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La courbe formant cette lettre est la réunion de deux courbes de Bézier : C1 et C2 Dans le repère O; i , j , on se donne les points O, A, B, C, et F

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L'équation paramétrique d'une courbe de Bézier peut être obtenue très facilement en présentant les coordonnées des points de contrôle Pi sur des lignes et les

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(a) Pn,0 = P(t) (b1) {P0,0,P1,0, ,Pn,0} = {Pi,0}0≤i≤n : polygone de contrôle de la partie de la courbe C correspondant `a s ∈ [0,t] (b2) {P0,n,P1,n−1, ,Pn,0}

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b) Donnez, pour la valeur t = 0,2 : ➢ les coordonnées du point ; ➢ les coordonnées du vecteur dérivé ; ➢ l'équation de la tangente (*) Les courbes de Bézier

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Les courbes de Bezier

Daniel Perrin

1 Introduction

Notre motivation pour l'etude des courbes de Bezier est qu'elles sont au programme

1de BTS et que l'expose de CAPES numero 62 porte sur ces

courbes. Les courbes de Bezier ont ete inventees vers la n des annees 1950 par un ingenieur des usines Renault nomme Pierre Bezier. L'objectif etait de faire tracer des courbes \comme a main levee" par l'ordinateur, notamment pour tracer des prols de carrosserie

2, etc. Un autre ingenieur { de chez Citroen

cette fois { Paul de Casteljau inventa, a la m^eme epoque un algorithme de numerisation de ces courbes. Il faut bien comprendre que, sur le plan mathematique, ces courbes n'ont rien d'extraordinaire. Il s'agit simplement de courbes algebriques unicursales, cubiques le plus souvent. En revanche, l'utilisation qui en a ete faite est tres astucieuse. Signalons qu'une autre application importante de ces courbes concerne la typographie et notamment les polices de caracteres. En particulier, les polices Postscript sont calculees a partir des courbes de Bezier. L'inter^et est que les courbes sont recalculees lors de chaque agrandissement, ce qui evite les phenomenes de \pixellisation" c'est-a-dire d'apparition de la grille sous- jacente comme sur la gure ci-dessous.ExercicesAlterna tifs

Introductionauxcourbesde B´ezier

c?2007Fr ´ed´ericLeRo ux(copyleftLDL:Licence pourDocumentsL ibres).

Sourcesetfigures:courbes-de-bezier/.

Versionimprimable:courbes-de-bezier.pdf

G´eom´etriediff´erentielle.DEUGpr emi`ereann´ee.Anglep´edagogique: Aquoi

¸casert .

Objectifsetcommentaires. Danscet exercice,o nd´efinitlescourbesd eB´ ezier cubiques,eton´etudiel"algorithmedet rac´edˆu`aCasteljau.L"introductionestextraite `al'´ecran?Danslesann ´ees1980,q uand lesordinateursper sonnels commen¸caienttout juste`aser´epandre,l'ordinateuravaiten m´emoireundessindec hacuned es26lettres del 'alphabet(sanscompterleslett resaccentu´ ees).Unelettr e´etaitsto ck´eeso uslaforme d'unegri lle8×8da nslaquellecha quecase´etaitallu m´eeou´ eteinte(noireoubl anche,ce quienm´ emoirecorresp ondausymbole0ou1).Parexemple, le"e"p ouvaitressemblerau dessindegauchedelafig ure1 . Fig.1:Z oomsurun"e": `agauche,avecunordinateurdesann´ees1980; `adroite,avec unor dinateuractuel Cettem´ethodeavaitdenom breuxinconv´enients.Enparticulier ,sil'on voulaitgrossir letexte` al'´ecran,l'ordinateurn epouvaitquegrossirlag rille,eton voyaitapparaˆıtre lesgr oscarr´esqui d´efinissaientlalettre,exactementcomme surled essinci-dessus.En comparaison,avecunordinateuractuel,on peutzoomer" `al'infini"sansvoirapparaˆıtre degr oscarr´es;pourtan t,l'´ecranlui-mˆemeesttou joursunegr illedepixels(ici,1024 sur768) :c'estdoncque le" e"surlequelo nazoom´en'estpasobtenu`apartird'une lettredetaille normalee neffectuantunpuragrand issement(u nehomoth´ etie!),sans quoi lescar r´esap paraˆıtraientassezvite.Ilsemblequ eleslettr esnesoientp lusd ´efiniesau moyend'unegri lle,mais`al'aidedecourbeslisses,etquel'ordinateurrecalculedesd´etails suppl´ementaires`ach aquenouvelagrand issement.Quellessont lescourbesutilis´eesp our produireceslettres,etcomm entsont-ellesd´ efinies?

