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La courbe formant cette lettre est la réunion de deux courbes de Bézier : C1 et C2 Dans le repère O; i , j , on se donne les points O, A, B, C, et F

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L'équation paramétrique d'une courbe de Bézier peut être obtenue très facilement en présentant les coordonnées des points de contrôle Pi sur des lignes et les

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(a) Pn,0 = P(t) (b1) {P0,0,P1,0, ,Pn,0} = {Pi,0}0≤i≤n : polygone de contrôle de la partie de la courbe C correspondant `a s ∈ [0,t] (b2) {P0,n,P1,n−1, ,Pn,0}

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b) Donnez, pour la valeur t = 0,2 : ➢ les coordonnées du point ; ➢ les coordonnées du vecteur dérivé ; ➢ l'équation de la tangente (*) Les courbes de Bézier

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[PDF] TP : Courbes paramétrées (avec Geogebra)

TP : Courbes paramétrées (avec Geogebra)

Exercice I - Courbes de Bézier(*)

Cet exercice s'inspire d'un autre de Nathalie Pierre.

Certaines polices de caractères utilisent des courbes paramétrées pour dessiner les lettres.

Nous étudions un exemple de tracé d'une lettre ici. Soit C la courbe défnie par₁ : {x(t)=-2t2+3t y(t)=t2+2tpour t ∈ [0 ; 1].

Démarrez Geogebra.

1°) Entrez chacune de ces deux fonctions dans la ligne de Saisie. Cela marche-t-il ?

(efffacez vos constructions ensuite)

2°) Entrez maintenant dans la ligne de Saisie la commande :

(-2t^2+3t , t^2+2t)

Quel est le problème ?

3°) La commande la plus complète pour tracer une courbe paramétrée est la

commande Courbe[...] !

Tapez dans la ligne de saisie cette commande :

C_1 = Courbe[-2t^2+3t , t^2+2t , t , 0 , 1]

(utilisez la touche Tabulation pour aller plus vite)

4°) Dans cette question 4°), on voit comment trouver des points de la courbe...

a) Déterminez l'abscisse (à 0,01 près) du point de C d'ordonnée 0,5. ₁b) On voit maintenant comment trouver des points de la courbe C correspondant à ₁certaines valeurs de t. Calculez les coordonnées du point de la courbe de paramètre 0,5.

Avec Geogebra, tapez dans la ligne de Saisie :

A = C_1(0.5)

5°) Donnez les équations des tangentes suivantes à la courbe C

t00,51

Équation de la

tangente

6°) On s'intéresse maintenant au vecteur dérivé (vecteur tangent s'il est non nul).

a) Pour le faire calculer par Geogebra, on tapera simplement : dC_1 = Dérivée[C_1] Observez et vérifiez la réponse de Geogebra.

Remarques :

➢le nom dC_1 est quelconque ;

➢la commande Dérivée[C_1] créé une nouvelle courbe paramétrée, dérivée de

la précédente... vous pourrez la masquer. b) Comment obtenir le vecteur dérivé quand t = 0,5 ?

Aide : si vous obtenez un point, vous pouvez :

➢soit taper u = .............................. ➢soit taper Vecteur[........................] c) Faîtes-le partir du point de paramètre 0,5. Aide : il y a un outil dans Geogebra qui permet de " copier-coller » un vecteur. d) Complétez : t00,51 Vecteur dérivé( ; )( ; )( ; )

e) Déterminez par le calcul les coordonnées du point de C où la tangente est ₁verticale.

Vérifiez avec Geogebra.

7°) a) Tracez la courbe C défnie par

{x(t)=-6t2+6t+1 y(t)=-11t3+24t2-15t+3pour t ∈ [0 ; 1]. b) Donnez, pour la valeur t = 0,2 : ➢les coordonnées du point ; ➢les coordonnées du vecteur dérivé ; ➢l'équation de la tangente. (*) Les courbes de Bézier sont utilisées dans de très nombreuses applications : ➢commandes de machines numériques ; ➢programmes de dessin vectoriel (segments courbes) ; ➢polices True-type ; ➢morphing : déformation d'images. Le concept a été développé initialement dans le cadre de la construction automobile en France à partir des années 60, par des ingénieurs (Pierre Bézier chez Renault, Paul de Casteljau chez Citroën) qui cherchaient à défnir de la manière la plus concise les courbes des carrosseries.

Exercice II - Tableau de valeurs

Pour reproduire une courbe sur cahier avec un peu de précision, il faut trouver des coordonnées de

points. Pour cela, on peut : ➢soit créer un point sur la courbe avec Geogebra puis le déplacer ➢soit utiliser le mode Table de la calculatrice ; ➢soit utiliser le tableur de Geogebra.

