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Analyse de données - Partie III : AFC et AFCM
Analyse factorielle des correspondances (AFC)
Angelina Roche
Executive Master Statistique et Big Data
2018-2019
Analyse de données - Partie III : AFC et AFCM
Plan du cours
Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance
Axes principaux
Aides à l"interprétation
Extensions
Analyse de données - Partie III : AFC et AFCM
Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance Plan Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance
Axes principaux
Aides à l"interprétation
Extensions
Analyse de données - Partie III : AFC et AFCM
Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance Exemple : attitude à l"égard du travail féminin en 1970
Réponse à deux questionnaires
1: I Parmi les trois modèles suivants, quel est celui qui se rapproche le plus de l"image idéale que vous vous faites d"une famille. Une famille où les deux conjoints ont un métier qui les absorbent autant l"un que l"autre et où les tâches ménagères et les soins aux enfants sont partagés entre les deux. Une famille où la femme a une profession moins absorbante que celle de l"homme et où elle assure une plus grande part des tâches ménagères et des soins aux enfants. Une famille où l"homme seul exerce une profession et où la femme reste au foyer.1.Source : T abard,N. (1974). Besoins et aspirations des familles et des jeunes. CREDOC. Paris.
Analyse de données - Partie III : AFC et AFCM
Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance Exemple : attitude à l"égard du travail féminin en 1970 I En distinguant la période où les enfants sont petits et celle où tous les enfants vont à l"école, quel est selon vous le type d"activité qui convient le mieux à une mère de famille : au foyer, travail extérieur à mi-temps, travail extérieur à plein temps.
Analyse de données - Partie III : AFC et AFCM
Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance Exemple : attitude à l"égard du travail féminin en 1970
Figure -
T ableaucroisé des r éponsesaux questions rep roduitdans Husson, Lê, Pages, Analyse de données avec R.
Analyse de données - Partie III : AFC et AFCM
Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance
Notations et tableau de contingence
I On dispose pournindividus de leurs valeurs pour deux variables qualitativesV1etV2. I V1présenteImodalités (= valeurs possibles) etV2en possède J. I xij: nombre d"individus possédant la modalitéideV1etjde V 2. I Tableau croisé (= tableau de contingence) :(xij)1iI;1jJ: I
Marges :
x i=JX j=1x ij;xj=IX i=1x ijetn=x=IX i=1J X j=1x ij:
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Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance Tableau de probabilités et probabilités marginales I
Tableau dont les termes sont :
f ij=xijn I
Probabilités marginales :
f i=JX j=1f ij;fj=IX i=1f ijet 1=f=IX i=1J X j=1f ij:
Analyse de données - Partie III : AFC et AFCM
Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance
Effectifs théoriques
I Si les variablesV1etV2sont indépendantes alors, pour tousi etj:
P(V1=ietV2=j) =P(V1=i)P(V2=j):
I Dans ce cas : on s"attend à ce que, pour tousietj: f ijfifjou de mêmexij(=nfij)nfifj I L"écart entre le tableau croisé(xij)1iI;1jJet le tableau dit deseffectifs théoriques(nfifj)1iI;1jJmesure l"écart à l"indépendance.
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Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance Effectifs théorique - données sur travail des femmes I Effectifs observés :rester.au.foyer trav..à.mi.temps trav..plein.temps
2 conj. tr. également 13.00 142.00 106.00
trav. mari + absorbant 30.00 408.00 117.00 seul le mari trav. 241.00 573.00 94.00I Effectifs théoriques :rester au foyer trav. à mi-temps trav. plein temps
2 conj. tr. également 43.00 170.00 48.00
trav. mari + absorbant 91.40 361.50 102.10 seul le mari trav. 149.60 591.50 167.00
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Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance
Test du2
I
2obs=IX
i=1J X j=1(effectifs observéseffectifs théoriques)2effectifs théoriques IX i=1J X j=1(xijnfifj)2nf ifj: I Sous l"hypothèse d"indépendance, la statistique2obssuit une loi dite du2à(I1)(J1)degrés de liberté. I p-valeur=PV1?V222obs. I On considère que les variablesV1etV2sont dépendantes si p-valeur5%.
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Axes principaux
Plan Profils lignes, profils colonnes et modèle d"indépendance
Axes principaux
Aides à l"interprétation
Extensions
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Axes principaux
Nuages des profils lignes et colonnes
I
Nuage des profils lignes
N
I:=f(fi1=fi;:::;fiJ=fi);i=1;:::;Ig RJ:
On attribue à chaque ligne le poidspi=fi, point moyen : G
I= (f1;::::;fJ):
I
Nuage des profils colonnes
N
J:=f(f1j=fj;:::;fIj=fj);j=1;:::;Jg RI:
On attribue à chaque colonne le poidspj=fj, point moyen : G
J= (f1;::::;fI):
Analyse de données - Partie III : AFC et AFCM
Axes principaux
Axes principaux
I On procède ensuite exactement comme pour l"ACP pour la recherche des axes principaux (maximisation de l"inertie projetée). I Le nombre d"axes maximum pour représenter parfaitement un tableau croisé de tailleIJestmin fI1;J1gcar : I la somme des coordonnées d"un profil est égale à 1 :Ni appartient donc à un sous-espace de dimensionJ1de RJ, I NIcontientIpoints : il est donc possible de le représenter parfaitement avecI1dimensions.
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Axes principaux
Projection des nuages des profils lignes et colonnes-0.6 -0.4-0.2 0.00.2 0.4 -0.2 -0.1 0.0 0.10.2
CA factor map
Dim 1 (86.29%)
Dim 2 (13.71%)
2 conj. tr. également
trav. mari + absorbant seul le mari trav. -0.6 -0.4-0.2 0.00.2 0.40.6 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.20.3
CA factor map
Dim 1 (86.29%)
Dim 2 (13.71%)
rester.au.foyer trav..à.mi.tempstrav..plein.temps
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Axes principaux
Représentation superposée des lignes et des colonnes I Dualité des représentations deNIetNJ: il s"agit du même tableau de données vu de 2 points de vue différents. ,!même inertie totale2=n, ,!inertie projetée sur lek-ème axe factoriel deNI= inertie projetée sur lek-ème axe factoriel deNJ=k(propriété admise), ,!relations (admise) entre les coordonnéesski(resp.tkj) des projections des profils lignes (resp. colonnes) sur les axes factoriels : s ki=1p kJ X j=1f ijf itkjettkj=1p kI X i=1f ijf jski:
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Axes principaux
Représentation superposée des lignes et des colonnes-0.6 -0.4-0.2 0.00.2 0.40.6 -0.4 -0.20.0 0.20.4
CA factor map
Dim 1 (86.29%)
quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23
[PDF] AFC