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11 sept 2015 · Polynésie – 9 septembre 2015 Amérique du Sud – 25 novembre 2015 Corrigé du baccalauréat ES/L – Polynésie 12 juin 2015

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9 sept 2015 · Baccalauréat ES Polynésie 9 septembre 2015 EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats Pour chacune des questions suivantes, 

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1 a Les courbes 2 et 3 ne vérifient pas P3 Par contre le courbe 1 semble représenter une fonction de (E) : en parti- culier la courbe est sous la droite y = x b

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25 jui 2015 · Brevet des collèges Polynésie 10 septembre 2015 Durée : 2 heures Indication portant sur l'ensemble du sujet Toutes les réponses doivent 

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?Corrigés du baccalauréat ES/L 2015?

L"intégrale d"avril 2015 à mars 2016

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bleus

Pondichéry - 16 avril 2015

Liban - 27 mai 2015

Amérique du Nord - 2 juin 2015

Centres étrangers - 12 juin 2015

Polynésie - 12 juin 2015

Asie - 16 juin 2015

Antilles-Guyane- 24 juin 2015

Métropole - 24 juin 2015

Polynésie - 9 septembre 2015

Antilles-Guyane- 11 septembre 2015

.................................55

Métropole - 11 septembre 2015

Nouvelle-Calédonie - 19 novembre 2015

.............................69

Amérique du Sud - 25 novembre 2015

................................75

Nouvelle-Calédonie - mars 2016

......................................82 Baccalauréat ES/L : l"intégrale 2015 des corrigésA. P. M. E. P. 2 ?Corrigé du baccalauréat ES/L - Pondichéry 16 avril 2015?

Exercice 15 points

Commun à tous les candidats

PartieA

On appelle •Bl"événement "la batterie est défectueuse»; •Dl"événement "le disque dur est défectueux». On représente la situation décrite dans le texte par un arbrepondéré : B 0,05 D0,02

D1-0,02=0,98

B

1-0,05=0,95D0,05

D1-0,05=0,95

Proposition1 -Fausse

La probabilité que l"ordinateur acheté n"ait ni problème debatterie ni problème de disque dur est égale à

0,08à0,01près.

L"événement "le micro n"a ni problème de batterie ni problème de disque dur» est

B∩D.

D"après l"arbre :P?

B∩D?

=P?B?

×PB?D?

=0,95×0,95=0,9025?=0,08

Proposition2 -Vraie

La probabilité que l"ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à 0,0485.

On chercheP(D). D"après la formule des probabilités totales :

P(D)=P(B∩D)+P?

B∩D?

Proposition3 -Fausse

la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à0,02.

On cherchePD(B) :PD(B)=P(B∩D)

P(D)=0,05×0,020,0485≈0,0206>0,02

PartieB

Proposition4 -Vraie

La probabilité que l"ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10 h est inférieure à0,2.

La variable aléatoireXqui donne l"autonomie de la batterie suit la loi normale d"espéranceμ=8 et

d"écart typeσ=2. On chercheP(X?10).

μ=8 etσ=2 donc 10=μ+σ.

D"après le cours, on sait queP(μ-σ?X?μ+σ)≈0,68 et pour des raisons de symétrie par rapport à la

droite d"équationx=μ, on peut déduire queP(X?μ-σ)=P(X?μ+σ)≈1-0,68

2≈0,16.

DoncP(X?10)≈0,16<0,2.

μ=8μ-σ

=6μ+σ =10 68%

16%16%

Baccalauréat ES/L : l"intégrale 2015 des corrigésA. P. M. E. P.

PartieC

Proposition5 -Fausse

Ce test, réalisé sur ces 1000 clés, ne remet pas en cause la communication de l"entreprise.

Pour une proportionpet un échantillon de taillen, l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de

95% est :

?p-1,96? p?1-p? ?n;p+1,96? p?1-p? ?n???

On ap=0,98 etn=1000.

Donc l"intervalle de fluctuation asymptotiqueIau seuil de 95% donnant le pourcentage de clés USB conformes dans un échantillon de taille 1000 est : I=?

0,98-1,96?

0,98(1-0,98)?1000; 0,98+1,96?

0,98(1-0,98)?1000?

≈[0,97; 0,99]

Sur 1000 clés, il y en a 50 de défectueuses donc la fréquence declés conformes dans ce lot estf=

1000-50

1000=0,95. Orf??I, donc il faut remettre en question la communication de l"entreprise.