1Figure1 {A gauche la lettre e grossie avec un ordinateur des annees 1980,

a droite avec un ordinateur actuel1. Le programme ne dit pas comment suppleer a la disparition de la notion de bary-

centre dans le secondaire ...

2. Y compris dans l'espace.

1 Enn, les courbes de Bezier sont aussi utilisees dans certains logiciels de dessin (par exemple le logicielPaintdeWindows).

2 Courbes de Bezier et polyn^omes de Bern-

stein

2.1 La problematique

On consideren+ 1 points du plan (n1, le plus souventn= 3), A

0;A1;:::;Anet on va denir une courbe parametreeM(t),t2[0;1], as-

sociee a ces points, ouM(t) est un barycentre desAi:

M(t) =B0(t)A0+B1(t)A1++Bn(t)An:

On demande que les coecientsBi(t) soient0, de somme 1 et qu'ils dependent detde maniere la plus reguliere possible. La solution adoptee par P. Bezier consiste a prendre les polyn^omes de Bernstein :

2.1 Denition.Les polyn^omes de Bernstein d'ordrensont les polyn^omes

B i;n(t) =n i t i(1t)ni. Lorsquenest xe on notera simplementBiau lieu deBi;n. On verie aussit^ot que lesBisont0 sur [0;1] et que leur somme est bien egale a 1 (c'est la formule du bin^ome appliquee a (1t+t)n).

2.2Remarques.1) On aB0;n(t) = (1t)netBn;n(t) =tn.

2) On notera que les polyn^omesBi(t) forment une base de l'espace vec-

toriel des polyn^omes de degren. (Regarder la valuation des polyn^omes.)

3) Les polyn^omesBiforment ce qu'on appelle une partition de l'unite.

Ils sont bien connus en analyse. En particulier, sifest une fonction continue sur [0;1] et si l'on pose : B n(f) =nX i=0fin Bi(t) on montre que la suite de polyn^omesBn(f) converge uniformement versf sur [0;1] (cela montre le theoreme de Weierstrass). 2

2.2 Proprietes des polyn^omes de Bernstein

2.3 Proposition.0) On aBi;n(0) = 0pouri >0etB0;n(0) = 1. On a

B i;n(1) = 0pouri < netBn;n(1) = 1.

1) La fonctionBi;n(t)admet un maximum sur[0;1], au pointin

.Ce maximum vautn i in i1in ni.

2) On a une relation de recurrence :

()Bi;n(t) = (1t)Bi;n1(t) +tBi1;n1(t):plotfunc(B0(x),x=0..1),plotfunc(B1(x),x=0..1),plotfunc(B2(x),x=0..1),plotfunc(B3(x),x=0..1),

x y

00.20.40.60.81

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 x:0.0268 y:0.377 in _|_ out cfg auto MFigure2 { Les polyn^omes de Bernstein pourn= 5 avec leurs bosses eni=n Demonstration.Le point 0) est evident. Pour 1), les casi= 0 eti=nsont clairs. Supposons donc 0< i < n. On calcule la derivee : B

0i;n(t) =n

i t i1(1t)ni1(int): On voit qu'elle est positive pourt < i=net negative au-dela et on a le resultat. Le point 2) est consequence de la propriete du triangle de Pascal :n i n1 i +n1 i1

2.3 Denition et proprietes des courbes de Bezier

Le plan euclidien est rapporte a un repere orthonorme, ce qui permet de l'identier aR2.

