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L'AFC pour les nuls

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selon les conditions suivantes :

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Mise à jour du 8 août 2010

Rémi Bachelet

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enregistrée en vidéo

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août 10 Rémi BACHELET Ecole Centrale de Lille 2

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1.Mettre les diapos en format plein écran en cliquant sur

2.sur les diapositives

(attention : cliquer sur une image ou un lien ouvre la page web correspondante)

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août 10 des Correspondances Méthode développée notamment par Jean-Paul Benzécri (1970+) 1. des Correspondances

2.Savoir quel est le processus de calcul et ses logiques

3.Pouvoir expliquer le mapping produit par une AFC

4.Également :

traitement de données Avoir des éléments de comparaison AFC ACP (ACP = Analyse en Composantes

Principales).

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août 10 1.

2.Exemples :

Les limites des représentations graphiques intuitives

Comment donner du sens aux informations

Chapitre 1/4

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août 10 factorielle des correspondances (AFC) Elle remplace un tableau de nombres difficile à analyser par une série de tableaux plus simples qui sont une bonne approximation de celui-ci » Ces tableaux sont " simples », car ils sont exprimables sous forme de graphiques

Pourquoi " des correspondances » ?

Pourquoi " factorielle » ?

qui sont chacun le produit de facteurs simples.

Autrement dit, on les " met en facteurs »

variables numériques

Corrélation

variables nominales

Correspondance

cours : Que sais-je ? " L' analyse factorielle » - N°2095, Philippe CIBOIS, ed. PUF, épuisé, extrait disponible en ligne

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août 10

Exemple : que deviennent les

bacheliers ? A BDD' CE FGH 100
université classes prépa autres destination

13 2 5

20 2 8

10 5 5

7 1 22

total 20 30
20 30
total 50 10 40

Stats MEN 1975 - 1975 204 489 lycéens

100

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août 10

Une représentation graphique

intuitive 20 A

30 BDD'

20 CE

30 FGH

UniversitéClasses PrépaAutres

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août 10 de Génie / filière.

Entrepreneuriat Gestion - Audit Aménagement, Construction, Environnement Conception de Produits et Systèmes Innovants Production Industrielle Logistique Commerciale et Industrielle Recherche

Mécanique Avancée0027516

Génie Civil12240010

Matière,Energie et

Vivant0120511

Ondes, Nano-

Electronique, Télécoms2101016

Systèmes Electriques

et Electroniques0032011

Systèmes Automatisés00110210

Génie des systèmes

de production0500440

Génie Informatique0003152

Informatique de

Gestion21100021

Services et Systèmes

Socio-Economiques1630021

Systèmes de Transport

et Logistiques0200180

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août 10 .. Pas toujours suffisante :

21 Mécanique Avancée

28 Génie Civil

10 Matière,Energie et Vivant

11 Ondes, Nano-Electronique, Télécoms

7 Systèmes Electriques et Electroniques

14 Systèmes Automatisés

10 Génie des systèmes de production

11 Génie Informatique

14 Informatique de Gestion

11 Services et Systèmes Socio-Economiques

10 Systèmes de Transport et Logistiques

EntrepreneuriatGestion - Audit

Aménagement, Construction, EnvironnementConception de Produits et Systèmes Innovants Production IndustrielleLogistique Commerciale et Industrielle

Recherche

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août 10

Comment donner du sens à ces

données

évidence ce qui est inattendu dans ces

répartitions uniforme

On va donc :

1.

2.Calculer en quoi la situation constatée en diffère

3. 4.

5.et en optimiser la lisibilité

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août 10

Première opérations sur

les matrices

1.Matrice " T

2.

Exprimer " simplement » R

Chapitre 2/4

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août 10

Matrice " T

Ce tableau est aussi une matrice, appellons-la " T » Quelle matrice aurait-on si la répartition dans les filières post-Bac ne dépendait pas du type de Bac ? A BDD' CE FGH 100
université classes prépa autres destination

13 2 5

20 2 8

10 5 5

7 1 22

total 20 30
20 30
total 50 10 40 100

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août 10

12 3 15

8 12 8 2 10 3 15 2 10 30
40
20 30
20

10 50 On reconstitue

la matrice à partir de ses marges Appellons cette matrice " T0 »

10 = 50 * 20%

(produit matriciel /100

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août 10

2/ La matrice des est

T T0 = R

13 2 5 10 2 8 3 0 -3

20 2 8 15 3 12 5 -1 -4

10 5 5 10 2 8 0 3 -3

7 1 22 15 3 12 -8 -2 10

Quelle est la particularité de R ?

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août 10

3/ Comment exprimer simplement R ?

une somme de matrices..

R = T1 + T2

.. Chacune de ces matrices étant mise en facteur (le

T1 = C1L1

(une matrice dont la plus petite dimension est N " rang N » est décomposable ici T = T0 + T1 + T2).