Exercice 25 points

CandidatsES n"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité etcandidats L

1. a.On recopie et on complète le tableau correspondant à l"algorithme donné dans le texte :

TestC<400vraivraivraivraivraifaux

ValeurdeC300326350372392411

Valeurden012345

b.La valeur affichée en sortie d"algorithme est 5. Cela veut dire que pour l"année 5, c"est-à-dire

en 2019, le nombre de colonies dépasse pour la première fois 400.

2.On modélise l"évolution du nombre de colonies par une suite(Cn)le termeCndonnant une esti-

mation du nombre de colonies pendant l"année 2014+n.

AinsiC0=300 est le nombre de colonies en 2014.

a.D"une année sur l"autre, l"apiculteur perd 8% de colonies donc il en reste 92%. De plus, il installe 50 nouvelles colonies chaque printemps donc le nombre de colonies l"annéen+1 est le nombre de colonies l"annéenmultiplié par 0,92 auquel on va ajouter 50 : pour toutn,Cn+1=0,92×Cn+50 b.On considère la suite(Vn)définie pour tout entiernparVn=625-Cn; doncCn=625-Vn. V =0,92×Vn

c.D"après la question précédente, on peut déduire que la suite(Vn) est géométrique de raison

q=0,92 et de premier termeV0=625-C0=325.

Donc, pour toutn,Vn=V0×qn=325×0,92n.

CommeCn=625-Vn, on peut dire que, pour toutn,Cn=625-325×0,92n. d.Le mois de juillet 2024 correspond àn=10; l"apiculteur peut espérer posséderC10colonies soit :C10=625-325×0,9210≈484 colonies.

3. a.Pour doubler le nombre initial de colonies, il faut atteindre au moins 600 colonies; il suffit

donc de remplacer dans l"algorithme la ligne "Tant queC<400 faire»par la ligne"Tant que

C<600 faire»

b.On cherche une valeur denpour laquelleCn?600 : C

325?0,92n

??ln?25 325?
?ln(0,92n)??ln?25325? ?n×ln(0,92)??ln?25 325?
ln(0,92)?n

Pondichéry416 avril 2015

Baccalauréat ES/L : l"intégrale 2015 des corrigésA. P. M. E. P.

Orln?25325?

ln(0,92)≈30,8 donc au bout de 31 années, le nombre de colonies aura doublé.

Vérification :C

30≈598etC31≈600

Exercice 25 points

CandidatsES ayantsuivi l"enseignementde spécialité

1.On représente la situation à l"aide d"un graphe probabiliste de sommets A, B et C :

AB C 0,2 0,2 0,6 0,1 0,4 0,5 0,2 0,8

2.Sian,bnetcnsont respectivement les nombres de visiteurs sur les sites A, B et C à l"instantt=n,

d"après le graphe, on aura : ?a n+1=0,6an+0,1bn+0,2cn b n+1=0,2an+0,5bn+0cn c n+1=0,2an+0,4bn+0,8cn???an+1bn+1cn+1?=?anbncn?((0,6 0,2 0,20,1 0,5 0,40,2 0 0,8)) Donc la matrice de transition associée à ce graphe est :M=((0,6 0,2 0,20,1 0,5 0,40,2 0 0,8)) On donneM2=((0,42 0,22 0,360,19 0,27 0,540,28 0,04 0,68)) etM20≈((0,3125 0,125 0,56250,3125 0,125 0,56250,3125 0,125 0,5625))

3.N2=N1×M=N0×M×M=N0×M2=?100 0 0?((0,42 0,22 0,360,19 0,27 0,540,28 0,04 0,68))

=?42 22 36?

On peut donc dire que, lors de la deuxième minute, il y a 42 internautes sur le site A, 22 sur le site

B et 36 sur le site C.

4.N0×M20=N20≈?100 0 0?((0,3125 0,125 0,56250,3125 0,125 0,56250,3125 0,125 0,5625))

=?31,25 12,5 56,25?

On peut conjecturer que l"état stable est

?31,25 12,5 56,25?. Ce que l"on peut vérifier simplement car?31,25 12,5 56,25?×M=?31,25 12,5 56,25?.

À long terme, il y aura en moyenne 31,25 internautes connectés sur le site A, 12,5 sur le site B et

56,25 sur le site C.

5.À l"instantt=0, le site C est infecté.

a.La probabilité de passer du site C au site A en une minute est de0,2; la probabilité qu"à l"instantt=1 le site A soit infecté est donc égale à 0,2.

Pondichéry516 avril 2015

Baccalauréat ES/L : l"intégrale 2015 des corrigésA. P. M. E. P.

b.Pour qu"en deux minutes les trois sites soient infectés, il faut aller de C vers A puis vers B, ou

de C vers B puis vers A.