2.4 Denition.SoientA0;A1;:::;Ann+ 1points distincts du plan. La

courbe de Bezier(d'ordren) associee a ces points est la courbe parametree 3

Cdenie par :M(t) =nX

i=0B i(t)Ai, pourt2[0;1], ou lesBisont les po- lyn^omes de Bernstein d'ordren. On la noteB(A0;A1;:::;An). SiAiest le point (xi;yi), la notation signie que le pointM(t) a pour coordonneesx(t) =Pn i=0Bi(t)xiety(t) =Pn i=0Bi(t)yi.

2.5 Theoreme.0) La courbeCest une courbeC1.

1) On aM(0) =A0etM(1) =An.

2) La droite(A0A1)(resp.An1An)) est tangente aCenA0(resp.An).

3) La courbeCest dans l'enveloppe convexe desAi.

Demonstration.La courbe estC1puisque les coordonnees sont des fonctions polynomiales et le point 1) vient de 2.3.0.

La tangente enA0a pour vecteur directeur :

d !OM(t)dt (0) =nX i=0B

0i(0)!OAi:

LesB0iont ete calcules plus haut. On verie aussit^ot qu'on aB00(0) =n, B

01(0) =netB0i(0) = 0 pouri2. Le vecteur cherche est donc egal an!A0A1

ce qui donne le resultat. Le calcul est analogue pourt= 1. Cette fois on aB0n(1) =n,B0n1(1) = netB0i(1) = 0 pourin2, de sorte que le vecteur tangent estn!An1An. Le point 3) estevident puisqueM(t) est un barycentre desAia coecients positifs.

2.6Remarques.1) Les pointsA0;An(resp.Aipouri= 1;:::;n1) sont

appeles points d'ancrage (resp. de contr^ole) de la courbe. On notera que la courbe ne passe pas en general par ces points 3.

2) Comme les pointsAisont arbitraires et que les polyn^omes de Bernstein

forment une base de l'espace vectoriel des polyn^omes de degren, cela montre que les courbes de Bezier d'ordrensont toutes les courbes denies par des representations parametriques polynomiales de degren.

3) On montre queCest une partie d'une courbe algebrique de degren

(voir Annexe 1).

4) Une courbe de BezierCne peut pas ^etre un arc de cercle non reduit a

un point (voir Annexe 2).

5) Pourn= 1, la courbeCest egale au segment de droite [A0A1]. Nous

allons etudier plus precisement les casn= 2 etn= 3.3. Contrairement a d'autres courbes, lesB-splines, utilisees aussi en typographie, et ou

l'on impose qu'elles passent par un nombre ni de points. 4

2.4 Les courbes de Bezier d'ordre 2

On considere trois points distinctsA;B;Cdu plan. On poseA= (a1;a2), B= (b1;b2),C= (c1;c2). On considere la courbe de Bezier denie par M(t) = (1t)2A+2t(1t)B+t2C. Elle passe parAetCet elle est tangente respectivement a (AB) et (BC) en ces points. SiA;B;Csont alignes, la courbe est egale au segment [AB]. Sinon on a :

2.7 Theoreme.On supposeA;B;Cnon alignes. La courbeest une para-

bole.

Demonstration.On a les formules :

x(t) =at2+bt+cety(t) =a0t2+b0t+c0 aveca=a12b1+c1,b= 2(b1a1),a0=a22b2+c2,b0= 2(b2a2). On note queaeta0ne sont pas tous deux nuls (sinonBest le milieu de [AC]). On elimine les termes ent2entre ces equations :a0xay= (a0bab0)t+ a

0cac0. Si le coecient4detest nul on obtient une droite, ce qui est absurde

puisque les pointsA;B;Cne sont pas alignes (ne pas oublier que (AB) et (BC) sont tangentes a la courbe). Sinon, on a : t=a0xay+ac0a0ca

0bab0.

