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Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne

Réduction des endomorphismes

Luc Rozoy, Bernard Ycart

Ceci est votre premier pas vers l"analyse spectrale qui vous accompagnera, dans ses diverses généralisations, tout au long de vos études de mathématiques. Votre objec- tif minimal est d"apprendre à diagonaliser les matrices carrées lorsque c"est possible, et c"est déjà un enjeu majeur pour une foule d"applications, de la physique à l"infor- matique, en passant par la statistique et l"analyse numérique. Vous aurez besoin des espaces vectoriels de dimension finie, systèmes linéaires, calcul matriciel et détermi- nants.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Pratique de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Polynômes d"endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Entraînement 39

2.1 Vrai ou Faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Compléments 65

3.1 Tout à l"envers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Racines lambdaïques ou latentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Le théorème de Perron-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Jordan contre Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

16 mai 2014

Maths en LigneRéduction des endomorphismesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Matrices diagonalisables

Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées ànlignes etncolonnes, à coefficients dansRouC. Les vecteurs sont identifiés à des matrices ànlignes et1 colonne. Une matriceA= (ai,j)i,j=1,...,nest diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls. ?i?=j , ai,j= 0.

Elle est donc de la forme :

A=(

10... ...0

0λ2...............

...............λn-10

0... ...0λn)

Pour comprendre le rôle des coefficients diagonaux, supposons tout d"abord qu"ils sont tous égaux àλ. Dans ce cas,Aest proportionnelle à la matrice identité :A=λI. Pour tout vecteurxdeRn, le vecteurAxest proportionnel àx:Ax=λx. Multiplier le vecteurxpar la matriceArevient à le multiplier par le facteurλ. Géométriquement, c"est effectuer unehomothétiede rapportλ. Supposons maintenant que les coefficients diagonaux soient quelconques. Considérons une base(e1,...,en)deRn, et examinons l"endomorphismefdeRn, de matriceAdans cette base. Dire queAest diagonale, c"est dire que l"image du vecteureide la base est iei. Si on restreintfà la directionei,fest une homothétie de rapportλi. Sixest un vecteur quelconque deRn,xs"écrit?xiei. Son image parfest : f(x) =n i=1x if(ei) =n i=1x iλiei. Les matrices diagonales sont particulièrement simples à manipuler. Voici les pro- priétés principales : •Le déterminant d"une matrice diagonale est le produit des coefficients diagonaux. |A|=λ1...λn. •Multiplier à gauche par une matrice diagonale revient à multiplier lai-ième ligne parλi: siB= (bi,j)est une matrice quelconque, alors

AB= (λibi,j)i,j=1,...,d.

Maths en LigneRéduction des endomorphismesUJF Grenoble•Multiplier à droite par une matrice diagonale revient à multiplier laj-ième co-

lonne parλj: siB= (bi,j)est une matrice quelconque, alors

BA= (bi,jλj)i,j=1,...,d.

•Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale.

10...0

0 ..................0

0...0λn)

10...0

0 ..................0

0...0μn)

1μ10...0

0 ..................0

0...0λnμn)

•Si tous les coefficients diagonaux sont non nuls, la matrice est inversible :

10...0

0 ..................0

0...0λn)

)))))-1 (((((1λ

10...0

0 ..................0

0...01λ

n) •La puissancek-ième d"une matrice diagonale est :

10...0

0 ..................0

0...0λn)

)))))k k10...0 0 ..................0

0...0λkn)

Pour une matriceAquelconque, les calculs se simplifient à partir du moment où elle est semblableà une matrice diagonale. Deux matricesAetDsontsemblables, lorsqu"elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes, ou encore, quand il existe unematrice de passagePtelle queP-1AP=D. Par exemple : ((((12 12 12 12 12 12 12 12 -12 P -1( ((((0 1 1 12 32
-12 32
-32 12 A( ((((1-1 0 1 0 1

0 1-1)

P=( ((((1 0 0 0-1 0

0 0 2)

D Définition 1.Une matriceAest ditediagonalisablesi elle est semblable à une matrice diagonale. L"objectif des deux premières sections de ce chapitre est d"apprendre àdiagonaliser une matrice, quand c"est possible. 2

Maths en LigneRéduction des endomorphismesUJF GrenobleDéfinition 2.Diagonaliserune matriceA, c"est trouver une matrice de passagePet

une matrice diagonaleDtelles que : P -1AP=D??A=PDP-1. SiD=P-1AP, alorsAP=PD. Mais siDest une matrice diagonale, multiplier Pà droite parDrevient à multiplier les vecteurs colonnes dePpar les coefficients diagonaux deD. Notonsvilei-ième vecteur colonne de la matricePetλilei-ième coefficient diagonal deD. Pour touti= 1,...,d, on doit avoir : Av i=λivi??(A-λiI)vi= 0, en notantIla matrice identité de dimensionn. On dit queviest unvecteur proprede

Aassocié à lavaleur propreλi.