C"est impossible d"aller de C vers B.

On va de C vers A avec une probabilité de 0,2 et de A vers B avec une probabilité de 0,2; on va

donc de C vers A puis vers B avec une probabilité de 0,2×0,2=0,04.

La probabilité qu"à l"instantt=2 les trois sites soient infectés est donc égale à 0,04.

Exercice 34 points

Commun à tous les candidats

On s"intéresse à la fonctionfdéfinie surRparf(x)=-2(x+2)e-x

PartieA

1.f(-1)=-2(-1+2)e-(-1)=-2e≈-5,44

2.La fonctionfest dérivable surRcomme produit de fonctions dérivables surR:

f

3.Pour tout réelx, e-x>0 doncf?(x) est du signe dex+1 surR.

• Six<-1,f?(x)<0 doncfest strictement décroissante sur]-∞;-1]; • Six>-1,f?(x)>0 doncfest strictement croissante sur[-1;+∞[; •f?(-1)=0 etfadmet un minimum en-1 égal àf(-1)=-2e.

PartieB

Dans le repère orthogonal ci-dessous, trois courbesC1,C2etC3ont été représentées.

L"une de ces courbes représente la fonctionf, une autre représente sa dérivée et une troisième repré-

sente sa dérivée seconde. -1 -2 -3 -4 -5 -61 23

1 2 3 4 5 6-1-2C2

C1 C3O On sait que sur un intervalle :fconvexe??f?croissante??f??positive Il faut donc déterminer quelle fonction correspond à chacune des courbesC1,C2etC3. • La seule courbe qui corresponde aux variations de la fonctionfestC3.

• La courbeC1correspond à une fonction négative sur]-∞;-1[et positive sur]-1;+∞[; c"est

donc la courbe représentative de la fonctionf?car la fonctionfest décroissante sur]-∞;-1[et

croissante sur]-1;+∞[. • La courbeC2est donc la représentation graphique de la fonctionf??.

Pour déterminer la convexité de la fonctionf, il suffit de regarder le signe de la fonctionf??:f??>0 sur

l"intervalle]-∞; 0[donc la fonctionfest convexe sur l"intervalle]-∞; 0[.

Pondichéry616 avril 2015

Baccalauréat ES/L : l"intégrale 2015 des corrigésA. P. M. E. P.

Exercice 46 points

Commun à tous les candidats

PartieA

On donne ci-dessousRetCles représentations graphiques respectives des fonctionsrecette et coût sur

l"intervalle[1; 30].

050100150200250300350400450

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

R C nombre de pièces en milliersmilliers d"euros zone de bénéfice

1.On trouve le coût de production de 21000 pièces en cherchant l"image du nombre 21 par la fonc-

tionC: le coût de production de 21000 pièces est à peu près de 250000euros.

2.L"entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure au coût deproduction, c"est-à-dire

quand la fonctionRest située au dessus de la fonctionC: l"entreprise réalise un bénéfice pour

une quantité de pièces produites comprise entre 3000 et 23000.

3.L"entreprise réalise un bénéfice maximal quand, sur l"intervalle[3; 23], l"écart entre la fonction

Ret la fonctionCest le plus grand; c"est autour de 13 donc le bénéfice est maximal pour une production de 13000 pièces.

PartieB

Le bénéfice en milliers d"euros, réalisé pour la production et la vente dexmilliers de pièces, est donné

sur l"intervalle[1; 30]parB(x)=-0,5x2+6x-20+2xlnx.

1.La fonctionBest dérivable sur[1; 30]et

B ?(x)=-0,5(2x)+6+2lnx+2x×1 x=-x+6+2lnx+2=-x+8+2lnx

2.On admet queB??(x)=-1+2

x, oùB??est la dérivée seconde deBsur l"intervalle[1; 30]. On donne le tableau de variations de la fonction dérivéeB?: x1 2 30

6+2ln2

B?(x)

7-22+2ln30

B ?(30)=-30+8+2ln30=-22+2ln30≈-15,2<0 • Sur[1; 2[: 1?x<2??1

2<1x?1??1<2x?2??0< -1+2x?1=?B??(x)>0 donc

B ?est strictement croissante. • Sur]2; 30]: 230?1x<12??230?2x<1?? -1+230?-1+2x<0=? B ??(x)<0 doncB?est strictement décroissante. • Enx=2,B??(x)=0; la fonctionB??s"annule et change de signe donc la fonctionB?admet un maximum égal àB?(2)=6+2ln2.

Pondichéry716 avril 2015

Baccalauréat ES/L : l"intégrale 2015 des corrigésA. P. M. E. P.

