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Exercice 1 Commun à tousles candidats 5 points
PartieA
Àunerouedeloteriedansunefête foraine,laprobabilitéannoncée degagnerunepartieest égaleà0,12.
Un joueur a la possibilité de jouer plusieurs parties.1.Un joueur achète un carnet de tickets permettant de faire quatre parties. La valeur la plus appro-
chée de la probabilité que le joueur gagne une seule fois sur les quatre parties est : a.0,3271 b.0,0002c.0,4824d.0,1215 n=4 etp=0,12. On chercheP(X=1).2.Après avoir gagné une partie, le joueur a la possibilité d"emporter son lot ou de le remettre en
jeu. La probabilité qu"un joueur emporte son lot sachant qu"il a gagné est 0,8. La valeur la plus
approchée de la probabilité qu"il parte avec son lot après une seule partie est : a.0,024b.0,12c.0,096 d.0,8 En construisant un arbre pondéré, on suit le chemin : 0,12×0,8=0,0963.On modélise le nombre de parties jouées par jour à cette loterie par une variable aléatoireXqui
suit une loi normale d"espéranceμ=150 et d"écart-typeσ=10.Une valeur approchée à 10
-3près deP(140PartieB
4.La fonctionf?, dérivée de la fonctionfdéfinie surRparf(x)=(2x+1)e-x, a pour expression :
On applique la formule de dérivation d"un produit de fonctions.5.Soit un nombre réel strictement positifa.
Parmi ces suites d"inégalités quelle est l"inégalité correcte? a.aPartieA
1.On représente la situation à l"aide d"un graphe probabiliste de sommetsZet
Z: Z Z 0,03 0,0020,970,998
2. a.D"après le texte, on a :?an+1=0,97an+0,002bn
b n+1=0,03an+0,998bnAutrement dit :
?an+1bn+1?=?anbn?×?0,97 0,030,002 0,998?
La matrice de transition de l"étatnà l"étatn+1 est doncM=?0,97 0,030,002 0,998?
b.P1=P0×M=?0,4 0,6?×?0,97 0,030,002 0,998?
=?0,4×0,97+0,6×0,002 0,4×0,03+0,6×0,998? ?0,388+0,0012 0,012+5988?=?0,3892 0,6108?3.Pour que l"objectif de la municipalité soit atteint, il faudrait que le pourcentage d"automobiles en
ZTL soit ramené à la moitié de 40% en deux ans, c"est-à-dire à 20% en 24 mois. D"après le cours, on sait que, pour tout entiern?1,Pn=P0×Mn. À la calculatrice on obtientP24=?0,4 0,6?×?0,97 0,030,002 0,998?
24≈?0,2171 0,7829? Donca24≈0,2171>0,20 donc l"objectif affiché par la municipalité ne sera pas atteint.
PartieB
Un réseau de navettes gratuites est mis
en place entre des parkings situés aux abordsdelaville etles principaux sites de la ville.Le graphe ci-contre indique les voies et
les temps des liaisons, en minutes, entre ces différents sites. A B C D E F GP 5579
68
354
9 6 4 8 5 7 10
1.Sur ce graphe, c"est assez facile de trouver un itinéraire reliant le parking P à la gare G en desser-
vant une et une seule fois tous les sites :P - B - C - E - A - D - F - G
Note du correcteur
Rechercher dans un graphe un trajet qui passe une et une seulefois par tous les sommets, c"estchercher un chemin hamiltonien; cette notion n"est pas au programme de la spécialité en ES mais
dans le graphe proposé ici, il n"y avait guère de difficulté pour répondre à la question.
un chemin hamiltonien.2.On cherche un chemin qui emprunte une et une seule fois toutesles voies et qui relie P à G,
autrement dit un chemin eulérien.Polynésie29 septembre 2015
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
Or, d"après le théorème d"Euler, il existe un chemin eulérien dans un graphe si et seulement si
tous les sommets ou tous les sommets sauf 2 sont de degrés pairs. Tous les sommets de ce graphesont de degrés impairs sauf F, donc il n"existe aucun itinéraire qui emprunte une et une seule fois
toutes les voies.3.On va déterminer un trajet de durée minimale pour se rendre duparking P à la gare G au moyen
de l"algorithme de Dijkstra :PABCDEFGOn garde
9 P8 P4 C∞∞∞∞C
9 P8P∞∞∞
7 C13 CB
9 P13 C∞∞
13 BA13 B13 C∞∞
14A15AD
13 C18 D21 DE
18 D21 D
23EF21 D
25FG
Le chemin le plus rapide de P vers G est d"une durée de 21 minutes : P
4-→C3-→B6-→D8-→G
Polynésie39 septembre 2015
Baccalauréat ESA. P. M. E. P.
Exercice 3 Commun à tousles candidats 5 points
Étude de la répartitiondes salairesdans deux entreprises1.La courbeCpasse par le point E d"abscisse 0,6; graphiquement on voit que son ordonnée est
approximativement de 0,3. u(0,6)=0,6×0,62+0,4×0,6=0,456 etv(0,6)=0,7×0,63+0,1×0,62+0,2×0,6=0,3072 Donc la courbeCest la représentation de la fonctionv, et donc la courbe représentative de la fonctionuestC?.On a alors :
FilialeAB
Fonctionuv
CourbeC?C
2. a.Pour avoir le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50% des salariés de la
filiale A ayant les plus bas salaires, on calculeu(0,5) que l"on exprimera en pourcentage. u(0,5)=0,6×0,52+0,4×0,5=0,35 donc 50% des salariés ayant les plus bas salaires dans la filiale A se partagent 35% de la masse salariale. b.v(0,5)=0,7×0,53+0,1×0,52+0,2×0,5=0,2125; donc 50% des salariés ayant les plus bas salaires dans la filiale B se partagent 21,25% de la masse salariale.Donc pour les 50% des salariés ayant les plus bas salaires, c"est la filiale A qui distribue la plus
grande part de la masse salariale.c.D"après la question précédente, c"est la filière B qui sembleavoir une distribution des salaires
la plus inégalitaire.