Définition 3.On dit quevest unvecteur propredeAassocié à lavaleur propreλsi vest un vecteur non nul et :

Av=λv??(A-λI)v= 0.

Observons queλest une valeur propre deAsi et seulement si le système(A-λI)v=

0a une solution non nulle. Voici deux manières équivalentes de l"exprimer.

Proposition 1.Un nombre complexeλest valeur propre de la matriceAsi et seule- ment si l"une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée.

1. Le rang de la matriceA-λIest strictement inférieur àn.

2. Le déterminant de la matriceA-λIest nul :

|A-λI|= 0. Définition 4.On appellepolynôme caractéristiquede la matriceA, et on notePA(X) le déterminant de la matriceA-XI. P

A(X) =|A-XI|=?

1,1-X a1,2... ... a1,n

2,1..................an-1,n

a n,1... ... an,n-1an,n-X? D"après la forme développée d"un déterminant,PA(X)est une somme de produits des termes de la matrice. Chaque produit est constitué denfacteurs qui sont des termes pris dans des lignes et des colonnes différentes. Le terme de plus haut degré 3

Maths en LigneRéduction des endomorphismesUJF GrenobleenXdans le déterminant|A-XI|provient du produit des termes qui contiennent

tousX, à savoir les coefficients diagonaux :?ni=1(ai,i-X). Le polynôme caractéristique P A(X)est donc de degrén: son terme de plus haut degré est(-1)nXn. Tant que nous y sommes, observons que le terme constant dePA(X)est ledéterminantdeA; c"est aussi leproduit des valeurs propres(comptées avec leurs multiplicités). Le coefficient du terme de degréXn-1dansPA(X)est la somme des termes diagonaux, que l"on appelle latracede la matriceA; c"est aussi lasomme des valeurs propres(toujours comptées avec leurs multiplicités). Comme les valeurs propres sont racines du polynôme caractéristique, une matrice de dimensionsn×nadmet au plusnvaleurs propres distinctes. Pour qu"une matrice soit diagonalisable, il faut déjà que son polynôme caractéristique admette effectivement nracines (comptées avec leurs ordres de multiplicité), donc qu"il soitscindé. C"est toujours le cas dansC, pas toujours dansR. Siλest une valeur propre, l"ensemble des vecteursvtels que(A-λI)v= 0, est un sous- espace vectoriel. Par définition, il contient le vecteur nul, et tous les vecteurs propres deAassociés àλ. On l"appelle le "sous-espace propre» associé àλ. Définition 5.Soitλune valeur propre, on appellesous-espace propre associé àλ l"espace vectoriel {v?Rn, Av=λv}= Ker(A-λI). Théorème 1.SoitAune matrice, dont le polynôme caractéristiquePA(λ)estscindé. Soientλ1,...,λkles racines dePA(X)etm1,...,mkleurs multiplicités respectives (m1+···+mk=n). La matriceAest diagonalisable si et seulement si pour tout i= 1,...,k, le sous-espace propre associé à la valeur propreλiest de dimensionmi. ?i= 1,...,k ,dim(Ker(A-λiI)) =mi. Démonstration: Remarquons qu"un même vecteur propre ne peut être associé qu"à une seule valeur propre. Par conséquent, deux sous-espaces propres associés à deux valeurs propres distinctes ont une intersection réduite au vecteur nul : les sous-espaces propres sont ensomme directe. Supposons queAsoit diagonalisable :P-1AP=D, mais aussiP-1(A-XI)P= (D-XI). Les propriétés générales des déterminants font que|A-XI|=|D-XI|: le polynôme caractéristique deAet celui deDsont les mêmes : P

A(X) =PD(X) = (-1)nk?

i=1(X-λi)mi. Or le polynôme caractéristique deDest le produit des termes diagonaux. Cela signifie que pour touti= 1,...,k, exactementmitermes diagonaux deDsont égaux àλi. Il existe doncmivecteurs colonnes dePqui sont des vecteurs propres deA, associés à la valeur propreλi. Comme ces vecteurs forment une famille libre, la dimension du 4

Maths en LigneRéduction des endomorphismesUJF Grenoblesous-espace propre associé est au moins égale àmi. Commem1+···+mk=n, et que

les sous-espaces propres sont en somme directe, chacun est de dimension exactement m iet leur somme directe estRn. Réciproquement, si pour toutile sous-espace propre associé àλiest de dimensionmi, alors leur somme directe estRn: on peut constituer une base deRnen choisissant une base de vecteurs dans chaque sous-espace propre. La mauvaise nouvelle est que toutes les matrices ne sont pas diagonalisables. La bonne nouvelle est que celles que vous rencontrerez, entreront souvent dans l"une des catégories couvertes par les deux théorèmes suivants : valeurs propres toutes distinctes, ou bien matrices symétriques. Théorème 2.SoitAune matrice admettantnvaleurs proprestoutes distinctes. Alors

Aest diagonalisable.