Si on designe parXcette quantite (ce qui revient a faire un changement de coordonnees cartesiennes) l'equation de s'ecrity=a0X2+b0X+c0et on a bien une parabole. Pour d'autres approches de ce resultat, voir Annexe 2.

2.5 Les courbes de Bezier d'ordre3

Cette fois on a quatre pointsA;B;C;Det on pose :

M(t) = (1t)3A+ 3(1t)2tB+ 3(1t)t2C+t3D:

Il resulte d'un theoreme general qui sera prouve dans l'annexe 1 que la courbeCest une (portion de) cubique, c'est-a-dire qu'elle est denie par une

equationF(x;y) = 0 ouFest un polyn^ome de degre3.4. Precisement, ce coecient vauta0bab0= 2a1b2+b1a2+c1b2b1c2+a1c2c1a2)

et c'est le determinant obtenu en bordant d'une ligne de 1 la matrice des coordonnees de

A;B;C.

2.5.1 Un exercice

L'exercice suivant est extrait d'un livre de BTS : On donne les pointsA= (0;0),B= (1;0),C= (1;1)etD= (0;1). Tra-

cer et comparer les courbes de Bezier=B(A;B;C;D)et=B(A;B;D;C).-0.200.20.40.60.811.21.4-0.200.20.40.60.811.21.4DABCVoici les equations parametriques de la courbe:x(t) = 3t3t2et

y(t) = 3t22t3et celles de:x(t) = 3t6t2+ 4t3ety(t) = 3t22t3. Pour construire ces courbes on etudie les fonctions sur [0;1]. Dans le cas de,yest croissante etxa un maximum ent= 1=2 qui vaut 3=4. Dans le cas deles deux fonctions sont croissantes. Si l'on revient a l'ecriture entet 1ton note aussit^ot qu'on a, pour, x(1t) =x(t) ety(1t) = 1y(t) (sans calcul!) donc une symetrie par rapport a la droitey= 1=2 et pour,x(1t) = 1x(t) ety(1t) = 1y(t) donc une symetrie par rapport au point (1=2;1=2). Ce dernier point est un point d'in exion de.

En fait, l'exercice aurait d^u aussi demander

5l'etude de la courbe

B(A;C;B;D) qui presente un point de rebroussement pourt= 1=2 et qui est aussi representee ci-dessus. Sur cet exemple on peut montrer que les courbes en question sont des portions de courbes algebriques. Faisons-le avec. Dire qu'un point (x;y)

est surc'est dire qu'il existettel que l'on ait a la foisx=3t2+ 3tet5. Il y a 24 courbes possibles, mais comme le groupe des isometries du carre est d'ordre

8, il y a seulement trois courbes possibles, a isometrie pres.

6 y=2t3+3t2. Un resultat general d'algebre montre qu'alors les coordonnees x;ysont liees par une relationR(x;y) = 0 ouRest un polyn^ome appele resultantdes deux polyn^omes ent, 3t23t+xet 2t33t2+y. Demontrons ce resultat dans ce cas particulier. On a, en multipliant les equations precedentes par des puissances det, le systeme : (S)8 >>>>>:2t43t3+yt= 0

2t33t2+y= 0

3t43t3+xt2= 0

3t33t2+xt= 0

3t23t+x= 0:

Dire que le point (x;y) est surimplique qu'il existettel que ces equations soient toutes satisfaites. Le systeme lineaire homogene 55 ci-dessus admet donc la solution non triviale (t4;t3;t2;t;1) et donc, son determinant est nul.

C'est ce determinant qui est le resultant :

R(x;y) =

23 0y0

0 23 0y

33x0 0

0 33x0

0 0 33x

= 4x3+ 9x2+ 27y227y: Les logiciels de calcul formel font ce travail automatiquement. Par exemple, surxcas, la commande estresultant(x-P(t), y-Q(t),t). Nous revenons dans l'annexe 1 sur ce theme.

