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EA Ȃ ECO1
Chapitres 1 et 2
Calculs de maximisation sous contrainte
Consommateur et producteur
C. Rodrigues / Lycée Militaire
EA - ECO1 1Maximisation sous contrainte : protocole type
consommateur On considère un consommateur qui exprime une fonction d'utilitĠ répondant aux conditions du modèle de l'utilitĠ ordinale de Pareto. Cette fonction U est notée :U(x,y) = X0,3. y0,7
Remarque mathématique :
Il s'agit d'une fonction à double variable dite de Cobb-Douglas homogène de degré 1 (la somme des deux exposants est égaleà 1).
Par ailleurs, on sait que ce consommateur subit une contrainte budgétaire. Son revenu (R) s'Ġtablit à 50 Φ et les prix respectifs des biens x et y sont de 2 Φ et 5 Φ.C. Rodrigues / Lycée Militaire
EA - ECO1 2 L'objectif est de déterminer algébriquement le panier de biens x et y qui permet à ce consommateur de maximiser son utilité sous contrainte de son revenu. Mathématiquement, cet objectif s'Ġcrit :Maxx,y U(x,y) = x0,3. y0,7
s.c. R = px.x + py.y Il existe deux protocoles mathématiques pour atteindre ces objectif : 䐟Le multiplicateur de Lagrange ; 䐠La méthode par substitution.C. Rodrigues / Lycée Militaire
EA - ECO1 3Maximisation sous contrainte : protocole type
Choix de la méthode par substitution !!!
La méthode par substitution consiste à exprimer une des variables de la fonction d'utilitĠ en fonction de l'autre variable à partir de la fonction de la contrainte budgétaire. Le but est de transformer une fonction complexe à deux étudier (notamment en identifiant son extremum local qui, dans les exercices de microéconomie, est toujours un maximum local !!).C. Rodrigues / Lycée Militaire
EA - ECO1 4Maximisation sous contrainte : protocole type
Maxx,y U(x,y) = x0,3. y0,7
s.c. R = px.x + py.y y = a.x + b (1) y = -px/py . x + R/py (2)On a donc :
a = -px/py = -2/5 b = R/py = 50/5 = 10 Cependant, pour la rigueur de l'analyse, il est préférable de numériques une fois le résultat obtenu !C. Rodrigues / Lycée Militaire
EA - ECO1 5Maximisation sous contrainte : protocole type
Maxx,y U(x,y) = x0,3. y0,7
s.c. y = ax + b On remplace dans la fonction d'utilitĠ U, l'edžpression de y relative à la contrainte :U(x, ax + b) = x0,3. (ax + b)0,7
On obtient ainsi une fonction à une seule variable que l'on note par exemple F(x) :F(x) = x0,3. (ax + b)0,7
Objectif : identifier la valeur de x pour laquelle cette fonction admet un extremum local (on admettra que cet extremum local est un maximum). Cette valeur de x correspondra à la quantité optimale de bien x à laquelle le consommateur peut prétendre compte tenu de ses préférences et de sa contrainte budgétaire ! On l'appelle conventionnellement xm (" m » pour maximum).
Question : par quelle méthode mathématique peut-on identifier cette valeur de x ?C. Rodrigues / Lycée Militaire
EA - ECO1 6Maximisation sous contrainte : protocole type
Maximisation sous contrainte : protocole type //
C. Rodrigues / Lycée Militaire
EA - ECO17 Tangente horizontale : F'(x) = 0
x (max) = ?? F(x) xMaximisation sous contrainte : protocole type //
La fonction F(xm) admet un extremum (qui est un maximum par admission) pour la valeur de xm qui annule sa dérivée première.On calcule donc эF(džm)ͬэdžm = 0
Rappel : propriété des dérivées :
u(dž) . ǀ(dž)' с u'(dž) . ǀ(dž) н u(dž) . ǀ'(dž)On a donc :
F(xm) = xm0,3. (axm + b)0,7
Et donc :
э(F(dž)ͬэy с 0,3džm(0,3 - 1) . (axm +b)0,7 + xm0,3 . 0,7(axm + b) (0,7 - 1). a Après simplification et pour э(F(džm)ͬэdžm = 0 on obtient :Xm = - 0,3 . b/a
Or : 0,3 = . La valeur générique de xm s'Ġcrit donc :Xm = - ɲ . bͬa
C. Rodrigues / Lycée Militaire
EA - ECO1 8 A partir de l'edžpression de džm, il suffit de remplacer celle-ci dans ym = - 2/5 xm + 10Ù ym = -2/5 . (-0,3b/a) + 10
Ù ym = 0,6b/5a + 10
partir des valeurs algébriques de l'edžercice. On sait que a = -2/5 (rapport des prix relatifs des deux biens) et que b = 50/5 = 10 (Revenu / prix du bien y). Il vient : xm = 7,5 Et : ym = 7On vérifie ainsi que :
Um = U (xm ; ym) = U (7,5 ; 7)
C. Rodrigues / Lycée Militaire
EA - ECO1 9Maximisation sous contrainte : protocole type //
Maximisation sous contrainte : protocole type //
C. Rodrigues / Lycée Militaire
EA - ECO110 CI1
CI2 CI3Maximisation sous contrainte : protocole type //
consommateur On considère une modification du revenu de l'agent. Celui-ci s'Ġtablit dorénavant à 80 Φ.Questions :
consommateur.3.Commenter.
C. Rodrigues / Lycée Militaire
EA - ECO1 11Question 1 :
y = -Px/Py. x + R/pyÙ Y = -2/5 . X + 16
Graphiquement, la droite de budget se déplace parallèlement à elle-même sur la droite. a = -2/5 et b = 16.En remplaçant, il vient :
Xm = - 0,3 . b/a
Xm = 12
On remplace ensuite cette valeur de xm dans la nouvelle droite de budget ci-dessous pour identifier ym :
ym = 11,2