[PDF] [PDF] Courbes de Bézier - Free

[PDF] Les courbes de Bézier - Département de Mathématiques dOrsay

programme1 de BTS et que l'exposé de CAPES numéro 62 porte sur ces courbes Les courbes de Bézier ont été inventées vers la fin des années 1950 par un

[PDF] Courbes de Bézier et barycentres ou contraintes 1 Courbes de

Vocabulaire : le segment [AB] est la Courbe de Bézier de degré 1 avec les points de contrôle A et B Les polynômes 1 - t et t sont les polynômes - poids de 

[PDF] BTS Blanc 2009 Corrigé correct

2 ) ) On obtient Åu (3;2) Le tracé du vecteur (ou de la tangente s'en déduit) Courbes de Bézier Courbes B Spline Equations différentielles Étude de fonction 

[PDF] Courbes de Bézier - Free

Définition 1 : Le segment [AB] est la courbe de Bézier de degré 1 avec points de contrôle A et B Les polynômes 1 

[PDF] Courbes de Bézier 62 - Les leçons de mathématiques à loral du

26 août 2015 · Plus ε est petit, plus le tracé est « continu » 62 5 Des exercices type BTS □ Exercice 62 14 Calculer et représenter la courbe de Bézier dont les 

[PDF] Présentation des courbes de Bézier

une courbe de Bézier de degré 2 puis 3 puis" en prenant les points de contrôle 3 le quoiqu'clIc figure IIU progmmme des BTS Informauque Industrielle

[PDF] Sujet dexamen Table des matières

La courbe formant cette lettre est la réunion de deux courbes de Bézier : C1 et C2 Dans le repère O; i , j , on se donne les points O, A, B, C, et F 

[PDF] Exercices de Mathématiques Courbes paramétrées

L'équation paramétrique d'une courbe de Bézier peut être obtenue très facilement en présentant les coordonnées des points de contrôle Pi sur des lignes et les 

[PDF] Courbes de Bézier

(a) Pn,0 = P(t) (b1) {P0,0,P1,0, ,Pn,0} = {Pi,0}0≤i≤n : polygone de contrôle de la partie de la courbe C correspondant `a s ∈ [0,t] (b2) {P0,n,P1,n−1, ,Pn,0} 

[PDF] TP : Courbes paramétrées (avec Geogebra)

b) Donnez, pour la valeur t = 0,2 : ➢ les coordonnées du point ; ➢ les coordonnées du vecteur dérivé ; ➢ l'équation de la tangente (*) Les courbes de Bézier 

[PDF] exercice illustrator gratuit

[PDF] illustrator pour les nuls pdf gratuit

[PDF] cour illustrator pdf

[PDF] exercice illustrator gratuit pdf

[PDF] tutorial adobe illustrator pdf

[PDF] exercice illustrator pdf

[PDF] cours illustrator cc pdf

[PDF] courbe de croissance bactérienne en milieu renouvelé

[PDF] calcul taux de croissance bactérienne

[PDF] exercice courbe de croissance bactérienne

[PDF] exercices croissance bacterienne

[PDF] croissance bactérienne cours

[PDF] milieu de culture non renouvelé définition

[PDF] reglage disjoncteur schneider

[PDF] réglage isd disjoncteur

Section technicien supérieurCours de mathématiquesChapitre 16Courbes de Bézier Les courbes de Bézier sont utilisées dans de très nombreusesapplications : •commandes de machines numériques; •programmes de dessin vectoriel (segments courbes); •polices True-type; •morphing : déformation d'images.

Le concept a été développé initialement dans le cadre de la construction automobile en France

à partir des années 60, par des ingénieurs (Bézier chez Renault, de Casteljau chez Citroën) qui

cherchaient à définir de la manière la plus concise les courbes des carrosseries.

Aymar de Saint-Seine

Année scolaire 2011-2012

Cours de mathématiquesSTS

1.INTRODUCTION

1.1.Historique

Au début des années 60, les machines numériques ne savaient usiner de façon précise que

des courbes simples comme des paraboles ou des ellipses. Uneseconde catégorie d'objets,

au contraire, offrait une forme a priori peu précise, déterminée expérimentalement. Les hélices

d'avions, les coques de bateaux et les carrosseries de voitures étaient tracées à main levée, sans

que l'on puisse décrire leurs formes par une formule mathématique.

Pierre Bézier, ingénieur français diplômé du Conservatoire national des arts et métiers, pour-

suivait, une carrière à la Régie Renault, atteignant le poste de directeur des méthodes mé-

caniques. Les machines à commande numérique de cette époque offraientune programmation limitée.