3 Implantation avec Geogebra

Il y a deux manieres d'implanter les courbes de Bezier sur Geogebra. Nous decrivons ces manieres dans le casn= 3, mais le cas general est analogue. On se donne quatre pointsA;B;C;D. La premiere maniere, que nous dirons dynamique, consiste a introduire un curseurt, variant de 0 a 1 et a denir, dans la fen^etre de saisie :

M= (1t)b3A+ 3(1t)b2tB+ 3(1t)tb2C+tb3D

et il ne reste plus qu'a activer la trace du pointMet a animertpour voir se tracer la courbe. Le defaut de cette maniere est que si on deplace les points de base il faut relancer l'animation pour y voir quelque chose. 7 La seconde maniere, dite statique, consiste a rentrer la courbe parametree, la commande est la suivante :courbe[P(t);Q(t);t;0;1]. Par exemple, avec quatre pointsA;B;C;D, on rentre : P(t) = (1t)b3x(A)+3(1t)b2tx(B)+3(1t)tb2x(C)+tb3x(D): La, si l'on bouge les points de base, la courbe se deforme en direct. Bien entendu, on peut mettre ensemble diverses courbes pour obtenir des dessins. Si l'on veut des courbes de classeC1il faut veiller a aligner les tangentes en un point. On peut ensuite, selon les souhaits, supprimer ou non

les lignes de construction. Voici quelques exemples.Une fois realisees ces procedures, on en fait des outils que l'on enregistre

pour pouvoir les reutiliser.

4 Construction recursive des courbes de Bezier

Le principe de ce paragraphe est de construire une courbe de Bezier d'ordrena partir de deux courbes de Bezier d'ordren1. Precisement, on a le resultat suivant : 8

4.1 Proposition.On consideren+ 1pointsA0;A1;:::;Andu plan. On

noteM(t)(resp.P(t), resp.Q(t)) le point courant de la courbe de Bezier B(A0;A1;:::;An)(resp.B(A0;A1;:::;An1), resp.B(A1;:::;An)). Alors, on a la formuleM(t) = (1t)P(t) +tQ(t).

Demonstration.On a, par denition,M(t) =nX

i=0B i;n(t)Ai,P(t) =n1X i=0B i;n1Ai etQ(t) =nX i=1B i1;n1(t)Ai. (Pour la derniere formule, on poseA0j=Aj+1 pourj= 0;:::;n1 et on aQ(t) =n1X j=0B j;n1A0jpar la m^eme formule queP(t).) La conclusion est alors evidente gr^ace a l'egaliteBi;n(t) = (1 t)Bi;n1(t) +tBi1;n1(t).

4.2Remarques.1) Le sens cinematique de cette proposition est clair : on

imagine queP(t) etQ(t) parcourent respectivementB(A0;A1;:::;An1) et B(A1;:::;An) avec une vitesse uniforme et l'on fait parcourir aM(t) le seg- ment [P(t)Q(t)].

2) Avec Geogebra, cela permet de fabriquer sans peine un outil pour

tracer les courbes d'ordrenquand on en dispose pour celles d'ordren1. En particulier on peut tracerB(A;B;C) a partir deB(A;B) etB(B;C), puis

B(A;B;C;D) a partir deB(A;B;C) etB(B;C;D).

3) On peut d'ailleurs, en allant au bout de la methode, obtenir une anima-

tion assez spectaculaire, disons pour la courbeB(A;B;C;D). Elle consiste a prendre des points :M2[AB],N2[BC],P2[CD],I2[MN] etJ2[NP], 9 et ennQ2[IJ] et a animer tous ces points avec la m^eme vitesse uniforme (autrement dit on prendM= (1t)A+tB, etc. ). On voit alors que le point Qdecrit la courbe de BezierB(A;B;C;D). Dans cette operation, les points I;Jdecrivent les courbesB(A;B;C) etB(B;C;D) etQparcourt la droite [IJ] comme dans 4.1. On notera aussi que la gure obtenue ressemble beaucoup a celle de l'al- gorithme de Casteljau.

