de la méthode du pivot sera de se ramener à ce type de matrice Définitions (cf §I 2 d pour la définition générale et l'étude des systèmes de Cramer) Remarque est noté 3X6+0X5+4X4+9X3+0X2+0X+0 ou plus simplement 3X6+4X4+9X3
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de la méthode du pivot sera de se ramener à ce type de matrice Définitions (cf §I 2 d pour la définition générale et l'étude des systèmes de Cramer) Remarque est noté 3X6+0X5+4X4+9X3+0X2+0X+0 ou plus simplement 3X6+4X4+9X3
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Introduction
Ce polycopié est destiné aux étudiants du tronc commun de L1 mathéma- tiques/informatique de l"institut Galilée. Il concerne la partie mathématiques du coursalgèbre linéaire et algorithmique. Le sujet principal est l"algèbre linéaire, quigénéralise et formalise l"étude des systèmes linéaires. Cette théorie peut être vue
comme l"étude systématique d"ensembles (les espaces vectoriels) munis de deux opé- rations : une loi de composition interne appelée addition et une multiplication par des nombres réels ou complexes. On commence (chapitre I) par expliquer la résolution de systèmes linéaires géné- raux par la méthode du pivot de Gauss. Ces systèmes linéaires peuvent s"écrire de manière plus succincte en utilisant des tableaux de nombres, ou matrices, qui sontétudiés de manière plus systématique au chapitre II. L"étude de l"algèbre linéaire
proprement dite commence au chapitre IV, où on introduit les espaces vectoriels et la notion cruciale dedimension. Au chapitre V on considère les applications li- néaires qui sont les applications d"un espace vectoriel dans un autre préservant la structure d"espace vectoriel. On y revient notamment sur les matrices vues précé- demment. Enfin le chapitre VI introduit ledéterminantd"une application linéaire ou d"une matrice. Le chapitre III, intercalé au milieu de ce cours ne concerne pas l"algèbre linéaire : il s"agit d"une introduction rapide au polynômes, qui seront utilisés notamment au chapitre VI et dans la partie informatique du cours. Les notions vues dans ce polycopiée seront illustrées et appliquées dans la partie informatique du cours. On y verra et on y implémentera notamment des algo- rithmes permettant de résoudre des systèmes linéaires, de multiplier et d"inverser des matrices et de multiplier des polynômes. Vous avez dans les mains la première partie du polycopié. Les chapitres V et VI seront imprimés à part. 1I. Systèmes linéaires
La référence principale pour ce chapitre est le livre de David C. Lay 1. On appelleranombreouscalaireun nombre réel ou complexe. On poseraK=R ouK=Cl"ensemble de ces nombres. Le choix des nombres réels ou complexes est indifférent dans ce chapitre, sauf pour les interprétations géométriques où l"on privilégiera les nombres réels.I.1. Définitions et premiers exemples
I.1.a. Définitions
Définition I.1.1.Soitn1. On appelleéquation linéaireàninconnuesx1,...,xn une équation de la forme (E) nX j=1a jxj=b; oùa1;a2;:::;anetbsont fixés dansK. Les scalairesa1;a2;:::;ansont appelésco- efficientsde l"équation,best lesecond membre. Lorsqueb= 0, on dit que l"équation esthomogène.RemarqueI.1.2.La notationnX
j=1a jxjdans (E) signifiea1x1+a2x2+:::+anxn. Il est impératif de maîtriser ce type de notation. Définition I.1.3.L"ensemble des solutionsde (E) est l"ensemble des (x1;x2;:::;xn)deKntels quenX j=1a jxj=b. C"est donc un sous-ensemble deKn.ExempleI.1.4.
3x1+x24x3= 2
est une équation linéaire non-homogène à3inconnues. ix1+ (2 +i)x24x3= 0 est une équation linéaire (complexe) homogène à3inconnues.2x21+x2x34x33= 1
n"est pas une équation linéaire.1. David C. Lay.Algèbre linéaire : Théorie, exercices et applications. Troisième édition,