[PDF] [PDF] Une démonstration du théor`eme des nombres premiers - Ceremade

[PDF] Linfinité des nombres premiers : La proposition des Éléments d

"l'ensemble des nombres premiers est infini", ou "il existe une infinité de nombres premiers" et avec des démonstrations diverses, dans les manuels de

[PDF] Nombres premiers - Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications

Nous avons vu que l'ensemble P des nombres premiers est infini mais il 1 2 1 — Nombres de Fermat : comme −1 est racine du polynôme X2n+1 + 1 celui-ci est Preuve : Le schéma de démonstration sera toujours le même : on raisonne  

[PDF] Une démonstration du théor`eme des nombres premiers - Ceremade

On note P l'ensemble des nombres premiers Soit x ∈ R, on note π(x) Il est le premier `a démontrer l'existence d'une infinité de nombres premiers Depuis ce 

[PDF] Ch 5 Nombre premierspdf - UQAM

Il y a une infinité de nombres premiers Démonstration On va faire ici un Ce nombre est ≥ 2, donc il admet un diviseur premier, d'après le th 2 6 Celui-ci

[PDF] Les nombres premiers - Lycée dAdultes

22 juil 2015 · 1 1 Définition Définition 1 : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exacte- Si n n'est pas premier, l'ensemble des diviseurs d de n tel que : 2 ⩽ d < n Théorème 2 : Il existe une infinité de nombres premiers ROC Démonstration : Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers :

[PDF] Nombres premiers - Blog Ac Versailles

Tout naturel non premier autre que 1 admet un diviseur premier a tel que a ≤ n 3 L'ensemble P des nombres premiers est infini Démonstration : 1 Supposons 

[PDF] Propriétés élémentaires liées à la notion de nombres premiers

L'ensemble P des nombres premiers et infini Démonstration : Supposons le contraire, c'est-à-dire que P est fini Alors il existe

[PDF] Nombres premiers - capes-de-maths

13 2 Décomposition en facteurs premiers Théorème 1 (Euclide) : L'ensemble des nombres premiers est infini démonstration : Supposons qu'il existe p tel que  

[PDF] LES NOMBRES PREMIERS par Pierre Colmez - webusersimj-prgfr

nombres premiers est infini : si on dispose de k nombres premiers coefficients entiers, énumérant l'ensemble des nombres premiers au sens que n > 0 est démonstration de l'existence d'une infinité de nombres premiers qui va plus loin 

[PDF] montrer que a et b sont premiers entre eux

[PDF] exercices sur les nombres premiers 3eme

[PDF] comment savoir si c'est un nombre premier

[PDF] démontrer qu'un nombre est premier pdf

[PDF] savoir si un nombre est premier algorithme

[PDF] décomposition en série de fourier exercices corrigés

[PDF] transformée de fourier signal carré

[PDF] décomposition en série de fourier d'un signal triangulaire

[PDF] signal triangulaire transformée de fourier

[PDF] décomposition en série de fourier de signaux usuels

[PDF] décomposition en série de fourier pdf

[PDF] décomposition en série de fourier d'un signal dent de scie

[PDF] décomposition en série de fourier d'un signal sinusoidal redressé

[PDF] décomposition d une feuille

[PDF] matière organique pdf

Emma HUBERT

Une demonstration du theoreme des

nombres premiersMemoire d'initiation a la recherche Sous la direction de MonsieurJimmy LAMBOLEYCyclePluridisciplinaire d'EtudesSuperieures

Troisieme annee (L3)

L'objectif de ce memoire de recherche est de presenter le theoreme des nombres premiers (Theoreme 1:1) conjecture par Gauss en 1792-1793 et demontre independamment par Hadamard et de la Vallee-Poussin en 1896, puis d'etudier une de ses demonstrations.

Table des matieres

1 Introduction2

1.1 Le theoreme des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Les grandes etapes de la demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Pre-requis : distributions temperees et transformee de Fourier 4

3 Le lien entreetP5

3.1 Le developpement deen produit eulerien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 La serie de DirichletP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4Pet transformee de Fourier 9

4.1 Les proprietes de la mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 La transformee de Fourier de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3 La fonction (x7!ex(ex)) comme transformee de Fourier . . . . . . . . . . . . 11

5 Regularite dePsur1 +iRet fonctions de type positif 12

5.1 Fonctions de type positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.2 Demonstration du theoreme 5:1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Aboutissement de la demonstration 14

6.1 Version "lissee" du theoreme des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.2 De la version "lissee" du theoreme au theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

1 Introduction

1.1 Le theoreme des nombres premiers

On notePl'ensemble des nombres premiers.