Démonstration: Nous allons montrer par récurrence surkque siv1,...,vksont des vec- teurs propres associés à des valeurs propresλ1,...,λktoutes distinctes, alors(v1,...,vk) est une famille libre : k i=1α ivi= 0 =?αi= 0,?i= 1,...,k . C"est vrai pourk= 1, puisque par définition un vecteur propre est non nul. Supposons la propriété vraie à l"ordrek-1. Soientλ1,...,λkdes valeurs propres distinctes deux à deux etv1,...,vkdes vecteurs propres associés. Supposons : k i=1α ivi= 0??k-1? i=1α ivi=-αkvk. En multipliant à gauche par la matriceA, on obtient : k-1? i=1α iλivi=-αkλkvk.

Mais aussi :

k-1? i=1α iλkvi=-αkλkvk.

Soit en soustrayant les deux équations :

k-1? i=1α i(λi-λk)vi= 0. D"après l"hypothèse de récurrence à l"ordrek-1, ceci entraîne que pour touti=

1,...,k-1,αi(λi-λk) = 0, doncαi= 0, puisqueλi?=λk. Mais alors nécessairement

kvkest nul, doncαk= 0puisque le vecteur proprevkest non nul. 5

Maths en LigneRéduction des endomorphismesUJF GrenobleSupposons qu"une matriceAadmettenvaleurs propres toutes distinctesλ1,...,λn.

Pouri= 1,...,n, choisissons un vecteur propreviassocié àλi. D"après ce qui précède (v1,...,vn)est une famille libre deRn, donc une base. Théorème 3.SoitA= (ai,j)i,j=1,...,d? Mn×n(R)une matrice symétrique :A=tA.

Alors :

1. toutes les valeurs propres deAsont réelles;

2.Aest diagonalisable;

3. on peut choisir comme base de vecteurs propres une base telle que la matrice de

passagePvérifieP-1=tP(une telle base est diteorthonormée). Le fait d"avoir une base orthonormée permet d"écrire l"inverse de la matrice de passage sans calcul supplémentaire (carP-1=tP). Ce théorème est un cas particulier d"un résultat plus général, pour une matriceAà valeurs complexes qui esthermitienne, c"est-à-dire telle queA=tA, soita j,i=ai,j, oùzdésigne le conjugué du nombre complexez. Les valeurs propres d"une matrice hermitienne sontréelles, la matrice est diagonalisable et il existe une matrice de vecteurs propresunitaire, à savoir telle que P -1=tP. Démonstration: Soitvun vecteur non nul deCn. Considérons le produit :tvv. C"est la somme des modules des coordonnées dev, à savoir un réel strictement positif. Soit λune racine (dansC) dePA(X), et soitvun vecteur propre associé à la valeur propre

λ. Donc :

tvAv=λtvv Prenons le conjugué de la transposée de ce même produit (rappelons que t(AB) =tBtA).λ(tvv) =t(tvAv) =tvquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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Réduction des endomorphismes

Luc Rozoy, Bernard Ycart

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Pratique de la diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Polynômes d"endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Entraînement 39

2.1 Vrai ou Faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Compléments 65

3.1 Tout à l"envers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Racines lambdaïques ou latentes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Le théorème de Perron-Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4 Jordan contre Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

16 mai 2014

1.1 Matrices diagonalisables

Elle est donc de la forme :

10... ...0

0λ2...............

0... ...0λn)

AB= (λibi,j)i,j=1,...,d.

BA= (bi,jλj)i,j=1,...,d.

10...0

0...0λn)

10...0

0...0μn)

1μ10...0

0...0λnμn)

10...0

0...0λn)

10...0

0...01λ

10...0

0...0λn)

0...0λkn)

0 1-1)

0 0 2)

Aassocié à lavaleur propreλi.

Av=λv??(A-λI)v= 0.

0a une solution non nulle. Voici deux manières équivalentes de l"exprimer.

1. Le rang de la matriceA-λIest strictement inférieur àn.

2. Le déterminant de la matriceA-λIest nul :

A(X) =|A-XI|=?

1,1-X a1,2... ... a1,n

2,1..................an-1,n

A(X) =PD(X) = (-1)nk?

Aest diagonalisable.

Mais aussi :

Soit en soustrayant les deux équations :

1,...,k-1,αi(λi-λk) = 0, doncαi= 0, puisqueλi?=λk. Mais alors nécessairement

Alors :

1. toutes les valeurs propres deAsont réelles;

2.Aest diagonalisable;

3. on peut choisir comme base de vecteurs propres une base telle que la matrice de

λ. Donc :