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Chapitre 9 : Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace euclidien On a aussi le théorème de composition : Si R → Inégalité des accroissements finis :

Corrections : F. SarkisExo7

Théorème des accroissements finis

Exercice 1

Soit fune application réelle continue et dérivable sur]a;b[telle quef0(x)ait une limite quandx alorsfse prolonge en une fonction continue et dérivable à gauche au pointb. 2.

Soit fune application continue et dérivable sur un intervalleIR, et de dérivée croissante; montrer que

fest convexe surIi.e.f((1t)x+ty)6(1t)f(x)+t f(y)pour tousxMontrer que l"identité des accroissements finis n"est pas vraie pour les fonctions vectorielles en considérant

f(x) =eix. 1.

Montrer que fetgsont de classeC1.

2. Calculer entoutpoint(x;y)2R2lamatricejacobiennedefnotéeDf(x;y); calculerlamatricejacobienne degau point(0;0)notéeDg(0;0). 3.

Montrer qu"il e xister>0 tel que pour tout(x;y)2B

r((0;0))(la boule fermée de centre(0;0)et de rayonr) on ajjDg(x;y)jj612 4. Montrer que la fonction gadmet un unique point fixe dansB r((0;0)). Onconsidèrel"applicationF:R2!R2définieparF(x;y)=(cosxsiny;sinxcosy); onnoteF(k)l"application

Fcomposéek-fois

Montrer que jjDF(x;y)jj6p2 pour tout(x;y).

2. En déduire que la suite récurrente définie par x0;y0et pourn>1 x n+1=12 (cosxnsinyn);yn+1=12 (sinxncosyn) converge pour tout(x0;y0). Donnez l"équation que vérifie sa limite ? 1 Soitfune application différentiable de]a;b[RdansRn; on suppose qu"il existek>0 tel que jjf0(x)jj6kjjf(x)jj;8x2]a;b[: Montrer que sifs"annule en un pointx02]a;b[,fest identiquement nulle dans]a;b[(montrer queE=fx2

SoitEun espace de Banach,Uun ouvert deEetfune application différentiable deUdansRtelle que l"on ait

jjf0(x)jj6kjf(x)j;8x2U. Montrer que pourxassez voisin dea2U, jf(x)j6ekjjxajjjf(a)j:

Onconsidèrel"applicationF:R2!R2définieparF(x;y)=(x2+y2;y2); onnoteF(k)l"applicationFcomposée

k-fois avec elle-même. On considèreW=f(x;y)2R2=limk!¥F(k)(x;y) = (0;0)g. 1.

Vérifier que (x;y)2W()F(x;y)2W.

2. Montrer qu"il e xistee>0 tel quejj(x;y)jjMontrer que West connexe. On considère l"applicationF:R2!R2définie par

F(x;y) = (x2+y2;y2):

SoitW=fp2R2; limk!¥Fk(p) = (0;0)g.

Vérifier que p2Wsi et seulement siF(p)2W.

Montrer qu"il e xisted>0 tel quekjDF(p)kj<12

sikpkCorrection del"exer cice1 NMontrons quefse prolonge par continuité au pointb, on montrera alors quefest dérivable à gauche au point

best que cette dérivée est limx!bf0(x). Pour celà montrons qu"il existe un réelktel que toute suitefxng

tendant versbvérifie limn!¥f(xn) =k. Remarquons que la dérivéef0(x)admettant une limite au pointb, elle

est bornée sur un petit voisinage (à gauche) deb(notonsMce majorant). Soitynune suite convergent versb.

Alors la suitef(yn)est de Cauchy. En effet, pour toute>0, posonse0=e2M. La suitefyngétant de cauchy,

9N2N;p;q>N) jypyqj6e06e2M:

Or d"après les accroissements finis:

f(yp)f(yq) = (ypyq)f0(cp;q)oùcp;q2]yp;yq[:

Par conséquent,

et donc la suiteff(yn)gest de cauchy et converge vers un réel que nous noteronsl. Montrons que c"est le cas

pour toute autre suitefxngqui tend versb. On a f(xn) =f(xn)f(yn)+f(yn): D"après les accroissements finis,jf(xn)f(yn)j6M:jxnynjet donc tend vers zero car les suitesxnetyn

tendent versb. De plus, comme on l"a vu,f(yn)tend versket doncf(xn)aussi. Prolongeonsfpar continuité

au pointben posantf(b) =k. On a alors le taux d"accroissement T

Quandxtend versb,cxaussi et doncTxftend versl.Correction del"exer cice2 NOn af0(x) =ieix(on peut le vérifier en coordonnées). Si l"égalité des accroissement finis était vérifiée il

existerait c2]0;p[tel quef(p)f(0) = (p0)ieic

ce qui est impossible car en prenant les modules on trouverait 2=p.Correction del"exer cice3 N1.fest de classeC¥car ses coordonnées le sont (polynômes).gl"est car c"est la composée de deux

fonctionsC¥. 2.

La matrice jacobienne de fest:

Df(x;y) =2x1

2x2y D"apès la formule de différentielle d"une composée, on a

Dg(x;y) =Df(f(x;y))Df(x;y):

Orf(0;0) =0 et

Df(0;0) =01

0 0 et donc

Dg(0;0) =01

0 0:01

0 0 =0: 3

3.P arcontinuité de Dg(x;y)à l"origine et en prenante=1=2 on a:

9r>0;jj(x;y)(0;0)jj6r) jjDg(x;y)Dg(0;0)jj61=2

d"où le résultat demandé. 4. D"après les accroissements finis, pour tous X;Y2R2, on a jjg(X)g(Y)jj6sup Z2B r((0;0))jjDg(Z)jj:jjXYjj61=2jjXYjj et doncgest contractante. Le BouleB r((0;0))la bouleB r((0;0))étant compacte et complète, le théorème du point fixe permet de conclure.Correction del"exer cice4 N1.On a

Df(x;y) =sinxcosy

cosxsiny On a jjjDf(x;y)jjj=sup pa 2+b2= pa

2+b2+2absin(x+y)pa

2+b26r1+2jajjbja

2+b26p2

car (jajjbj)2>0)a2+b2>2jajjbj: 2. Soient Un=(xn;yn)etG(x;y)=1=2F(x;y), alorsjjjGjjj6p2 2 etUn+1=G(Un). D"aprèslesaccroissements

finis,Gest contractante et donc le théorème du point fixe donne le résultat demandé.Correction del"exer cice9 NAppliquerlethéorèmedesaccroissementsfinisàg(x)=f(x)Df(a)xenremarquantquelamatricejacobienne

deDf(a)xest la matriceDf(a).4quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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