Il fallait les alimenter avec des nombres, ce que l'on savaitfaire pour des déplacements élé-

mentaires comme des droites, des arcs de cercle, et à la rigueur des ellipses. Mais il n'était

pas question de programmer des courbes quelconques, tracées à la main, faute d'une définition

numérique de celles-ci. Pierre Bézier chercha donc commenttraduire mathématiquement une

courbe, puis une surface, dessinées à main levée. Il lui fallait concevoir un système capable

de gérer des courbes gauches, c'est-à-dire de manipuler dessurfaces en 3D, d'où la nécessité

de définir un modèle mathématique qui ne soit pas limité à des courbes en deux dimensions.

Enfin, l'ingénieur entendait inventer un système complet pour créer un objet en volume à par-

tird'un dessin, le tout avec une rapiditéd'exécution suffisante, et compréhensibleintuitivement.

Mais ses recherches n'étaient pas entièrement originales.Dès 1958, un mathématicien employé

par Citroen, Paul de Casteljau, s'était attaqué au même problème. Paul de Casteljau était chargé

de numériser une courbe, une fois celle-ci tracée, sans se poser la question d'une correction a

posteriori. Il définissait ses courbes comme caractériséespar des pôles, d'une façon nettement

moins parlante que les points de contrôle de Bézier.

L'aventure de Pierre Bézier aurait pu s'arrêter là. Mais un groupe de développeurs liés à Apple

créa un langage adapté à la future imprimante laser conçue pour le Mac. Il s'agissait de trou-

ver un moyen de définir mathématiquement une courbe, comme letracé d'un caractère, avant

de l'envoyer à l'imprimante. L'un de ces développeurs connaissait le travail du Français. Tout

naturellement, il choisit les courbes de Bézier comme base du langage PostScript et fonda la

société Adobe. Microsoft adopta à son tour les polices true-type à partir de Windows 3.1. Ces

polices utilisent les courbes de Bézier pour définir les caractères aux formes arrondies.

1.2.Exemples progressifs de courbes de Bézier

1.2.i) Courbe de Bézier de degré 1

On considère deux pointsAetBet soitM(t)le barycentre de(A,1-t)(B,t). •sit= 0alorsMest enA; 1

Chapitre 16Courbes de Bézier

•sit= 0,5alorsMest au milieu de[AB]; •sit= 1alorsMest enB. Quandtparcourt l'intervalle[0,1], il est clair que le pointM(t)décrit tout le segment[AB]. A M(t)B

Définition 1 :

Le segment[AB]est lacourbe de Bézierde degré 1 avecpoints de contrôleAetB. Les polynômes1-tettsont les polynômes oupoids de Bernsteinde degré 1.

1.2.ii) Courbe de Bézier de degré 2

Construisons une autre courbe en rajoutant une 2ème étape à ce qui précède :

1ère étape : 2 courbes de Bézier de degré 1 :

•SoitM1(t)le barycentre de(A,1-t)(B,t);M1(t)décrit[AB]. •SoitM2(t)le barycentre de(B,1-t)(C,t);M2(t)décrit[BC].

2ème étape :

•SoitM(t)le barycentre de(M1,1-t)(M2,t). On fait décrire àtle segment[0;1].M1parcourt alors[AB]etM2parcourt alors[BC]. Le point

Mdécrit lui la courbe ci-dessous.

On remarque que :

•M(t)décrit alors une courbe de degré 2 qui, par définition, commence enAet se finit enC,

et a pour tangentes(AB)enAet(BC)enC. •En tout pointM, la tangente à la courbe est le segment[M1M2]. •M(t)se situe à la même proportiondu segment[M1M2]queM1par rapport au segment[AB] ouM2par rapport au segment[BC]. http://lyceeenligne.free.fr2

Cours de mathématiquesSTS

itérative des barycentres qui a été faite. CBA N 1(t) N

2(t)M(t)

1-t t 1-t t 1-t t

À partir de celui-ci et en utilisantles propriétés d'associationdu barycentre, on établit leschéma

condensé de Bernstein : CBA M(t) (1-t)2= 1-2t+t2

2(1-t)t= 2t-2t2

t2 Ainsi, en prenant le pointOcomme origine, on obtient : OM= (1-t)2-----→OA+ 2t(1-t)-----→OB+t2-----→OC; ce qui se traduit sur les coordonnées par : ?xM(t) = (1-t)2xA+ 2t(1-t)xB+t2xC y

M(t) = (1-t)2yA+ 2t(1-t)yB+t2yC

Définition 2 :

M(t)décrit la courbe de Bézier de degré2avec3points de contrôleA,BetC. Les polynômes(1-t)2,2t(1-t)ett2sont les polynômes - poids de Bernstein de degré 2.