Soitx2R, on note(x) =Cardfp2Pjpxg, le nombre des nombres premiers inferieurs ax. Le theoreme appele communement theoreme des nombres premiers est le suivant :

Theoreme 1.1.Lorsquextend vers+1, on a :

(x)xlog(x)(1)

1.2 Historique

L'histoire de l'etude des nombres premiers commence dans la Grece antique avec Euclide, 300 ans avant notre ere. Il est le premier a demontrer l'existence d'une innite de nombres premiers. Depuis ce resultat, nombreux sont les mathematiciens qui ont tente d'expliquer la repartition des nombres premiers, et de trouver une regularite ou des particularites dans cette repartition. Pendant plusieurs siecles, leurs conclusions se limitaient a une repartition anarchique des nombres premiers et a la decroissance de leur proportion. Il faut attendre le XVIIIeme siecle pour avoir une idee plus precise du comportement des nombres premiers. Le theoreme des nombres premiers a ete conjecture par le mathematicien Gauss en 1792-1793. En 1852, le mathematicien russe Tchebytchev etablit que, pourxsuf- samment grand, le nombre de nombres premiers(x) est compris entre 0:921x=log(x) et

1:106x=log(x). Ce resultat constitue un argument en faveur de la conjecture de Gauss, mais

la demonstration rigoureuse du theoreme sera eectuee en 1896, independamment par Hada- mard et de la Vallee-Poussin, a l'aide de methodes d'analyse complexe et en utilisant la fonction de Riemann. L'enonce de ce theoreme semblant porter essentiellement sur les nombres entiers, il parait etonnant de devoir faire appel a des resultats d'analyse complexe pour le demontrer. Ainsi, c'etait un de pour beaucoup de mathematiciens d'essayer de demontrer ce theoreme de maniere elementaire. Pendant plusieurs annees, au debut du XXeme siecle, une demonstration sans uti- liser d'analyse complexe paraissait impossible, le mathematicien Hardy pensait par exemple que le theoreme des nombres premiers faisait partie des enonces dont la "profondeur" ne les rendait accessibles que par le biais de l'analyse complexe. Cependant, en 1949, Paul Erdos et Atle Sel- berg donnerent chacun une demonstration elementaire (mais loin d'^etre simple) du theoreme des nombres premiers, qui n'exigeait aucun pre-requis d'analyse complexe. La demonstration que nous allons etudier dans ce memoire de recherche a pour particularite l'utilisation des distribu- tions temperees et de la transformee de Fourier (se reporter a la section 1:4 pour plus de details sur les particularites de cette demonstration).

1.3 Notations

Dans cette sous-section, on introduit des notations importantes qui seront utilisees tout au long de la demonstration. On rappelle que la fonctionde Riemann est denie sur le demi-plan ouvertRe(s)>1 par la formule : (s) =+1X n=11n s(2) 2 Cette fonction joue un r^ole tres important dans toutes les demonstrations du theoreme 1:1. Son lien avec les nombres premiers, qui n'est pourtant pas evident, sera demontre et exploite dans la section 3. On notePla serie de Dirichlet sur le demi-plan ouvertRe(s)>1 par :

P(s) :=X

p2P1p s(3) Cette fonction est evidemment liee aux nombres premiers et nous verrons dans la section 3:2 la relation entre cette fonction et le log de la fonctionde Riemann (voir la proposition 3:3). L'etude de sa regularite et de son prolongement est le but de la section 3.

On notel(t) la fonction denie pourt2Rpar :

l(t) =P(1 + 2it) (4) Cette notation n'a pour l'instant aucun sens puisquePest denie pourRe(s)>1. Nous demontrerons cependant sa bonne denition dans la section 3:3. On introduit la fonctionl(t) pour faire le lien entre les nombres premiers et la transformee de Fourier. Son etude fera l'objet des sections 4 et 5. On travaillera beaucoup avec des fonctions deC1c(R), l'espace vectoriel des fonctions de classe C

1a support compact surRet deS(R), l'espace des fonctions de Schwarz surR.

