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Polynômes

d"endomorphismesLe but de ce chapitre est de démontrer le théorème de Cayley-Hamilton. C"est un résultat théorique

important, qui affirme que le polynôme caractéristique d"une matrice annule cette matrice.

1. Polynôme de matrice, polynôme d"endomorphisme

On noteMn(K)l"ensemble des matrices de taillennà coefficients dansK(K=Q,RouC). Pour unK-espace vectorielE, on noteL(E)l"ensemble des applications linéaires deEdansE. Un élémentf2 L(E)est unendomorphismedeE. Dans ce chapitre,Esera de dimension finie.

1.1. Définition

Polynôme de matrice.

SoitA2Mn(K)une matrice. ÀXk, on associeAk; à1, on associe la matrice identitéIn. Plus généralement, pour un polynôme

P(X) =a0+a1X+a2X2++amXm2K[X],

on définit la matrice :

P(A) =a0In+a1A+a2A2++amAm2Mn(K)

Exemple 1.

SoientA=11

1 2 etP(X) =X45X22X+1. On calcule A 2=23 3 5 A

4= (A2)2=1321

21 34

P(A) =A45A22A+I2=24

4 6

Polynôme d"endomorphisme.

Soitf2 L(E). ÀXk, on associefk, c"est-à-direfff|{z} koccurrences. À1, on associe l"application identité idE. Plus généralement, pour un polynôme

P(X) =a0+a1X+a2X2++amXm2K[X],

on définit l"endomorphisme :

P(f) =a0idE+a1f+a2f2++amfm2 L(E)

POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES1. POLYNÔME DE MATRICE,POLYNÔME D"ENDOMORPHISME2 Exemple 2.Soitf:R2!R2la rotation d"angle=6centrée à l"origine. SoitP(X) =X11. CalculonsP(f). Pourk2Z,fkest la rotation d"anglek=k6. DoncP(f) =f11est la rotation d"angle116, qui est aussi la rotation d"angle6 . AinsiP(f) =f11=f1. Les opérations avec les polynômes de matrices se comportent sans surprise.Proposition 1.

Soient A2Mn(K)et P,Q2K[X]. Alors

(PQ)(A) =P(A)Q(A).De même, pourf2 L(E),(PQ)(f) =P(f)Q(f). (Noter la composition.) Sachant en plus que, pour tous,2K,(P+Q)(A) =P(A)+Q(A), alors on dit en termes savants que l"application

A:K[X]!Mn(K)

P(X)7!P(A)

est unmorphisme d"algèbres(A2Mn(K)est fixée). Démonstration.SiP(X) =a0+a1X++amXmetQ(X) =b0+b1X++b`X`, alors (PQ)(X) =a0b0+(a0b1+a1b0)X+

Donc :

P(A)Q(A) = (a0In+a1A+)(b0In+b1A+)

=a0b0In+(a0b1+a1b0)A+ = (PQ)(A).Remarque(importante). En particulier, pour tousP,Q2K[X], les matricesP(A)etQ(A)commutent :

P(A)Q(A) =Q(A)P(A).

De même, les endomorphismesP(f)etQ(f)commutent.

1.2. Exemples

Exemple 3(Polynôme d"une matrice diagonale).

Pour D=0 B BB@ 100

02......

.........0 00n1 C CCA on a :

P(D) =0

B

BB@P(1)00

0P(2)......

.........0

00P(n)1

C CCA quel que soit le polynômeP(X)2K[X]. POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES2. SOUS-ESPACES STABLES3

Exemple 4.

Montrer plus généralement que pour une matrice triangulaire T=0 B BB@ 1

02......

00n1 C CCA on a :

P(T) =0

B

BB@P(1)

0P(2)......

00P(n)1

C CCApour tout polynômeP(X)2K[X]. Les coefficients au-dessus de la diagonale peuvent avoir une expression compliquée, mais les coefficients diagonaux sont obtenus simplement en leur appliquant le polynômeP.Mini-exercices. 1. SoitA=2 10 3. PourP(X) =X2X, calculerP(A). Idem avecP(X) =X3X, puisP(X) = X4X. 2.

Soitf:R3!R3,f(x,y,z) = (y2

,x,3z). PourP(X) =Xn, calculerP(f)en fonction de n>1 (commencer par les petites valeurs den:n=1,2,3,4,...). 3. SoientA=234 1,P(X) =X23X. Montrer queP(A) =10I2. FactoriserP(X)et en déduire

A1. Faire un travail similaire pourA=€

1 0204 11 01Š

,P(X) =X3+4X2+X. 4. SoientA,A0,Bdes matrices (avecBinversible) telles queA0=BAB1. Montrer que, pour tout polynômeP(X)2K[X],P(A0) =BP(A)B1. 5. Trouver une matriceAde taille33telle queA26=0, maisA3=0. Trouver une matriceBde taille 33 telle queB26=I3, maisB3=I3.2. Sous-espaces stables

2.1. DéfinitionDéfinition 1.

SoitEunK-espace vectoriel. Soitf2 L(E). Le sous-espace vectorielFdeEeststableparf si :

8x2F f(x)2F.Autrement dit,Fest stable parfsif(F)F.