1.2.iii) Courbe de Bézier de degré 3

Construisons une autre courbe en rajoutant une 3ème étape à ce qui précède :

1ère étape : 3 courbes de Bézier de degré 1 :

•SoitM1(t)le barycentre de(A,1-t)(B,t); •SoitM2(t)le barycentre de(B,1-t)(C,t); 3

Chapitre 16Courbes de Bézier

•SoitM3(t)le barycentre de(C,1-t)(D,t).

2ème étape : 2 courbes de Bézier de degré 2 :

•SoitN1(t)le barycentre de(M1,1-t)(M2,t); •SoitN2(t)le barycentre de(M2,1-t)(M3,t).

3ème étape : 1 courbe de Bézier de degré 3 :

•SoitM(t)le barycentre de(N1,1-t)(N2,t);

Schéma pyramidal de Casteljau

DCBA M 1(t) M 2(t) M 3(t)N 1(t) N

2(t)M(t)

1-t t 1-t t 1-t t 1-t t 1-t t 1-t t

Schéma condensé de Berstein

DCBA M(t) (1-t) 3

3t(1-t)2

3t2(1-t)

t3

En prenant le pointOcomme origine, on obtient :

OM= (1-t)3-----→OA+ 3t(1-t)2-----→OB+ 3t2(1-t)-----→OC+t3------→OD; La représentation paramétrique de la courbe est donc : ?xM(t) = (1-t)3xA+ 3t(1-t)2xB+ 3t2(1-t)xC+t3xD y

M(t) = (1-t)3yA+ 3t(1-t)2yB+ 3t2(1-t)yC+t3yD

Définition 3 :

M(t)décrit la courbe de Bézier de degré 3 avec 4 points de contrôleA, B, C et D. Les Polynômes(1-t)3,3t(1-t)2,3t2(1-t)ett3sont les polynômes- poidsdeBernstein du degré 3. http://lyceeenligne.free.fr4

Cours de mathématiquesSTS

Remarque :Intérêt du degré 3 : en plus des courbes d'une plus forte régularité, il permet de

dessiner des plis (comme ceux de la cubique d'équation :y=x3-3x, enx= 1ou-1), ou des points d'inflexion (comme celui de la cubique d'équation:y=x3-3x, enx= 0), ou des points de rebroussements (comme le point médian dans le chiffre 3), ou des points doubles (comme le croisement dans la lettre alpha), ce que le degré 2,avec ses arcs de paraboles, ne sait pas faire! Dans la pratique, on se limite généralement à des courbes de Béziers de degré 3.

1.3.Conclusion et remarques

Cette construction, itérative, peut être poursuivie bien au delà du degré3(qui suffit générale-

ment), jusqu'à n'importequel degrék. On obtient alors une courbe de Bézier de degrék, àk+1

points de contrôle.

D'une manière genérale, une courbe de Bézier est une courbe paramétrique qui permet très

simplement, par construction itérée de barycentres, de réaliser un arc de courbe continu d'ex-

trémités imposées, et avec des points de pontrôle qui définissent les tangentes à cette courbe.

Une courbe de Bézier revient à réaliser une sorte de moyenne pondérée d'une suite de segments

contigus, bornés par les points de contrôle.

Remarques :

•Les propriétés du Barycentre (conservé par transformationaffine quelconque) entraînent la

chose suivante : Appliquer une même transformation affine à tous les points de contrôle revient à appliquer cette transformation affine à l'ensemble de la courbe.

•Après traduction de cette construction en coordonnées du pointM(t)décrivant la courbe de

Bézier, on se rend compte que les points de contrôle définissent plus exactement les vitesses

(pour Bézier de degré 2), voire les accélérations (pour Bézier de degré 3) du pointM(t).

•Les courbes de Bézier sont à la base des polices vectoriellesde caractères et images vecto-

rielles utilisées actuellement dans nos ordinateurs. Par exemple, mettre une lettre de police vectorielle en italiques revient ainsi à déplacer ses

points de contrôle supérieurs vers la droite d'autant plus qu'ils sont éloignés de la base de la

lettre, invariante (par une transformation affine appelée "cisaillement"); de même, en dessin d'animation, le morphing d'une courbe est beaucoup plus simple à décrire par la seule dy- namique de ses points de contrôle.

2.PRÉSENTATION PAR VECTEURS ET CONTRAINTES

2.1.Cas de 3 vecteurs

Considérons trois pointsP0,P1etP2et les trois vecteurs associés-→V0=-------→OP1,-→V1=--------→P0P1et

V2=--------→P1P2dans un repère(O;?i,?j).

SoitM(t)défini par-------→OM(t) =-→V0+f1(t)-→V1+f2(t)-→V2,f1etf2étant des polynômes de degré

2, de la variabletdans[0;1].