1.4 Les grandes etapes de la demonstration

La demonstration que nous allons etudier repose sur la fonctionde Riemann, ses proprietes, et la notion de transformee de Fourier d'une distribution temperee. C'est une preuve "moderne" du theoreme des nombres premiers dont les idees datent des annees 1930. Comme la plupart des demonstrations du theoreme des nombres premiers, elle se base sur l'expression decomme produit eulerien. Comme les demonstrations originales de La Vallee Poussin et Hadamard, elle fait usage du prolongement meromorphe deau demi plan ouvertRe(s)>0, an de pouvoir etudier la presence de zeros sur la droite 1 +iR. La particularite de cette demonstration est l'utilisation des distributions temperees et de la transformee de Fourier. Expliquons le raisonnement de cette demonstration dans les grandes lignes. Plut^ot que d'etudier le comportement en l'inni de(x), on va etudier celui de la fonctionex(ex). Le comportement

de cette fonction est lie a la regularite de sa transformee de Fourier qui se trouve ^etre tres proche

de la fonctionl(t) denie precedemment. Ceci explique que nous ayons besoin d'introduire et d'etudier les fonctionsetPainsi que de montrer que la fonctionne s'annule pas sur la droite

1 +iR.

La section suivante (section 2) contient les pre-requis concernant les distributions temperees et la transformee de Fourier. Une partie de la demonstration etant uniquement basee sur ces deux concepts, il est conseille au lecteur qui n'est pas familier avec ces notions de lire cette section. D'autre part, il est fortement conseille au lecteur etranger a l'analyse complexe de se renseigner sur les fonctions holomorphes et les series de Dirichlet avant de commencer l'apprentissage de cette demonstration. Dans la section 3, on commencera par demontrer l'expression de la fonctionde Riemann comme produit eulerien : cette expression temoigne du lien entre la fonction et les nombres premiers et permet de mieux comprendre son utilisation au sein de la demonstration. Cette 3 expression et sa regularite permettent d'etudier le lien entre le log deet la serie de DirichletP, an de conna^tre le comportement deP. Gr^ace a ces resultats, on peut etablir une proposition importante (la proposition 3:4) sur la regularite dePainsi qu'une equivalence entre sa regularite et la non-annulation de la fonctionsur la droite 1 +iR(le corollaire 3:6). La proposition et l'equivalence seront utilisees par la suite dans la section 5. La section 4 consiste a montrer que la fonctionl(t)=(1+2it) est la transformee de Fourier de la distribution temperee associee a la fonction borneeex(ex) (voir proposition 4:3). Autrement dit, pour tout fonction'2 C1c(R), on a : Z +1 1 '(t)l(t)1 + 2itdt=Z +1 1 b'(x)(ex)e xdx Pour demontrer ce resultat, on introduira la mesure(section 4:1) et on etudiera sa transformee

de Fourier (section 4:2). Ce resultat nous permettra de faire le lien entre la regularite des fonctions

introduites dans la section 3 et le comportement en l'inni deex(ex) (section 4:3). Le but de la section 5 est de montrer que la fonctionl(t)log1=itest de classeC1surR (voir Theoreme 5:1). Par la section 3, demontrer ce theoreme revient a demontrer que la fonction de Riemann ne s'annule pas sur la droite 1+iR. Pour ce faire, nous allons utiliser les fonctions de type positif (voir section 5:1). La regularite de cette fonction sera utilisee dans la section 6. La section 6 correspond a l'aboutissement de la demonstration. On demontre d'abord une version dite "lissee" du theoreme des nombres premiers (section 6:1), en appliquant l'identite demontree a la section 4:1 a une fonction particuliere, et en etudiant son comportement a l'inni. On obtiendra l'identite suivante (proposition 6:1), pour toute fonction transformee de Fourier d'une fonction deC1c(R) et quandytend vers l'inni : Z +1 1 (xy)(ex)e xdx=1y Z +1 1 (x)dx+o1y Pour achever la demonstration du theoreme des nombres premiers, on appliquera l'identite precedente a des approximations de(section 6:2).

