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Soit un signal sinusoïdal décrit par : C 'est un signal ne contenant qu'un seul harmonique s(t) = 2cos(2π10 t − π 4 )

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Démontrer qu'un signal carré, d'amplitude ±Umax, de période T, se décompose en série de Fourier de la façon suivante: s(t) = 4 Umax π ∞ ∑ n=0 sin (( 

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3 sept 2005 · Exemple : étudions le cas d'un signal triangulaire de période T et de valeur moyenne nulle, défini comme suit : b du développement de Fourier en sinus sont nuls pour une telle fonction Effet d'un filtre linéaire sur la composition spectrale Le signal de sortie ne ressemble en rien à la dérivée du signal

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II 2 4) Transformée de Fourier d'un signal périodique leur composition fréquentielle Il existe une version réelle et une Signal triangulaire ⎩ ⎨ ⎧ ∈ −

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3) Exemples de spectres de signaux réels 4) Calcul du spectre d'un signal périodique 5) Décomposition en série de Fourier de s signaux usuels 6) Spectre  

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3 4 Les coefficients de Fourier et la transformée de Fourier discr`ete (DFT) Figure 1 3 – Approximation d'un signal triangulaire périodique avec un nombre Maintenant on vérifie que la composition inverse donne encore l'identité : l2 Si m “ 0, alors on a rien `a prouver, donc on consid`ere que le cas m P Z, m ‰ 0 C¸ a

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On envoie en entrée de ce filtre un signal sinusoıdal de fréquence réglable fe on obtient un triangle, en dérivant des pics, pour l'intégration de la dent de scie on obtient ri+Ldi dt= u(t), i(t) se compose de la réponse `a chaque harmonique,  

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5 5 1 Transformée de Fourier d'un signal périodique 65 T h é o rie d e l'in fo rm a tio n Définition 2 1 6 (Fonction triangle) La fonction triangle unité, notée tri, est une fonction réelle de la variable réelle définie On peut donc voir le signal x(t) comme la composition (somme) de deux phaseurs conjugués,

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Fenêtres rectangulaires, triangulaires et paraboliques Transformée de Fourier Rapide TFR, Fast Fourier transform FFT (RI), souvent notée h(t), la réponse du système à l'application d'une impulsion de les caractéristiques physiques de la pièce, l'impulsion donnée, la densité et la composition de l'air, la tempé-

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Aujourd'hui, les séries Fourier et les transformées de Fou- infinie purement formelle, peut-être non convergente, et au sujet de laquelle on ne dit rien Mais alors on peut majorer grâce à l'inégalité du triangle et au plongement de C 0 À toute fonction Riemann-intégrable, on peut associer l'effet par composition de ces

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Hugues GARNIER

hugues.garnier@univ-lorraine.fr Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques

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Organisation de l'UE de TdS

I. Introduction

II. Analyse et traitement de signaux déterministes - Analyse de Fourier de signaux analogiques

• Signaux à temps continu • Décomposition en série de Fourier • Transformée de Fourier à temps continu

- De l'analogique au numérique - Analyse de Fourier de signaux numériques III. Filtrage des signaux IV. Analyse et traitement de signaux aléatoires

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Introduction

• Domaine, jusqu'à présent, habituel pour analyser un signal : - Domaine temporel : analyse de l'évolution du signal dans le temps

• Permet de mettre en évidence certaines caractéristiques :

• signal périodique ou non (détermination de la période), • amplitude (valeur moyenne, maximale...), • signal analogique/numérique, énergie finie/infinie, ...

• Déterminer l'expression analytique du signal ci-dessous ?

5 s(t) t (ms) 5 0

s(t)=?

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Introduction

• L'expression mathématique du signal est : - L'observation dans le domaine temporel est s ouvent insuffisante pour déduire l'expression mathématique du signal - Il serait int éressant de tro uver une autre représentation qui app orterait plus d'informations sur le signal que la représentation usuelle temporelle - Cette nouvelle représentation devra faire directement apparaître certaines caractéristiques du signal (par exemple A o , A 1 , A 2 o 1 2

) non plus dans le do maine temporel (en fonct ion du temps) mais dans le do maine fréquentiel, c'est à dire en fonction de la fréquence.

5 s(t) t (ms) 5 0

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• Représentation habituelle : amplitude du signal en fonction du temps • Nouvelle représentation : amplitude et phase initiale en fonction de la fréquence

5 s(t) t (ms) 5 0f (Hz) 0

A o =2 A 1 =5 A 2 =10 A n

1000 2500 f (Hz) 0

o =0 ϕ n

1000 2500

3 1 2 2

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Série & transformée de Fourier

Joseph FOURIER

• Auxerre 1768 - Paris 1830 • Grand savant français • A pr ofondément influencé les mathématiques et la physique des sciences de son siècle • L'étude de la propagation de la chaleur l'a amené à la découverte des séries trigonométriques portant son nom

TdS H. Garnier 7

Théorème de Fourier Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t) périodique de période T

o peut s'écrire sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux Cette somme peut s'écrire de deux manières : - forme trigonométrique réelle - forme exponentielle complexe

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Forme trigonométrique réelle

avec : Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire :

Le terme g énéral u

n (t)=a n cos(nω o t)+b n sin(nω o t)=A n cos(nω o t-ϕ n ) est appelé harmonique de rang n C'est un signal cosinusoïdal d'amplitude A n de période T o /n (fréquence nf o ) et de phase à l 'origine -ϕ n

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Remarques et propriétés

- a 0 : valeur moyenne du signal (composante continue) - Harmonique d'ordre 1 : fondamental - Amplitudes A n tendent vers 0 lorsque n tend vers l'infini - Décomposition indépendante de l'intervalle [t 0 , t 0 +T o - Si s(t) pair - Si s(t) impair

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Spectres unilatéraux d'amplitude et de phase

• Spectre d'amplitude de s(t) : tracé de A n en fonction des pulsations (fréquences) • Spectre de phase de s(t) : tracé de ϕ n

en fonction des pulsations (fréquences) • On parle de représentation fréquentielle ou spectrale • A

n et ϕ n n'existant que pour des multiples entiers de ω o on parle de spectres de raies. composante continue 0 ω o

2 ω

o

3 ω

o

4 ω

o A 1 A 0 A 2 A 3 A 4 A 5

5 ω

o A n fondamental ω (rd/s)

Spectre unilatéral de phase

0 n o

2 ω

o

3 ω

o

4 ω

o 1 0 2 3 4 5

5 ω

o

ω (rd/s)

Spectre unilatéral d

'amplitude 0 T o s(t) t

Evolution temporelle du signal

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Exemple 1 : cas d'un signal sinusoïdal

• Soit un signal sinusoïdal décrit par : C 'est un signal ne contenant qu'un seul harmonique ! s(t)=2cos(2π10t-π4)

Domaine temporel

s(t) t 2

0.1125 0 0.0125 T

o =0.1s A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 0 10 20

304050

A n fondamental f (Hz) 2

Domaine fréquentiel

Spectre unilatéral de phase Spectre unilatéral d 'amplitude 1 2 3 4 5

0 10 20 30 40 50 ϕ

n f ( Hz )

4 π

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Exemple 2 : cas d'un créneau

• Montrer que le dévelop pement en s érie de Fourier d'un signal créneau s'écrit : s(t) t A T o 0

Domaine temporel

A n 4A 3 4A 3ω 5ω 3ω 5ω n 2

Domaine fréquentiel

Spectre unilatéral de phase Spectre unilatéral d 'amplitude

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Evolution temporelle des harmoniques Reconstruction du signal à partir des harmoniques

0 -2 0 2 0 0 0 0 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 1 1 1 1 1

Harmonique 1 Harmoniques 1 et 3 Harmoniques 1, 3 et 5 Harmoniques 1, 3, 5 et 7 Harmoniques 1, 3, 5 7 et 9 Harmonique 1 Harmonique 5 Harmonique 3 Harmonique 7 Harmonique 9

Ondulations = phénomène de Gibbs

A=2 T o =1

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Théorème de Fourier

Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux. Cette somme peut s'écrire de deux manières : - forme trigonométrique réelle - forme exponentielle complexe

TdS H. Garnier 15

De la forme trigonométrique à la forme exponentielle complexe • Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire :

En utilisant les formules d'Euler :

• On montre que tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut également s'écrire :

Forme trigonométrique

réelle

Forme exponentielle

complexe

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Forme exponentielle complexe

• Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire : • Remarques - Les coefficients c n

sont appelés coefficients de Fourier - Ces coefficients sont généralement complexes et peuvent

s 'écrire sous forme exponentielle complexe : - L 'harmonique de rang n s'écrit également : L'harmonique de rang n est donc une cosinusoïde de pulsation nω o d'amplitude 2 |c n et de déphasage Arg(c n

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Spectres bilatéraux d'amplitude et de phase

• Les coefficients de Fourier sont généralement complexes et peuvent s 'écrire : • Spectre d 'amplitude de s(t) : tracé de |c n | en fonction des pulsations • Spectre de phase de s(t) : tracé de Arg(c n ) en fonction des pulsations

Spectre bilatéral de phase

0

Spectre bilatéral d

'amplitude 0 T o s(t) t

Evolution temporelle du signal

cn=cnejArg(cn)Ic n I 0 o 2ω o 3ω o Ic 1 I c 0 Ic 2 I Ic 3 I fondamental

ω (rd/s)

Ic -1 I Ic -2 I Ic -3 I o -2ω o -3ω o Arg(c n 0 o 2ω o 3ω o

ω (rd/s)

o -2ω o -3ω o

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Propriétés des spectres bilatéraux

• Il apparaît dans l'expression de s(t) des termes pour les fréquences s'étendant de - ∞ à +∞, d'où le nom de spectres bilatéraux

• Le spectre d'amplitude bilatéral est toujours pair • Le spectre de phase bilatéral est toujours impair • Les 2 spectres ne comportent des composantes qu'aux multiples

entiers de la fréquence du signal, on parle de spectres de raies Spectre bilatéral de phase Spectre bilatéral d'amplitude Ic n I 0 o 2ω o 3ω o Ic 1 I c 0 Ic 2 I Ic 3 I fondamental

ω (rd/s)

Ic -1 I Ic -2 I Ic -3 I o -2ωquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14