On impose les contraintes :

•la courbe a pour extremitéP0(pourt= 0) etP2(pourt= 1); •le vecteur-→V1est tangent à la courbe enP0; •le vecteur-→V2est tangent à la courbe enP1. 5

Chapitre 16Courbes de Bézier

V0 V1 V2 P 0P 1 P 2 d-------→OM(t) dt(0)colinéaire à-→V1 d OM(t) dt(1)colinéaire à-→V2 comme d-------→OM(t) dt=f?1(t)-→V1+f?2(t)-→V2, on a donc :???????f

1(0) = 0etf2(0) = 0

f

1(1) = 1etf2(1) = 1

f ?2(0) = 0etf?1(0) =cte non nulle f ?1(1) = 0etf?2(0) =cte non nulle Puisquef1etf2sont du deuxième degré, on af1(t) =at2+bt+cetf2(t) =αt2+βt+γ. Le système devient alors :???c= 0etγ= 0 a+b= 1etα+β= 1

β= 02a+b= 0soit???β= 0

α= 1

γ= 0???

a=-1 b= 2 c= 0 On en déduit-------→OM(t) =-→V0+ (-t2+ 2t)-→V1+t2-→V2 donc OM(t) =-------→OP0+ (-t2+ 2t)--------→P0P1+t2--------→P1P2 OP0+ (-t2+ 2t)(-------→P0O+-------→OP1) +t2(-------→P1O+-------→OP2) = (t2-2t+ 1)-------→OP0+ (-2t2+ 2t)-------→OP1+t2-------→OP2 On retrouve la définition par points de contrôle et polynôme de Berstein de degré 2.

2.2.Cas de 4 vecteurs

Dans un repère(O;?i,?j), on considére quatres pointsP0,P1,P2etP3et les quatres vecteurs associés :

SoitM(t)défini par-------→OM(t) =-→V0+f1(t)-→V1+f2(t)-→V2+f3(t)-→V3,f1,f2etf3étant des polynômes

de degré3de la variabletdans[0;1].

On impose les contraintes :

•la courbe a pour extremitéP0(pourt= 0) etP3(pourt= 1); •le vecteur-→V1(et donc la droite(P0P1)) est tangent à la courbe enP0; •le vecteur-→V3(et donc la droite(P2P3)) est tangent à la courbe enP3; http://lyceeenligne.free.fr6

Cours de mathématiquesSTS

•la concavité de la courbe enP0est géré par-→V1et-→V2(admis); •la concavité de la courbe enP3est géré par-→V2et-→V3(admis); V0 V1

V2-→V3

P 0P 1P 2 P 3 Comme fait-ci dessus, on montre que les contraintes se traduisent par : ?-------→OM(0) =-→V0-------→OM(1) =-→V0+-→V1+-→V2+-→V3 d-------→OM dt(0)colinéaire à-→V1 d OM dt(1)colinéaire à-→V3 d

2-------→OM

dt2(0)independant de-→V3 d

2-------→OM

dt2(1)independant de-→V3soit ?f

1(0) =f2(0) =f3(0) = 0

f

1(1) =f2(1) =f3(1) = 1

f ?2(0) =f?3(0) = 0 f ?1(1) =f?2(1) = 0 f ??3(0) = 0 f ??1(1) = 0

En posantf1(t) =at3+bt2+ct+d,..., on obtient que

?f

1(t) =t3-3t2+ 3t

f

2(t) =-2t3+ 3t2

f

3(t) =t3

On retrouve les polynômes de Berstein de degré 3.

3.COURBES DEBÉZIER

Définition 4 : Polynômes de Berstein

Soientnun entier naturel non nul etiun entier naturel tel que0?i?n. On appelle (fonction)polynôme de Bernstein, les fonctions polynômes définies par : B i,n(t) =Cinti(1-t)n-i 7

Chapitre 16Courbes de Bézier

Définition 5 : Courbes de Bézier

Soient, dans le plan muni d'un repère(O;?i,?j),n+1pointsP0,P1,···Pn. À tout nombre réelt?[0,1], on associe le pointM(t)défini par :

OM(t) =i=n?

i=0B i,n(t)------→OPi. oùBi,n(t) =Cniti(1-t)n-isont les polynômes de Bernstein. L'ensemble des pointsM(t)lorsquetdécrit l'intervalle[0;1]est une courbeCappelée courbe de Bézier de points de contrôleP0,P1,···Pn. Exemple :On considère les quatre points de contrôleP0(0;0),P1(1;2),P2(2;0)etP3(-1;0).

OM(t) =i=3?

i=0B i,3(t)------→OPi = (1-t)3?00? + 3t(1-t)2?12? + 3t2(1-t)?20? +t3?-1 0? = (1-3t+ 3t2+t3)?00? + (3t-6t2+ 3t3)?12?quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16