Tout naturel non premier autre que 1 admet un diviseur premier a tel que a ≤ n 3 L'ensemble P des nombres premiers est infini Démonstration : 1 Supposons
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"l'ensemble des nombres premiers est infini", ou "il existe une infinité de nombres premiers" et avec des démonstrations diverses, dans les manuels de
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Nous avons vu que l'ensemble P des nombres premiers est infini mais il 1 2 1 — Nombres de Fermat : comme −1 est racine du polynôme X2n+1 + 1 celui-ci est Preuve : Le schéma de démonstration sera toujours le même : on raisonne
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On note P l'ensemble des nombres premiers Soit x ∈ R, on note π(x) Il est le premier `a démontrer l'existence d'une infinité de nombres premiers Depuis ce
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Il y a une infinité de nombres premiers Démonstration On va faire ici un Ce nombre est ≥ 2, donc il admet un diviseur premier, d'après le th 2 6 Celui-ci
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22 juil 2015 · 1 1 Définition Définition 1 : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exacte- Si n n'est pas premier, l'ensemble des diviseurs d de n tel que : 2 ⩽ d < n Théorème 2 : Il existe une infinité de nombres premiers ROC Démonstration : Supposons qu'il existe un nombre fini de nombres premiers :
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Tout naturel non premier autre que 1 admet un diviseur premier a tel que a ≤ n 3 L'ensemble P des nombres premiers est infini Démonstration : 1 Supposons
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L'ensemble P des nombres premiers et infini Démonstration : Supposons le contraire, c'est-à-dire que P est fini Alors il existe
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13 2 Décomposition en facteurs premiers Théorème 1 (Euclide) : L'ensemble des nombres premiers est infini démonstration : Supposons qu'il existe p tel que
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nombres premiers est infini : si on dispose de k nombres premiers coefficients entiers, énumérant l'ensemble des nombres premiers au sens que n > 0 est démonstration de l'existence d'une infinité de nombres premiers qui va plus loin
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Nombres premiers
Table des matières
I Activités1 et3 page 391
II Définitions etexemples:1
III Théorème fondamental de l"arithmétique3 IV Liste des nombres premiers inférieurs à 1000 :5I Activités1 et 3 page 39
II Définitions et exemples:
Définition
On dit qu"un entier naturelnest premier s"il admet exactement deux diviseurs entiers naturels distincts : 1
etn. Remarque :les premiers entiers naturels premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11...Remarque
Ne pas confondre entiers premiers et entiers premiers entreeuxExemple :14 et 15 sont premiers entre eux (aucun diviseur commun), mais aucun des deux n"est premier.
Théorème :
1. Tout entier natureln?2 admet au moins un diviseur premier.
n3. L"ensemblePdes nombres premiers est infini.
Démonstration :
1. Supposonsn≥2.
1 Sinest premier, commenest un diviseur de lui-même, c"est clair.Supposonsnnon premier.
On considère l"ensemble des diviseurs den.
On rappelle que toute partie non vide deNadmet un plus petit élément. L"ensemble des diviseurs dendistincts denest non vide (il contient au moins un diviseur propre (?=n) den), donc admet un plus petit élémentp. Soitdun diviseur dep, différent de 1. (dexiste, par exemplep).On en déduit qued=p, donc quepest premier.
2. Soitn>1,nnon premier.nadmet donc un diviseurdautre que 1 etn.
Il existed?entier non nul tel quen=dd?.
d≥2 etd?≥2. n.3. On effectue une
démonstration par l"absurde. On suppose que l"ensemblePest fini; avecnélémentsp1,p2, ...pn.On pose
k=p1p2×pn+1.On a deux cas possibles :
kest premier.Orkest plusgrandquechacundes nombresp1,p2, ...,pn.ona doncunnouveaunombrepremier, qui n"est pas dans la liste supposée complète des nombres premiers. On a une contradiction.
kn"est pas premier.
p1ne divise pask. En effet, sip1divisaitk, commep1divise le produitp1p2...pn, alorsp1diviserait
la différencek-p1p2...pn, c"est-à-dire 1. On obtiendraitp1=1, ce qui est impossible, puisquep1est
premier.De même avec les autres nombresp2,p3, ...,pn.
On en déduit quekn"admet aucun diviseur premier, ce qui contredit la première partie du théorème
(tout entier autre que 1 admet au moins un diviseur premier)Remarque
On ne connaît pas la liste de tous les nombres premiers. On n"apas de formule permettant de les trouver
tous.pas. Nous verronsque c"est sur cette difficultéà savoir si ungrandnombreest premier ou pas que reposent
la plupart des codes secrets utilisés en cryptographie.Testde primalité :
Soitnun entier naturel≥2. Sinn"est divisible par aucun nombre premier dont le carré est inférieur ou égal àn,
alorsnest premier.Moyens de trouverles premiers nombres premiers :
1.Crible d"Erathosthène :
On dresse par exemple la liste des nombres entre 1 et 100 dans un tableau. On barre la case contenant 1,
puis celles contenant les multiplesde 2 (sauf 2), les multiplesde 3 (sauf 3) et ainsi de suite.Page 2/
52. Trouver un algorithmeprogrammablesur une calculatrice.
Pour tester si un nombre est premier, on le divise par 2, puis par 3, puis par tous les entiersaà partir dea
Remarque :kdivisensiE?n
k? =nk.Exercice :
1. Développer (a2+8)2, puis factorisera4+64.
2. Montrer quea4+64 n"est pas premier, quel que soitaentier au moins égal à 1.
Solution :
1. (a4+8)2=a4+16a2+64, donca4+64=(a4+8)2-16a2=(a2+8-4a)(a2+8+4a).