2 Pre-requis : distributions temperees et transformee de

Fourier

Une distribution temperee surRest une forme lineaire continue surS(R). On ne detaille pas ici la caracterisation de la continuite d'une forme lineaire qui n'est utile que pour achever la demonstration de la proposition 4:2. La transformation de Fourier d'une distribution tempereeTsera noteebT. LorsqueTappar- tient aL1(R), c'est par denition la fonction continue denie par : b

T(t) =Z

+1 1

T(x)e2ixtdx

En general, elle est denie par l'egalite :

b

T(') =T(b') pour toute'2 S(R)

Cette egalite a un sens car, pour toute fonction'deS(R),b'appartient aussi aS(R). Nous utiliserons egalement le Lemme de Riemann-Lebesgue : 4 Lemme 2.1.(Riemann-Lebesgue) La transformee de Fourierbfd'une fonctionfdeL1(R)tend vers zero a l'inni.

3 Le lien entreetP

Le but de cette section est d'etudier la regularite de la fonctionP, an de montrer que le passage a la limite suivant est justie, pour toutt2R:

P(1 +it) = lim"!0P(1 +"+it)

On pourra alors analyser la regularite locale de la fonction detainsi denie et demontrer l'equivalence suivante : Comme fonction det,P(1 +it) estC1surRsi et seulement si la fonctionde Riemann ne possede pas de zero sur la droite 1 +iR. Pour demontrer ces resultats, on commencera par demontrer l'expression de la fonction de Riemann comme produit eulerien et etudier sa regularite. On introduira alors la fonction g(s) = log(s)P(s). L'etude de la regularite de la fonctiongainsi denie nous donnera les information voulues surP.

3.1 Le developpement deen produit eulerien

Dans beaucoup de demonstrations du theoreme des nombres premiers, la fonctionde Rie- mann est utilisee, et on peut, a premiere vue, s'interroger sur la justication de cette utilisation. En eet, la fonctionde Riemann ne semble pas ^etre en relation avec les nombres premiers.

Cependant, on va montrer dans cette section que :

Theoreme 3.1.Pour touts2Ctel queRe(s)>1, on a :

(s) =Y p2P 11p s 1 (5) Demonstration.Soits2Ctel queRe(s)>1. Pour tout nombre premierp, on a le developpement en serie absolument convergente suivant : 11p s 1 =1X k=01p ks car, pourx2]0;1[, on a :

11x=1X

k=0x k SoitNun entier, on noteE(N) l'ensemble des entiers positifs dont les diviseurs premiers valent au plusN. En passant au produit sur les nombres premiers inferieurs aNet en sachant que tout entier strictement positif admet une unique decomposition en facteurs premiers (theoreme fondamental de l'arithmetique), on obtient : Y p2P; pN 11p s 1 =X n2E(N)1n s 5

Commef1;:::;Ng E(N), il en decoule que :

(s)Y p2P; pN 11p s 1= 1 X n=11n sX n2E(N)1n s 1 X n=11n sX nN1n s X n>N1n s X n>N 1n s X n>N1n Re(s)

On obtient bien le resultat souhaite en faisant tendreNvers l'inni.Le but etant d'etudier l'existence de zeros desur la droite 1 +iR, il est necessaire de la

prolonger, au moins sur un voisinage de la droite 1 +iR: Proposition 3.2.La fonctionadmet un prolongement meromorphe sur le demi-planRe(s)>

0, holomorphe en dehors de 1, et admettant en 1 un p^ole simple, de residu 1.

Autrement dit,(s)1s1, a priori denie et holomorphe sur le demi-planRe(s)>1, admet un prolongement holomorphe sur le demi-planRe(s)>0. Demonstration.Soits2Ctel queRe(s)>1. On considere l'integrale : Z +1 1 xsdx

Le calcul de cette integrale nous donne :

1s1.

D'autre part,

(s)Z +1 1 xsdx=1X n=1 n sZ n+1 n xsdx

On pose'n(s) :=nsRn+1

nxsdx=Rn+1 n(nsxs)dx. On obtient : (s)1s1=1X n=1' n(s) ou'nest holomorphe sur le demi-planRe(s)>0. De plus, on peut montrer que'nest bornee sur le m^eme demi-plan :

On notefla fonction :

f:t2[n;n+ 1]7!nsts

On a :

j'n(s)j sup t2[n;n+1] nsts= sup t2[n;n+1]jf(t)j= sup t2[n;n+1]jf(t)f(n)j Par l'inegalite des accroissements nis, on peut ecrire, pour toutt2[n;n+ 1] : jf(t)f(n)j sup x2[n;t]jf0(x)j(tn)sup x2[n;n+1]jf0(x)j(tn) sup x2[n;n+1]jf0(x)j sup x2[n;n+1] st s+1 jsjn