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août 10

Produit matriciel : exemple

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août 10 1 1 2 3 3 6

1 2 T = CL On met en facteur T comme le produit C par une matrice ligne L

T (2X2)

C (1X2)

L (2X1)

Attention les règles de présentation du produit matriciel ne sont pas bien respectées dans nos diapos De plus, la multiplication des matrices n'est pas commutative (LC CL)

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août 10

R = T1 + T2 = C1L1 + C2L2

3 0 -3 1 1 -2 1 2 -1 -1 1

5 -1 -4 1 1 -2 1 4 -2 -2 2

0 3 -3 2 2 -4 2 -2 1 1 -1

-8 -2 10 -4 -4 8 -4 -4 2 2 -2

1 1 -2 2 -1 -1

Attention le sens de multiplication écrit ici

est LC au lieu de CL

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août 10 présentation graphique

Production et interprétation du mapping

Vecteurs colonne et vecteurs ligne

Produit scalaire

Chapitre 3/4

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août 10

3/ bis Comment représenter

graphiquement la décomposition ? Un vecteur colonne (resp. ligne) correspond à une modalité des données en colonnes (resp. lignes)

Un axe unidimensionnel + un axe unidimensionnel =

un repère

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août 10

Un vecteur colonne correspond à une

modalité des données en colonnes

3 0 -3 1 1 -2 1 2 -1 -1 1

5 -1 -4 1 1 -2 1 4 -2 -2 2

0 3 -3 2 2 -4 2 -2 1 1 -1

-8 -2 10 -4 -4 8 -4 -4 2 2 -2

1 1 -2 2 -1 -1

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août 10

Un vecteur colonne correspond à une

modalité des données en colonnes A 1 2 CE -1

FGH -2

Univ CPGE Autres

2 -1 -1

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août 10

Un axe unidimensionnel + un axe

unidimensionnel = un repère -2 1 1 -4 2 1 1 -1 -1 2 -2 -1 2 1

Autres

CPGE Univ FGH CE A A CE CPGE FGH Aut. Univ.

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août 10

4/ Que veut dire ce mapping ?

1.Conjonction :

Produit scalaire positif

Les Bac CE ont une affinité pour la prépa

2.Opposition

Produit scalaire négatif

Les Bacs A ne vont pas vers les " autres »

(IUT, BTS)

3.Quadrature

Produit scalaire nul

Les bacs A ne vont ni plus ni moins vers

les prépas que la moyenne des bacheliers A

Prépa

CE

Autres

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août 10

Optimisation de la

factorisation

1.Le Chi-2 (

2) comme métrique

Degrés de liberté

2.Retour aux applications

Analyse de mappings

Chapitre 4/4

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août 10

5/ meilleure

décomposition possible pour R ?

En effet R = T1 + T2

1 + 2 1 + 2

Quel est le critère (la métrique) qui permet de définir les meilleurs T1 et T2? la meilleure T1,, puis la meilleure T2 de telle manière à ce que le premier axe soit celui qui exprime le plus de sens..

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août 10 le Chi-2 ( 2) Le 2 or cette indépendance, est exprimée par T0 À partir de la matrice des données pour chaque cellule de T1 et

T2, on calcule

1.0 au carré 2 » du

2 ) 2.

2 pondéré)

3.Le

2 de la matrice est la somme de toutes les " contributions au

2 » de ses

cellules

4.Le pourcentage des contributions de T1 et T2 par rapport au

2 de R donne les

contributions relatives de T1 et T2 au

2 de T

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août 10

Note sur le

2 : ses degrés de liberté

2 (R) =

2 (T1) +

2 (T2)

2491 = 1998 + 493

Attention à considérer le

2 en proportion de la richesse en information le

la matrice = de son nombre de ddl. À partir des distributions marginales on peut obtenir plusieurs matrices Tn imposée par la contrainte du total marginal

Définition :

On appelle degré de liberté par ligne (ddll) le nombre de colonnes (de modalités) diminué de 1. On appelle degré de liberté par colonne (ddlc) le nombre de lignes (de modalités) diminué de 1. Le degré de liberté du khi-deux de la matrice est le produit ddll x ddlc = ddl.

Pour une matrice donnée, le

2 à prendre en compte est en fait

2 / ddl

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août 10

Matrice T1 maximisant le

2 dans

notre cas

2 (R) =

2 (T1) +

2 (T2)

2491 = 1998 + 493

100% = 80.2% + 19.8%

pourcentage de la variance expliquée par un axe est particulièrement intéressante lorsque la taille du tableau de données

2 (R) =

2 (T1) +

2 (T2) +

2 (T3) +

2 (T4) ..

Pourquoi ?

Î On ne peut que représenter que deux axes à la fois sur un

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août 10

On obtient alors ce nouveau

mapping

Axe 1 (80.2%)

quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20