Voyons cette dernière méthode :

1°) Dans Affichage, cochez " Tableur ».

Dans la cellule A1, tapez juste :

t et dans la cellule B1 : M(t) Dans les cellules A2 et A3, choisissez deux valeurs de t (par exemple 0 et 0,1), sélectionnez les puis cliquez sur le petit carré bleu et glissez vers le bas pour avoir les valeurs suivantes de t.

Dans la cellule B2, tapez :

C_1(A2)

puis cliquez sur le petit carré bleu et glissez vers le bas pour que Geogebra calcule les points suivants. Remarque : si on veut séparer x et y, on peut taper dans C2 et D2: x(B2)ety(B2)

2°) a) A l'aide du tableur, trouvez la valeur de t, approchée à 10-4 telle que y (t) = 1.

b) Trouvez la valeur exacte par le calcul. Exercice III - Calcul formel pour l'étude de la courbe On utilise ici Geogebra pour étudier le signe des dérivées et la parité des fonctions. Allez dans AiÌifiÌichage, décochez le mode Tableur et cochez le mode Calcul formel. Petit point sur les notations utilisées par Geogebra : ➢nous avons créé une courbe nommée C_1 dans Geogebra ; ➢un point quelconque de la courbe se note C_1(t) ➢l'abscisse de ce point se note donc x(C_1(t)) ➢si on veut la dérivée de la fonction x, on tapera donc dans le mode calcul formel :

Dérivée(x(C_1(t)),t)

(le " ,t » fnal précise qu'on dérive par rapport à t.) ➢pour créer dans Geogebra la fonction dérivée de x, on tapera par exemple : dx:= Dérivée(x(C_1(t)),t) (dx est un nom quelconque) ➢on peut ensuite savoir à quel moment x' est positive :

Résoudre[dx>0]

➢ou à quel moment elle s'annule :

Résoudre[dx=0]

➢pour étudier la parité d'une fonction, on pourra taper : x(C_1(-t)) pour voir si le résultat est égal ou opposé à x (t). Applications : soit C la courbe défnie par {x(t)=t2-1 t2+1 y(t)=t.t2-1 t2+1où t ∈ IR.

En utilisant seulement Geogebra :

1°) Étudiez la parité de x et de y.

2°) a) Déterminez pour quelles valeurs de t on a x'(t) > 0.

b) Même question pour y'(t) > 0.

3°) Donnez les limites des fonctions x et y en +.

4°) Déterminez si la courbe a des tangentes horizontales ou verticales et donnez les

coordonnées des points correspondants.

Exercice IV - La caquoïde

" Albert Caquot avait toujours été frappé par la mauvaise tenue de souterrains anciens en fer à

cheval, dont les radiers ont souvent tendance à bomber ; il en attribue la raison à la discontinuité de

la courbure du revêtement. Sans recourir au profl circulaire, qui amène souvent à exécuter des

terrassements inutiles, il propose à EDF en 1965 un profl à courbure continue qui fut réalisé, sur la

Durance (à 15 km au sud de Gap, Hautes-Alpes), avec la galerie de Curbans de 9 km de longueur et

de 66,40 m2 de section fnie. Ce profl est, à très peu de choses près, aussi résistant qu'une section

circulaire et presque aussi commode à réaliser qu'une section en fer à cheval. Il sera utilisé à maintes

reprises. La courbe d'intrados correspondante recevra le nom de caquoïde. » (source)

1°) Entrez dans Geogebra la courbe paramétrée défnie par :{x(t)=cost(1+0,1sint+0,1sin2t)

y(t)=sintoù t ∈ [-  ; ].

2°) Avec Geogebra, étudiez la parité de x et de y.

Peut-on en déduire une symétrie ?

3°) Avec Geogebra, déterminez l'efffet du changement t →  - t.

Peut-on en déduire une symétrie ?

4°) Donnez un intervalle d'étude I suiÌifiÌisant pour cette courbe.

5°) Déterminez les variations de y sur I.

6°) a) Essayez d'étudier les variations de la fonction x avec Geogebra.

b) Déterminez une valeur approchée à 10-3 près du nombre t tel que x'(t) = 0. c) Donnez les coordonnées du point correspondant.

Exercice V - La clothoïde

La clothoïde (ou spirale de Cornu) est utilisée pour raccorder des tronçons rectilignes et circulaires.