3. a.On a vu queB?(1)>0,B?(2)>0 etB?(30)<0; on complète le tableau de variations deB?:

x1 2 30

6+2ln2

B?(x)

7-22+2ln30

0α Onpeutendéduirequel"équationB?(x)=0admetuneuniquesolutionsurl"intervalle[1 ;30], et que cette solution est dans l"intervalle]2 ;30[. b.En utilisant le tableau de valeurs de la calculatrice, on trouve successivement :

B?(13)≈0,13>0

B ?(14)≈-0,72<0? =?α?[13; 14]

B?(13,1)≈0,045>0

B ?(13,2)≈-0,04<0? =?α?[13,1; 13,2]

B?(13,15)≈0,003>0

B ?(13,16)≈-0,006<0? =?α?[13,15; 13,16]

B?(13,153)≈0,0003>0

B ?(13,154)≈-0,0005<0? =?α?[13,153; 13,154] Donc 13,153 est une valeur approchée deαau millième. On peut également utiliser le solveur de la calculatrice.

4.On peut déduire des questions précédentes que :

•B?(x)>0 sur[1;α[•B?(x)<0 sur]α; 30]•B?(α)=0

D"où le tableau de variations de la fonctionB:

x1α30

B?(x)+++0---

B(α)

B(x) -14,5-290+60 ln30

5.L"entreprise réalise un bénéfice maximal quandx=αce qui correspond à une production de

13153 pièces, à l"unité près.

Ce bénéfice maximal vautB(α).

Orα?[13,153; 13,154]etB(13,153)≈40,20 etB(13,154)≈40,20 milliers d"euros. On peut donc dire que le bénéfice maximal, arrondi au millier d"euros, est de 40000?.

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Pondichéry816 avril 2015

?Corrigé du baccalauréat ES/L - Liban27 mai 2015?

EXERCICE15 points

Commun à tous les candidats

1.On donne ci-dessous le tableau de variations d"une fonctionfdéfinie sur l"intervalle [-3 ; 1].

x-3-1 0 1 -1 4 f(x) -6-2 0α •Sur l"intervalle [-3 ; 0],fadmet un maximum-1 qui est atteint pourx=-1,f(x)=0 n"admet pas de solution sur cette intervalle. •Sur l"intervalle [0; 1],fest continue et strictement décroissante de plus 0 est compris entre

f(0) etf(1), donc d"après le théorème des valeurs intermédiaires etla stricte monotonie de la

fonctionf(x)=0 admet une solution unique sur cet intervalle. On l"appelleraα. En conséquence,f(x)=0 admet une solution unique sur [-3; 1].

La proposition1 est doncvraie.

2.Par lecture graphique :g?(x)?0 sur l"intervalle [0; 4], la fonctiongest donc croissante sur cet

intervalle.

La proposition2 est fausse.

C g? 41131
0 xy Commeg?est décroissante sur l"intervalle [0; 13],gest concave sur cet intervalle,

La proposition3 est doncvraie.

Baccalauréat ES/L : l"intégrale 2015 des corrigésA. P. M. E. P.

3.On a :

Ch1 1 2 3 exy 0

•h(x)?0

•hest continue sur l"intervalle [1; e].

•une primitive dehvaut :H(x)=lnx. Et?

e 11 xdx=[H(x)]e1=ln e-ln1=1

La fonctionhest bien une fonction de densité.

La proposition4 est doncvraie.

EXERCICE25 points

Commun à tous les candidats

1. a.f?(5) correspond au coefficient directeur de la tangente au point d"abscisseA, c"est donc le

coefficient directeur de la droite (AB).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021

xy C f A B5 -30 (TA)B Nous pouvons le lire graphiquement, voir ci-dessus. Nous pouvons le calculer,A(5 ; 55) etB(10 ; 25), le coefficient directeur de la droite (AB) vaut : y B-yA xB-xA=25-5510-5=-305=-6. b.fest dérivable en tant que somme de fonctions dérivables sur [1; 18]. f ?(x)=2+40×(-0,2)? u ?×eu ???-0,2x+1=2-8e-0,2x+1

Liban1027 mai 2015

Baccalauréat ES/L : l"intégrale 2015 des corrigésA. P. M. E. P. c.f?(5)=2-8e-0,2×5+1=2-8e0=2-8=-6, on retrouve bien le résultat de la partie1.a..

2. a.Ici,nous travaillons avec des expressions qui sont définiessur toutR, les équivalences seront

toujours vraies.