2.a2+8-4a=(a-2)2+4≥4.
a2+8+4a=(a+2)2+4≥4
Ainsi,a4+64=m×navecmetnentiers strictement supérieurs à 1, donc ce nombre n"est paspremier. III Théorème fondamental de l"arithmétiqueThéorème fondamental del"arithmétique
Tout naturel strictement supérieur à 1 se décompose en produit de facteurs premiers et cette décomposi-
tion est unique à l"ordre des facteurs près.Démonstrationde l"existence :
Soitn≥2.
Sinest premier,nse décompose en un seul facteur premier, lui-même. Sinn"est pas premier, il admet au moins un diviseur premierpetn=p×d1, avec 11 On a alorsn=p×p?×d2.
On continue...
Les entiersd1,d2, ...,dnforment une suite strictement décroissante de naturels : oncontinue jusqu"à ce qu"on
arrive à 1. On a alors la décomposition.
On admet l"unicité. (on la démontrera plus tard, dans un autre chapitre) Exemple :donner la décompositionde 5544.
On effectue des divisions successives par les facteurs premiers pris dans l"ordre croissant. On peut aussi programmer la calculatrice.
Page 3/
5 Propriété
Un naturelddivise un naturelnsi, et seulement si, les facteurs premiers de la décomposition en facteurs
dans celle ded. Démonstration :
Supposons queddivisen. Soitpun facteur premier de la décomposition dedetαl"exposant depdans cette
décomposition. Alorsn=d×q=(pαa)q, avecaetqentiers.
On an=pα(aq). Soitβl"exposant depdans la décomposition en facteurs premiers deaqetγl"exposant dep
dans celle den. 1pb? 2...pl?
Alorsn=pa-a?
1pb-b?
2...pl-l?
r×detddivisen. Exemple :
Cherchons les diviseurs de 648. 648=23×34. Ses diviseurs sont de la forme 2a×3bavecaetbentiers tels que
Pour les trouver tous, il suffit de faire un arbre. On remarque que le nombre de ces diviseurs est le nombre totalde sous-branches de l"arbre, qui est 4×5=20.
La listedes diviseursde 648 est : {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 9 ; 18; 36 ; 72 ; 27 ; 54 ; 108 ; 216 ; 81 ; 162 ; 324 ; 648}
Propriété
Sin=pα11···pαk
k, le nombre de diviseurs est(α1+1)×···(αk+1) Page 4/
5 IV Liste des nombres premiers inférieursà 1000 : 2357111317192329
31374143475359616771
7379838997101103107109113
127131137139149151157163167173
179181191193197199211223227229
233239241251257263269271277281
283293307311313317331337347349
353359367373379383389397401409
419421431433439443449457461463
467479487491499503509521523541
547557563569571577587593599601
607613617619631641643647653659
661673677683691701709719727733
739743751757761769773787797809
811821823827829839853857859863
877881883887907911919929937941
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On a alorsn=p×p?×d2.
On continue...
Les entiersd1,d2, ...,dnforment une suite strictement décroissante de naturels : oncontinue jusqu"à ce qu"on
arrive à 1.On a alors la décomposition.
On admet l"unicité. (on la démontrera plus tard, dans un autre chapitre)Exemple :donner la décompositionde 5544.
On effectue des divisions successives par les facteurs premiers pris dans l"ordre croissant.On peut aussi programmer la calculatrice.
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5Propriété
Un naturelddivise un naturelnsi, et seulement si, les facteurs premiers de la décomposition en facteurs
dans celle ded.Démonstration :
Supposons queddivisen. Soitpun facteur premier de la décomposition dedetαl"exposant depdans cette
décomposition.Alorsn=d×q=(pαa)q, avecaetqentiers.
On an=pα(aq). Soitβl"exposant depdans la décomposition en facteurs premiers deaqetγl"exposant dep
dans celle den. 1pb?2...pl?
Alorsn=pa-a?
1pb-b?
2...pl-l?
r×detddivisen.Exemple :
Cherchons les diviseurs de 648. 648=23×34. Ses diviseurs sont de la forme 2a×3bavecaetbentiers tels que
Pour les trouver tous, il suffit de faire un arbre.On remarque que le nombre de ces diviseurs est le nombre totalde sous-branches de l"arbre, qui est 4×5=20.
La listedes diviseursde 648 est : {1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 9 ; 18; 36 ; 72 ; 27 ; 54 ; 108 ; 216 ; 81 ; 162 ; 324 ; 648}