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de la méthode du pivot sera de se ramener à ce type de matrice Définitions (cf §I 2 d pour la définition générale et l'étude des systèmes de Cramer) Remarque est noté 3X6+0X5+4X4+9X3+0X2+0X+0 ou plus simplement 3X6+4X4+9X3

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Cas d'une matrice 2 × 2 Définition det( a b Ca sert, à calculer l'inverse de la matrice (si elle existe), résoudre un Exemple (méthode de Cramer) ( 2 1 1 3)(

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7 / 26 Matrice inverse Inversion Pivot de Gauss Gauss-Jordan Décompositions Inverse rapide Inversion Methode de Cramer : (méthode habituelle) M −1

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Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrices inverses

Vincent Nozick

Vincent NozickMatrices inverses1 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Denition :

SoitMune matrice, la matrice inverseM1deMest denie par :

1=M1M=IdVincent NozickMatrices inverses2 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Proprietes :

L'inverse d'une matrice n'existe pas toujours.

siMest inversible, on dit queMestreguliere

sinon,Mestsinguliere.Vincent NozickMatrices inverses3 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Proprietes :

SoitMune matrice carree d'ordren.

Les enonces suivants sont equivalents :

Mest inversible

x=0est la seule solution deMx=0

Mest de rangn

aucune ligne (colonne) deMn'est combinaison lineaire d'autres lignes (colonne) deM pour tout vecteurk,Mx=kadmet une solution detM6= 0Vincent NozickMatrices inverses4 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Proprietes :

Id1=Id

(AB)1=B1A1 (M1)1=M diag(mii)1=diag1m

Vincent NozickMatrices inverses5 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Applications :

resoudre des systemes lineaires

trouver des transformations inversesVincent NozickMatrices inverses6 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Matrice inverse

Inverse et systemes lineaires :

Resoudre le systeme :Ax=b

Ax=b

1Ax=A1b

Idx=A1b

x=A1b

Note :

Pour resoudre un systeme lineaire, preferez les methodes sans inver- sion de matrice.

Vincent NozickMatrices inverses7 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Inversion

Methode de Cramer :(methode habituelle)

1=1detMcom(M)>

avec : detM: le determinant deM com(M)>: transposee de la matrice des cofacteurs(comatrice) Vincent NozickMatrices inverses8 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Inversion

1=1detMcom(M)>

le calcul du determinant est long! (cf. d eterminant)

Vincent NozickMatrices inverses9 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Inversion

Methodes numeriques :

pivot de Gauss

Gauss-Jordan

decompositions matriciellesVincent NozickMatrices inverses10 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Methode :

1=Id

11m12m13

21m22m23

31m23m333

11n12n13

21n22n23

31n23n333

410 0
1 3

!il sut de resoudrensystemes.Vincent NozickMatrices inverses11 / 26Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Methode :

11m12m13

21m22m23

31m23m333

|{z} 64k

11k12k13

0k22k23

0 k333

752

11n12n13

21n22n23

31n23n333

410 0
1 3 La triangulation de laMest commune a tous les systemes, avec des eets surNetId.Vincent NozickMatrices inverses12 / 26 Matrice inverseInversion Pivot de Gauss Gauss-Jo rdanD ecompositionsInverse rapide

Pivot de Gauss

Triangulation :

11m12m13

21m22m23

31m23m333

11n 12nquotesdbs_dbs2.pdfusesText_4