D. N°3 FONCTIONS HYPERBOLIQUES

N°1

: Étudier le passage de la trigonométrie circulaire à la trigonométrie hyperbolique.

N°2

: Étudier les fonctions :

1, , , 1x

ch x sh x th x th x

N°3

: Démontrer que : 2 2tan2 1tan 2 x sin x x 2 22
1 2 x th sh x x th

N°4

: Démontrer que

Arctan sh x Arcsin th x

N°5

: Étudier la fonction 2 2 1 1x fx Argch x

N°6

: Démontrer que 11 21x

Argth x Ln

x

N°7

: Étudier la fonction

1fx Argth

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