Re(s)+1

6

Ainsi, on obtient le resultat suivant :

j'n(s)j jsjn

Re(s)+1

Donc la serie

P1 n=1'n(s) converge normalement sur tout compact du demi-planRe(s)>0 et y denit une fonction holomorphe, d'ou la proposition 3:2.3.2 La serie de DirichletP Etudions maintenant la serie de DirichletP: c'est une fonction holomorphe sur le demi-plan Re(s)>1. Pour etudier la regularite de cette fonction sur la droite 1 +iR, il est commode de s'interesser a la fonction suivante, denie pour touts2]1;+1[ : g(s) = log(s)P(s) En eet, cette fonction met en relation logetP, et fait donc le lien entre les zeros deet la regularite deP. Proposition 3.3.La fonctiongainsi denie se prolonge en une fonction holomorphe sur le demi-planRe(s)>1=2, et bornee sur tout demi-planRe(s)> pour >1=2. Demonstration.Gr^ace a l'expression deen produit eulerien, on peut reecriregde la maniere suivante, pour touts2]1;+1[ : g(s) =X p2P log 11p s 1p s On designe ici par log la determination principale du logarithme sur le disque ouvert de centre

1 et de rayon 1.

La limite d'une serie de fonctions holomorphes qui convergent normalement sur tout compact est holomorphe. Donc, pour etablir la proposition, il sut de montrer que le membre de droite converge normalement sur tout demi-planRe(s)> pour tout >1=2. u7!log(1u)+uest une fonction holomorphe pouruappartenant au disque ouvert_D(0;1), qui est nulle en 0, et sa derivee aussi. Ainsi, il existe une constanteC >0 telle que, pour tout u2C, juj 21=2) jlog(1u) +uj Cjuj2 Or, etant donne2]1=2;+1[, pour toutstel queRe(s)et pour toutp2P, on a : 1p s p21=2 Donc, en appliquant le resultat precedent, on obtient : log 11p s +1p s

C1jpsj2Cp2

On sait que 2 >1, ce qui prouve bien la convergence normale, et donc la proposition.7

3.3 Consequences

Maintenant que nous avons etudie la regularite deet deg, on peut aisement conclure sur la regularite deP, en utilisant la valuation.

Pours02C, on denitnla valuation deens0par :

8>< :n=1 sis0= 1 n= 0 sis06= 1 et(s0)6= 0 n1 sis06= 1 et(s0) = 0 Proposition 3.4.Soits02Ctel queRe(s0) = 1. Soitnla valuation deens0. On considere la fonction holomorphe surRe(s)>1:

P(s)nlog(ss0)

Cette fonction se prolonge en une fonction holomorphe sur un voisinage des0.

Demonstration.Soits2Ctel queRe(s)>1. On a :

exp(P(s)nlog(ss0)) = (ss0)n(s)exp(g(s)) Par les deux propositions precedentes sur la regularite deet deg, cette fonction se prolonge en une fonction holomorphe ne s'annulant pas sur un voisinage ouvert des0. La fonction expo- nentielle deCa valeur dansCetant surjective et holomorphe, on peut, sur un disque ouvert de centres0et de rayonr >0, ecrire ce prolongement exp'(s). On a donc, pours2_D(s0;r) tel queRe(s)>1 : exp(P(s)nlog(ss0)) = exp'(s)

D'ou :

P(s)nlog(ss0)'(s) = 2im(s)

La fonctions7!m(s) est continue sur le connexeC=fs2_D(s0;r)jRe(s)>1get a valeur dansZdonc constante surC. On a ainsi, pours2C:

P(s)nlog(ss0) ='(s) + 2im

On en conclut que la fonctionP(s)nlog(ss0) se prolonge en une fonction holomorphe sur un voisinage des0.En appliquant immediatement cette proposition a uns0= 1 +ittel ques0ne soit pas un zero de(on a doncn= 0) et as= 1 +"+itavect2R, on remarque que l'on peut etudier la limite deP(1 +"+it) quand"tend vers 0+.

On denit ainsi la fonction det:

P(1 +it) = lim"!0P(1 +"+it)

Par la proposition precedente et selon les dierentes valeurs den, on peut etudier sa regularite locale, ce qui sera utile dans la section 5 : 8 Corollaire 3.5.1. Comme fonction det,t7!P(1 +it)estC1sur R n ft02Rj(1 +it0) = 0g.

