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Modèle d'indépendance Les nuages Inertie Représentation simultanée Aides à l'interprétation Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 1 Données

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Dans un tableau de contingence, les mots individus et variables n'ont pas la même signification que dans le tableau de l'ACP En effet, dans le tableau de 

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DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)

Jérôme Pagès (& François Husson)

Laboratoire de mathématiques appliquées - Agrocampus Rennes husson@agrocampus-ouest.fr 1/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données

2Modèle d"indépendance

3Les nuages et leur ajustement

4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC

5Représentation simultanée des lignes et des colonnes

6Aides à l"interprétation

2/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données

2Modèle d"indépendance

3Les nuages et leur ajustement

4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC

5Représentation simultanée des lignes et des colonnes

6Aides à l"interprétation

3/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Tableau de correspondancesTableau de correspondances 1 i Ij1J ijx

Ensemble I

Ensemble J

x ijNombre d"individus appartenant à l"élément ide l"ensemble I

à l"élément jde l"ensemble J

2Lignes Colonnesxij

Personnages de Phèdre Mots Nombre de fois que le personnage i (Racine)a utilisé le mot j Vins Mots Nombre de fois que le vin ia été associé au mot j Bureau de vote Candidat Nombre de voix obtenues par le candidat j dans le bureau de vote ix ij:nomb red"individus appa rtenant

à l"élémentide l"ensembleI

à l"élémentjde l"ensembleJPersonnages de

Phèdre (Racine)MotsNomb rede fois que le p ersonnage ia utilisé le motjParfumsDesc ripteurNomb red efois où le pa rfumia été décrit par le motjMilieuxEsp ècesAb ondancede l"esp ècejdans le milieui=?Exemples où le test d"indépendance duχ2peut être appliqué4/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Données historiques

Enquête du CREDOC (N. Tabard, 1974)?Etude de la liaison entre deux variables qualitatives 5/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Données

nindividus et 2 variables qualitatives7 V1V2 n 1 i j

Individus

1 i Ij1J

Modalités

de V 1

Modalités

de V 2 n Distribution desnindividus dans lesI×Jcases du tableau 6/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Du tableau de contingences au tableau de probabilités f ij=xijnijf 1i j1J

Modalités

de V 1

Modalités

de V 2 .ifS

Marge colonne

(probabilité marginale) J ij i f f. ijf iI de V 1 .jf S

Marge ligne

(probabilité marginale) .if1 j ij i f f 1 I i ijjff

1.Liaison entre V1 et V2 : écart entre les données observées et le

modèle d"indépendance 7/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Analyse Factorielle des Correspondances (AFC)1Données

2Modèle d"indépendance

3Les nuages et leur ajustement

4Pourcentages d"inertie et inertie en AFC

5Représentation simultanée des lignes et des colonnes

6Aides à l"interprétation

8/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Liaisons et indépendance entre deux variables qualitatives

Modèle d"indépendance :

Evènements indépendants :P(AetB)=P(A)×P(B)Variables qualitatives indépendantes :?i,?j,fij=fi.×f.j

?Probabilité conjointe=produit des probabilités marginalesAutres écritures : fijf i.=f.jfijf .j=fi. ?Probabilité conditionnelle = probabilité marginale9/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Liaisons entre deux variables qualitatives

Ecart entre données obs (fij) et modèle d"indépendance (fi.f.j)1Significativité de la liaison (de l"écart) : test duχ2

2obs=I?

i=1J j=1(eff. observé-eff. théorique)2effectif théorique =I? i=1J j=1(nfij-nfi.f.j)2nf i.f.j

2obs=I?

i=1J j=1n(probabilité observée-probabilité théorique)2probabilité théorique

=nΦ22Intensite de la liaison =Φ2= écart entre probabilités théoriques et observées3Nature de la liaison = association entre modalités

L"AFC travaille sur le tableau des p robabilités ne dit rien sur la significativité visualise la nature de la liaison entre les deux variables 10/43

DonnéesMo dèled"indép endanceLes nuages Inertie Rep résentationsimultanée Aides à l"interp rétation

Comment l"AFC appréhende l"écart à l"indépendance?

Analyse par lignes :

fijf i.=f.jL"AFC compare les profils lignes au profil moyen

Profil ligne i= distribution conditionnelle de V2

sachant que l'on possède la modalité ide V1Profil ligne moyen = distribution marginale de V2Profil de l"ensemble des individus étudiés

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