5 L'algorithme de Casteljau

5.1 Denition

Une question non evidente est de savoir comment procede un ordinateur pour construire une courbe, par exemple de Bezier. M^eme si l'apparence de la courbe est continue, il est clair qu'elle est en realite formee de points isoles (les pixels de l'ecran) et qu'elle n'est qu'une approximation de la courbe consideree. Dans le cas d'une courbe de Bezier, disonsB(A;B;C;D), une premiere approximation grossiere consiste a l'approcher par la ligne polygo- nale [AB][[BC][[CD]. L'algorithme de Casteljau permet d'aner cette approximation en ajoutant progressivement des points de contr^ole. Rappelons la notion de concatenation (ou mise bout a bout) de deux courbes :

5.1 Denition.Soientet

deux courbes parametrees par le segment[0;1].

On note aussi(t)et

(t)les fonctions(x(t);y(t))correspondantes. On ap- pelle courbe obtenue parconcatenation(ou mise bout a bout) des courbes la courbedenie comme suit sur[0;1]:

Pourt2[0;1=2]on pose(t) =(2t).

Pourt2[1=2;1]on pose(t) =

(2t1).

On note=_

On est dans le casn= 3. On se reportera a la gure 3. On notemil(A;B) le milieu des pointsA;B. Au depart on a quatre pointsA0;A1;A2;A3et on cherche a approcher la courbe de Bezier= B(A0;A1;A2;A3) associee a ces points. On construit d'abord le pointM= mil(A1;A2), puis on denit des pointsBi:B0=A0,B1=mil(A0;A1),B2= mil(B1;M) et des pointsCi:C3=A3,C2=mil(A2;A3),C1=mil(M;C2).

On a alors le theoreme suivant :

10 A0A1A2A3MB1B2C2C1B3Figure3 { L'algorithme de Casteljau

5.2 Theoreme.Le pointB3=C0, milieu de[B2C1]est egal a(1=2)et

la courbeest obtenue en concatenant les courbes=B(B0;B1;B2;B3)et =B(C0;C1;C2;C3). Demonstration.On a(t) = (1t)3A0+3(1t)2tA1+3(1t)t2A2+t3A3.

On calcule les points intermediaires :

0=A0; B1=A0+A12

,C2=A2+A32 ,M=A1+A22 B

2=B1+M2

=A0+ 2A1+A24 ,C1=C2+M2 =A1+ 2A2+A34 B

3=C0=B2+C12

=A0+ 3A1+ 3A2+A38 On constate qu'on aB3=(1=2) ce qui montre que ce point est bien sur. Pour montrer que la courbeest bien la concatenee de; il faut montrer d'abord qu'on a, pourt2[0;1=2],(t) =(2t), puis, pourt2[1=2;1], (t) = (2t1). Faisons le premier calcul, assez saum^atre, le second est analogue.

On a la formule :

(2t) = (12t)3B0+ 3(12t)2(2t)B1+ 3(12t)(2t)2B2+ (2t)3B3: 11 On remplace lesBipar leurs valeurs en fonction desAiet on regroupe les termes. Seul le terme enB3a une contribution surA3, qui est exactement t

3. SurA2on a 3(12t)t2+ 3t3= 3t2(1t) comme attendu. SurA1on a :

3t(12t)2+ 6t2(12t) + 3t3= 3t(1t)2:

Enn, surA0, on a :

(12t)3+ 3t(12t)2+ 3t2(12t) +t3 et on reconna^t le developpement de ((12t) +t)3= (1t)3.

5.3Remarques.0) Contrairement a la construction recursive qui permet de

construire une courbe de Bezier d'ordrena partir des courbes d'ordres plus petits, on ecrit ici la courbe comme reunion de deux sous-courbes de m^eme ordre.

1) L'algorithme donne la tangente aau pointt= 1=2, c'est la droite

(B2C1). En eet, c'est a la fois (B2B3) sur la courbeet (C0C1) sur la courbe . On peut d'ailleurs le verier par le calcul. On a :

0(1=2) =34

(A3+A2A1A0) = 3!B2C1:

2) On notera que l'algorithme de Casteljau s'exprime tres simplement en

termes de matrices avec comme seuls coecients des inverses de puissances de 2 :quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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