La trajectoire que parcourt une automobile roulant à vitesse constante et dont le conducteur tourne

le volant à vitesse constante est une clothoïde, c'est donc la trajectoire la plus confortable.

Cette courbe est défnie par :

{x(t)=∫0t cos(u2)du y(t)=∫0t sin(u2)duoù t ∈ IR.

On voit que les fonctions x et y sont défnies par des intégrales qu'on ne peut pas calculer (x et y sont

en fait les primitives qui s'annulent en 0 des fonctions cos(x2) et sin(x2)), ce qui va nous compliquer

la tâche. On va donc demander à Geogebra de nous calculer ces intégrales en valeur approchée.

1°) Tapez dans la zone de Saisie :

Intégrale[cos(x^2),0,t]

Geogebra propose de créer un curseur, acceptez ; deux variables sont créées : t et f.

2°) Modifez ce curseur pour que t puisse aller de - 10 à 10 avec un pas de 0,01.

3°) Procédez de même pour défnir la deuxième coordonnée, qui sera nommée g par

Geogebra.

4°) Créez enfn un point de coordonnées qui se déplacera sur la courbe. AiÌifiÌichez sa

trace pour pouvoir visualiser la clothoïde.

Problème : on a défni deux variables f et g dépendant de t mais pas d'objet de type fonction ou

courbe. On ne peut donc pas utiliser de dérivée, ni de tangente à la courbe...

Pour l'instant je n'ai rien trouvé de mieux...

Un article sympa sur la clothoïde.

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[PDF] [PDF] TP : Courbes paramétrées (avec Geogebra)

TP : Courbes paramétrées (avec Geogebra)

Exercice I - Courbes de Bézier(*)

Démarrez Geogebra.

1°) Entrez chacune de ces deux fonctions dans la ligne de Saisie. Cela marche-t-il ?

2°) Entrez maintenant dans la ligne de Saisie la commande :

Quel est le problème ?

3°) La commande la plus complète pour tracer une courbe paramétrée est la

Tapez dans la ligne de saisie cette commande :

C_1 = Courbe[-2t^2+3t , t^2+2t , t , 0 , 1]

4°) Dans cette question 4°), on voit comment trouver des points de la courbe...

Avec Geogebra, tapez dans la ligne de Saisie :

A = C_1(0.5)

5°) Donnez les équations des tangentes suivantes à la courbe C

Équation de la

6°) On s'intéresse maintenant au vecteur dérivé (vecteur tangent s'il est non nul).

Remarques :

Aide : si vous obtenez un point, vous pouvez :

Vérifiez avec Geogebra.

7°) a) Tracez la courbe C défnie par

Exercice II - Tableau de valeurs

Voyons cette dernière méthode :

1°) Dans Affichage, cochez " Tableur ».

Dans la cellule A1, tapez juste :

Dans la cellule B2, tapez :

C_1(A2)

2°) a) A l'aide du tableur, trouvez la valeur de t, approchée à 10-4 telle que y (t) = 1.

Dérivée(x(C_1(t)),t)

Résoudre[dx>0]

Résoudre[dx=0]

En utilisant seulement Geogebra :

1°) Étudiez la parité de x et de y.

2°) a) Déterminez pour quelles valeurs de t on a x'(t) > 0.

3°) Donnez les limites des fonctions x et y en +.

4°) Déterminez si la courbe a des tangentes horizontales ou verticales et donnez les

Exercice IV - La caquoïde

1°) Entrez dans Geogebra la courbe paramétrée défnie par :{x(t)=cost(1+0,1sint+0,1sin2t)

2°) Avec Geogebra, étudiez la parité de x et de y.

Peut-on en déduire une symétrie ?

3°) Avec Geogebra, déterminez l'efffet du changement t →  - t.

Peut-on en déduire une symétrie ?

4°) Donnez un intervalle d'étude I suiÌifiÌisant pour cette courbe.

5°) Déterminez les variations de y sur I.

6°) a) Essayez d'étudier les variations de la fonction x avec Geogebra.

Exercice V - La clothoïde

Cette courbe est défnie par :

1°) Tapez dans la zone de Saisie :

Intégrale[cos(x^2),0,t]

2°) Modifez ce curseur pour que t puisse aller de - 10 à 10 avec un pas de 0,01.

3°) Procédez de même pour défnir la deuxième coordonnée, qui sera nommée g par

Geogebra.

4°) Créez enfn un point de coordonnées qui se déplacera sur la courbe. AiÌifiÌichez sa

Pour l'instant je n'ai rien trouvé de mieux...

Un article sympa sur la clothoïde.