2-8e-0,2x+1?0? -8e-0,2x+1?-2

?e-0,2x+1?-2 -8 ?ln e-0,2x+1?ln1

4? -0,2x+1?-ln4

? -0,2x?-ln4-1 ? -5×(-0,2x)?-5×(-ln4-1) ?x?5ln4+5) b.Dans un premier temps, on constate que : 5ln4+5≈11,93 qui est bien compris dans [1; 18]. Et :f(5ln4+5)≈38,86,f(1)≈96,02 etf(18)≈43,97.

3.Par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l"entreprise pour que le coût de fabrication

unitaire soit minimal est àchoisir parmif(11)≈39,05 ouf(12)≈38,86, lecoût seradoncminimal

pour 12 parasols.

4. a.Il suffit de dériverF,

F

Fest bien une primitive def.

b.I=? 15 5 =300-200e-2-(-150)=450-200e-2 c.Rappel : la valeur moyenne defsur[a;b]vaut :μ=1 b-a? b a f(x)dx. ici : 1

10I=115-5?

15 5 f(x)dx. C"est le calcul de lavaleur moyenne defsur l"intervalle [5; 15] et cette valeur moyenne vaut :

45-20e-2≈42,29

C"est le coût de production unitaire moyen.

EXERCICE35 points

Commun à tous les candidats

PartieA

1. a.Voici l"arbre de probabilité :

A 0,4

D0,02P(A∩D)=PA(D)×P(A)

D0,98

B0,6D0,03

D0,97 b.Nous utilisons la formule des probabilités totales :P(D)=P(A∩D)+P(B∩D)

P(D)=P(A)×PA(D)+P(B)×PB(D)

P(D)=0,4×0,02+0,6×0,03

P(D)=0,026.

c.PD(A)=P(A∩D)

P(D)=0,4×0,020,026≈0,308

Liban1127 mai 2015

Baccalauréat ES/L : l"intégrale 2015 des corrigésA. P. M. E. P.

2. a.Nous sommes dans le cas d"une expérience de Bernoulli (on a affaire à une médaille défec-

tueuse ou non). Nous répétons cette expérience de manière indépendante avec remise, nous sommes dans le cas d"un schéma de Bernoulli. vons assimiler cette loi à une loi binomiale :X=B(n,p), oùn=20 etp=0,026. b.Ici nous calculons :P(X?1)=P(X=0)+P(X=1)=?20 0? 0,026

0×(1-0,026)20+?20

1? 0,026

1×(1-0,026)19≈0,906

Ou encore :

P(X?1)=BinomFrep(20,0.026,1)≈0,906

PartieB

76747376 777473μ=75

1.Nous pouvons lire :μ=75.

3.Le résultat de cours est :P(μ-2σ?X?μ+2σ)≈0,95,

icih=2σ=0,50.

PartieC

1.La fréquence de médaille défectueuse est de :f=11

180≈0,061.

2.Xnsuivant une loi binomialeB(n,p). la variableFn=Xn

nreprésente la fréquence de médaille

défectueuse. La proportion de médaille défectueuse de l"échantillon de taillenestp. Ici :n=180

etn?30,n×p=180×0,03=5,4?5 etn×(1-p)=180×0,97=174,6?5 L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% vaut : I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n?

Ici :p=0,03 etn=180.

I≈[0,00507895133 ; 0,0549210487].

Or :f?I, le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d"arrêter la

production pour procéder au réglage de la machineMB.

EXERCICE45 points

Candidatsde la sérieES n"ayant passuivi l"enseignementdespécialitéet candidatsde L La situation peut être modélisée par une suite (Vn). Le premier juillet 2013 au matin, le volume d"eau en m

3estV0=100000.

Pour tout entier naturelnsupérieur à 0,Vndésigne le volume d"eau en m3au matin dun-ième jour qui

suit le 1 erjuillet 2013.

Liban1227 mai 2015

Baccalauréat ES/L : l"intégrale 2015 des corrigésA. P. M. E. P.

1. a.Volume d"eauV1au matin du 2 juillet 2013 :

V b.Volume d"eauV2, au matin du 3 juillet 2013 : V c.Pour tout entier natureln V

Ainsi,Vn+1=0,96Vn-500.

2.Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d"eau, on a commencé par élaborer

l"algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignesL6,L7etL9de cet algorithme pour qu"il donne le résultat attendu.

L1Variables:Vest un nombre réel

L2Nest un entier naturel

L3Traitement:Affecter àVla valeur 100000

L4Affecter àNla valeur 0

L5Tant queV>0

L6Affecter àNla valeurN+1

L7Affecter àVla valeur0,96?V-

500
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