Un premierexemple : les sous-espaces propres defsont stables parf. En effet,siF=Ker(fidE) alors, pourx2F,f(x) =x2F.

Exemple 5.

Soit(e1,e2,e3)la base canonique deR3. Soitrla rotation d"axe verticale3et d"angle. L"endo- POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES2. SOUS-ESPACES STABLES4 morphismerdeR3laisse invariant deux sous-espaces : F

1=Vect(e1,e2) =Re1Re2etF2=Vect(e3) =Re3

La matrice defdans cette base(e1,e2,e3)est la matrice0 @cossin0 sincos0

0 0 11

A La matrice de cet exemple a une structure particulière. Voyons pourquoi.

Effet sur les matrices.Supposons queEest de dimensionn,quefest un endomorphisme deE,et queFest un sous-espace

deEstable parf. Notons (e1,...,ep) une base deF. On la complète en une base deE:

B= (e1,...,ep,ep+1,...,en).

La matrice defdans la baseBest triangulaire par blocs : Mat

B(f) =0

B

BBBBBB@a

1,1a1,pb

1,1b1,np.......

a p,1ap,pb p,1bp,np00d

1,1d1,np.......

00d np,1dnp,np1 C

CCCCCCA=AB

0D oùA= (ai,j)16i,j6p2Mp(K)est la matrice defjFdans la base(e1,...,ep)deF.

Remarque.

SiE=F1F2et queF1etF2sont tous les deux stables parf, alors la matrice defest diagonale par blocs : Mat

B(f) =0

B

BBBBBB@a

1,1a1,p00

a p,1ap,p0000d

1,1d1,np.......

00d np,1dnp,np1 C

CCCCCCA=A0

0D

Voir l"exemple

5 ci-dessus.

2.2. Polynôme d"endomorphismeLemme 1.

SiFest un sous-espace vectoriel stable parfalors, pour tout polynômeP2K[X],Fest stable par

P(f).Démonstration.

Six2F, alorsf(x)2Fet doncf(f(x))2F. Par récurrence surk, on montre que fk(x)2F, pour toutk>0. Maintenant, siP(X) =Pm k=0akXk, alorsP(f)est l"endomorphisme défini par

P(f) =a0idE+a1f+a2f2++amfm.

POLYNÔMES D"ENDOMORPHISMES2. SOUS-ESPACES STABLES5 Donc

P(f)(x) =a0x+a1f(x)+a2f2(x)++amfm(x).Chaque termeakfk(x)2F, doncP(f)(x)2FcarFest un espace vectoriel. Conclusion :Fest

stable parP(f).Une autre proposition souvent utile est la suivante :

Proposition 2.

Soientfetgdeux endomorphismes deEqui commutent, c"est-à-dire tels quefg=gf. Alors

Kerg etImg sont stables par f .Démonstration.

Soitx2Kerg. On ag(x) =0, d"oùg(f(x)) =f(g(x)) =f(0) =0, doncf(x)2Kerg. Soity2Img. Il existex2Etel quey=g(x), d"oùf(y) =f(g(x)) =g(f(x)), donc f(y)2Img.2.3. Polynôme caractéristique SoitFun sous-espace stable par un endomorphismef:E!E. Dans ce cas, on notefjF:F!F, x2F7!f(x)2F, larestrictiondefàF. L"applicationfjFest un endomorphisme deF.Lemme 2. Soitfun endomorphisme deE(de dimension finie). On suppose aussi qu"il existe un sous-espaceF

de E laissé stable par f . NotonsfjFle polynôme caractéristique de la restriction de f à F. Alors :

On considère une base(e1,...,ep)deF, et on la complète en une base (e1,...,ep,ep+1,...,en)deE. La matrice defdans cette base est de la forme M=AB 0D oùA2Mp(K)est la matrice defjFdans la base(e1,...,ep).

On a alors

f(X) =det(MXIn) =AXIpB

0DXInp

=det(AXIp)det(DXInp) =fjF(X)Q(X).

Cela prouve quefjF(X)divisef(X).Mini-exercices.

1.

Soitf:R3!R3,f(x,y,z) = (2xy,3x2y,13

z). Calculer la matrice defdans la base

canonique et déterminer le polynôme caractéristique def. En déduire les sous-espaces stables

de l"applicationf.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21