2. La fonctiont7!P(1 +it)log1=itse prolonge en une fonctionC1detau voisinage de

zero.

3. Siadmet un zero d'ordrenen1 +it0pourt02R, alors, la fonctiont7!P(1 +it) +

nlog1i(tt0) se prolonge en une fonctionC1detsur un voisinage det0. Demonstration.1. En prenants0= 1 +it0, tel que(s0)6= 0, on an= 0 et doncP(s) se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de 1 +it0pour toutt02Rn ft02Rj(1 +it0) = 0g. Ainsi, comme fonction det,P(1 +it) estC1sur cet ouvert.

2. En prenants0= 1 ets= 1 +it, on an=1 et

P(s)nlog(ss0) =P(1 +it)log1it

se prolonge en une fonction holomorphe sur un voisinage des0= 1, donc se prolonge en une fonctionC1detau voisinage de 0.

3. Soitt02Rtel ques0= 1 +it0soit un zero d'ordrende. En prenants= 1 +it, on a :

P(s)nlog(ss0) =P(1 +it) +nlog1i(tt0)

se prolonge en une fonction holomorphe sur un voisinage des0= 1+it0, donc se prolonge

en une fonctionC1detsur un voisinage det0.On deduit, de cette discussion et des propositions precedentes, l'equivalence suivante, qui sera

tres utile dans la section 5 : Corollaire 3.6.Comme fonction det,P(1 +it)estC1surRsi et seulement si la fonction de Riemann ne possede pas de zero sur la droite1 +iR.

4Pet transformee de Fourier

An de comprendre le lien entre la repartition des nombres premiers et les proprietes des fonctionsetP, il est commode d'introduire la transformee de Fourier d'une distribution. En eet, si l'on raisonne de maniere informelle, on peut se dire que le comportement a l'inni de la fonction(x) est lie a la regularite de sa transformee de Fourier inverse, par le lemme de Riemann- Lebesgue. Le but de cette section est d'etablir que la fonctionl(t)=(1 + 2it) est la transformee de Fourier de la distribution temperee associee a la fonction borneeex(ex). Autrement dit, pour tout fonction'2 C1c(R), on a : Z +1 1 '(t)l(t)1 + 2itdt=Z +1 1 b'(x)(ex)e xdx Pour demontrer ce resultat, on va introduire la mesure positive suivante et etudier sa transformee de Fourier. :=X p2P1p logp 9

4.1 Les proprietes de la mesure

La mesure positiveest clairement en relation avec les nombres premiers. Avant d'etudier sa transformee de Fourier, il est utile de remarquer les proprietes suivantes :

Proposition 4.1.1. Pour tout" >0,

Z R x1"d(x)<+1

2. Pour tout2Ctel queRe()>0, la fonctionx7!exest-integrable et on a l'egalite

suivante : Z R exd(x) =P(1 +) (6)

3. Pour touty2R, on a :Z

R ex1R+(yx)d(x) =(ey) (7)

Demonstration.1. Pour tout" >0, on a :

Z R x1"d(x) =X p2P1p (logp)1"1X n=11n(logn)1+"<+1

2. Pour tout2R+, on a :

Z R exd(x) =X p2P1p elogp=X p2P1p 1+ Cette somme est nie et vautP(1 +). Sachant que pour2Cetx2R, on aex= e Re()x, le resultat est aussi valable pour2Ctel queRe()>0.

3. On trouve le resultat par un calcul du m^eme type que les deux precedents.Intuitivement, l'identite (6) nous indique que la transformee de Fourier desemble ^etre la

fonction (t7!P(1 + 2it)). On introduit la fonctiong:x7!ex1R+(x). Sa convolee avecnous donne la fonction (x7!ex(ex)). Ainsi, l'identite (7) nous laisse a penser que la transformee de Fourier de (x7!ex(ex)) est le produit debgavecb, c'est a dire la fonction : t7!P(1 + 2it)1 + 2it Les sections suivantes vont consister a demontrer precisement ces intuitions.

4.2 La transformee de Fourier de

Dans ce paragraphe, nous allons demontrer la proposition suivante : 10 Proposition 4.2.La distributionb, transformee de Fourier de, concide avec la distribution associee a la fonctionl:R!Cdenie parl(t) =P(1 + 2it).

Autrement dit, pour toute'2 C1c(R), on a :

Z R '(t)P(1 + 2it)dt=Z R b'(x)d(x) =X p2P1p b'(logp)quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11