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FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE

L2 Mathematiques.

Mathematiques: ALGEBRE LINEAIRE II

Cours Elisabeth REMM

Chapitre 3Trigonalisation des matrices carrees

1.Matrices trigonalisables

1.1.Matrices triangulaires.Denition 1.SoitT2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC.

Elle est dite triangulaire superieure si elle est de la forme (1)T=0 B BBB@a

1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n

0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................

0 0 0an1;n1an1;n

0 0 00an;n1

C CCCA c'est-a-direai;j= 0des quej < i.Par exemple, toute matrice diagonale est triangulaire superieure. Denition 2.SoitT2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC. Elle est dite triangulaire inferieure si elle est de la forme T=0 B BBB@a

1;10 00 0

a

2;1a2;200 0..................

a n1;1an1;2an1;3an1;n10 a n;1an;2an;3an;n1an;n1 C CCCA c'est-a-direai;j= 0des quej > i.1

2 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation

Pour simplier le langage, lorsque nous parlerons de matrice triangulaire, il s'agira de ma-

trices triangulaires superieures. L'autre cas sera donc toujours precise.Proposition 1.Toute matrice triangulaire deMn(K)admet toujoursnvaleurs propres

distincres ou confondues. SiTest la matrice triangulaire (1), ses valeurs propres sont k=ak;k,k= 1;n:Demonstration.En eet, le polyn^ome caracteristique de (1) est det(TXIn) = det0 B BBB@a

1;1X a1;2a1;3a1;n1a1;n

0a2;2X a2;3a2;n1a2;n..................

0 0 0an1;n1X an1;n

0 0 00an;nX1

C CCCA

En developpant ce determinant, on obtient

det(TXIn) = (a1;1X)(a2;2X)(an1;n1X)(an;nX): Les racines de ce polyn^omes sont donca1;1;a2;2;;an;n:

1.2.Matrices trigonalisables.Denition 3.SoitM2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC.

Elle est dite trigonalisable si elle est semblable a une matrice triangulaire, c'est-a-dire, s'il existe une matrice inversiblePtelle que

T=P1MP=0

B BBB@a

1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n

0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................

0 0 0an1;n1an1;n

0 0 00an;n1

C

CCCAOn en deduit

Proposition 2.Toute matrice trigonalisable deMn(K)admet toujoursnvaleurs propres

distincres ou confondues.Une grande partie de ce chapitre est destinee a etudier la reciproque de cette proposition.

Elisabeth Remm 3

2.Trigonalisation des matrices carrees complexes

Le resultat essentiel de ce paragraphe est le suivant:Theoreme 1.Toute matrice complexeM2 Mn(C)est trigonalisable.Demonstration.Demontrons par recurrence surn?1?

(1) Toute matrice carree complexe d'ordre 1 s"ecritM= (a1;1d. Elle est donc trigonalisble. (2) Soitn1 xe. Supposons que toute matrice complexe d?ordren?1 soit trigonalis- able. Considerons une matriceM2 Mnn+ 1(C). Nous avons vu, dans le cahpitre precedent, que toute matrice complexe d'ordrepadmettaitpvaleurs propres distinctes ou confondues. AinsiMadmetn+ 1 valeurs propres disctinctes ou pas. Soitune valeur propre deM. Il existe un vecteur propre non nulv6= 0 attache a ?: Mv=v: Commevest non nul, nous pouvons completer la famillefvgen une baseB=fv= e

1;e2;;en+1gdeCn+1. SoitPla matrice inversible obtenue en mettant en colonnes

les vecteursv=e1;e2;;en+1. CommeMv=v;la matrice semblable M

1=P1MP

est de la forme0 B

BBB@ a

1;2a1;3a1;n1a1;n

0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................

0an1;2an1;3an1;n1an1;n

0an;2an;3an;n1an;n1

C CCCA SoitNla matrice complexe d'ordrendenie a partir deM1: N=0 B B@a

2;2a2;3a2;n1a2;n...............

a n1;2an1;3an1;n1an1;n a n;2an;3an;n1an;n1 C CA D'apres l'hypothese de recurrence, il existe une baseB1=fv1;;vngdeCntelle que siQest la matrice dont les colonnes sont les composantes des vecteursvi, la matrice d'ordren N

1=Q1NQ

soit triangulaire (superieure). Considerons la matriceP1d'ordren+ 1 denie par P

1=1 0nt0nQ

ou 0 n= (0;0;;0), alors M

2=P11M1P1= B

t0nN1 avecB= (b1;;b1;3;;b1;n+1). On en deduit queM2est une matrice triangulaire. (3) La propriete est donc vraie a l'ordren+ 1. Elle est vraie quel que soitn1.

4 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation

Exemples

(1) Soit la matrice M=0 @13 4 47 8
67 71
A

Son polyn^ome caracteristique est

C

M(X) =(X+ 1)2(X3):

Les valeurs propres sont1= 3, racine simple et2=1, racine double. L'espace propre associe a1est de dimension 1 et engendre par le vecteurv1= (1;2;2). L'espace propre associe a la valeur double2est de dimension 1 et engendre par le vecteurquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5