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[PDF] 18 Le théorème des accroissements finis
1 8 1 THÉORÈME (THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS SUR R) Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b], à valeurs dans R, dérivable sur ]a, b [ Alors En et F des espaces vectoriels normés , U ⇢ E un ouvert et f : U F une
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Caractérisation des fonctions lipschitziennes Soit k ∈ R+ Une fonction f est dite k-lipschitzienne sur un intervalle I ⊂ Df si , pout tout (x, y)
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On a vu que le théorème de Rolle et donc le théorème des accroissements finis ne sont plus valables pour une fonction de plusieurs variables L'inégalité des
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4 — Inégalité des accroissements finis 1 Le résultat principal Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur K, Ω un ouvert de E et f : Ω → F une application Dans le cas spécial des fonctions de R dans R (ou C), on a l'énoncé analogue
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Théorème (égalité des accroissements finis pour une fonction à valeurs réelles) Si f : U ⊆ Rn → R est continue sur le segment [a, b] ⊂ U est différentiable en
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Montrer que l'identité des accroissements finis n'est pas vraie pour les fonctions vectorielles en considérant f(x) = eix Correction ▽ [002519] Exercice 3 partiel
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1) Intégration d'une fonction vectorielle sur un segment On en déduit encore l' inégalité des accroissements finis pour les fonctions de classe C1 sur un
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PROPOSITION 11 13 Dérivée du produit d'une fonction vectorielle par une Démonstration Il suffit d'appliquer le théorème des accroissements finis à la
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Chapitre 9 : Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace euclidien On a aussi le théorème de composition : Si R → Inégalité des accroissements finis :
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COURS DE L3 : CALCUL
DIFFÉRENTIEL
Laurent BRUNEAU
Université de Cergy-Pontoise
2Table des matières
1 Espaces vectoriels normés
51.1 Norme dans un espace vectoriel
51.2 Topologie élémentaire dans les evn
71.3 Convergence dans les evn
1 02 Continuité dans les evn
152.1 Fonctions continues
152.2 Applications linéaires continues
183 Différentiabilité
253.1 Fonctions différentiables - Différentielle
253.2 Les accroissements finis
313.3 Fonctions de classeC1et différentielles partielles. . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Différentielles d"ordre supérieur
353.5 Extrema locaux
394 Théorèmes d"inversion locale et des fonctions implicites
434.1 Le Théorème d"inversion locale
444.2 Le Théorème des fonctions implicites
4 64.3 Application aux extrema sous contrainte (ou liés)
503
4TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1
Espaces vectoriels normés
1.1 Norme dans un espace vectoriel
Dans tout ce cours les espaces vectoriels considérés seront desR-espaces vectoriels. Ce- pendant, la plupart des résultats que nous verrons sont également vrais si on considère desC-espaces vectoriels.
Définition 1.1.SoitEun espace vectoriel. Une applicationN:E!R+est une norme si1.N(x) = 0si et seulement six= 0,
2.N(x) =jjN(x)pour tout2Ret pour toutx2E,
3.N(x+y)N(x) +N(y)pour tousx;y2E.
Un espace vectorielEmuni d"une normeN, noté(E;N)sera appelé un espace vectoriel normé, en abrégéevn.Notation :Les normes seront souvent notéesk k.
Exemple 1.1.SoitE=Rn. On notex= (x1;:::;xn)un élément deE. Les applications ci-dessous sont des normes surE: x7! kxk1=nX i=1jxij, x7! kxk2=v uutn X i=1jxij2, x7! kxk1= maxi=1;:::;njxij. Exemple 1.2.SoitE=C0([a;b])l"espace des fonctions continues de[a;b]dansR. Les applications ci-dessous sont des normes surE: f7! kfk1=Z b a jf(t)jdt, f7! kfk2= Zb a jf(t)j2dt 1=2 f7! kfk1= sup t2[a;b]jf(t)j. 56CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS
Exemple 1.3.SurE=`1(N) :=fx= (xn)n2RNjP
njxnj<1g, l"application x7! kxk1=X n2Njxnjest une norme. Exercice 1.1.SoitNune norme sur un espace vectorielE. Montrer que pour tousx;y2E on ajN(x)N(y)j N(xy)(parfois appelé inégalité triangulaire inversée). Définition 1.2.SoitEun espace vectoriel etN1,N2deux normes surE. On dit queN1et N2sont équivalentes s"il existeC;C02R+tels que
8x2E; CN1(x)N2(x)C0N1(x):(1.1)
Remarque 1.1.Dans la définition ci-dessus l"équation (1.1) semble donner un rôle différent
àN1etN2contrairement à la formulation "N1etN2sont équivalentes". On vérifie facilement qu"on peut en fait intervertir les rôles deN1etN2. Autrement dit, la relationdéfinie par N1N2() 9C;C02R+;8x2E; CN1(x)N2(x)C0N1(x);(1.2)
est une relation symétrique. Cette relation est clairement réflexive, et on vérifie facilement
(faites-le!) qu"elle est transitive. Autrement dit ( 1.2 ) définit une relation d"équivalence. Exercice 1.2.Prouver les affirmations de la remarque précédente. Exemple 1.4.Les normesk k1etk k1dans l"Exemple1.1 ci-dessus son té quivalentes. Soitx= (x1;:::;xn)2Rn. Pour toution ajxij kxk1et donc kxk1=nX i=1jxij nkxk1: Par ailleurs, il existei0tel quemaxi=1;:::;njxij=jxi0jet donc kxk1=jxi0j nX i=1jxij=kxk1: Pour toutx2Rnon akxk1 kxk1nkxk1, ces deux normes sont donc équivalentes. Exercice 1.3.Montrer que les normesk k2etk k1sont équivalentes. Que peut-on en déduire sur les normesk k1etk k2? Le fait que les normesk k1,k k2etk k1surRnsoient équivalentes est en fait un cas particulier du théorème important suivant : Théorème 1.3.SiEest de dimension finie alors toutes les normes surEsont équivalentes. On démontrera ce Théorème dans le Chapitre 2 (fin de la Section 2.1 Exemple 1.5.Dans l"Exemple1.2 , les normesk k1etk k1ne sont pas équivalentes. Sif2C0([a;b]), pour toutt2[a;b]on ajf(t)j kfk1et donc kfk1=Z b a jf(t)jdtZ b a kfk1dt= (ba)kfk1:1.2. TOPOLOGIE ÉLÉMENTAIRE DANS LES EVN7
On montre que par contre on ne peut pas trouverC >0tel que pour toutfon aitkfk1 Ckfk1. Pour cela il suffit de construire une suite(fn)ntelle quekfnk1= 1pour toutnmais kfnk1!0. Soitfndéfinie par f n(t) =na+ 1ntsiat < a+1n0 sinon:
On akfnk1= 1tandis queRb
ajfn(t)jdt=12n(représenter graphiquement la fonctionfn). L"importance de la notion de normes équivalentes apparaitra par la suite quand on abordera les notions de convergence, continuité, etc. dans les evn. On verra en particulier que cesnotions dépendent en général de la norme choisiemais pasde leur classe d"équivalence (pour
la relationdéfinie en (1.2)). Définition 1.4.SoientEetFdeux espaces vectoriels, on appelle produit deEetF, notéEF, l"ensemblef(x;y)jx2Eety2Fg.
Proposition 1.5.SurEFon définit les lois
P ourtous (x;y)et(x0;y0)dansEF,(x;y) + (x0;y0) := (x+x0;y+y0),P ourtous (x;y)dansEFetdansR,(x;y) := (x;y).
EFmuni de ces lois est un espace vectoriel.
Exercice 1.4.Démontrer la proposition ci-dessus. Proposition 1.6.Soient(E;k kE)et(F;k kF)deux evn. Les applicationsEF3(x;y)7! kxkE+kykFetEF3(x;y)7!max(kxkE;kykF)
définissent des normes sur l"espace vectorielEFet elles sont équivalentes. Exercice 1.5.Démontrer la proposition ci-dessus. Remarque 1.2.De la même façon si(E1;k k1);:::;(En;k kn)sont des evn alors les ap- plicationsE1 En3(x1;:::;xn)7!maxfkx1kE1;:::;kxnkEngetE1 En3 (x1;:::;xn)7! kx1kE1+:::+kxnkEndéfinissent des normes sur l"espace vectorielE1En et elles sont équivalentes.1.2 Topologie élémentaire dans les evn
Dans ce cours on s"intéressera à l"étude de fonctionsf:E!FoùEetFsont deux espaces vectoriels, ou éventuellement définies uniquement sur une partie deE. Dans cettesection on introduit les notions (boules, ouverts, etc) préalables nécessaires à cette étude.
Si(E;k k)est un evn, alorsd(x;y) :=kxykdéfinit une distance entre les éléments deE. On dira quedest la distance associée à la normek k. A partir de là on définit la notion
de boules. Définition 1.7.Soitx2Eetr0. On appelle boule ouverte, resp. fermée, de centrexet de rayonrl"ensembleB(x;r) =fy2Ej kyxk< rg, respB(x;r) =fy2Ej kyxk rg.