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Description mathematique d'une experience aleatoire : evenements elementaires, evenements, probabilite (on se limitera au cas ou l'ensemble d'evenements elementaires est ni).
Chantal Menini
7 mai 2009
1 Introduction.
Qu'est ce qu'uneexperience aleatoire? C'est une experience dont l'issu (le resultat) n'est pas certain (par exemple
nombre qui apparait lorsque l'on jette un de, resultat d'une mesure ou l'aleatoire provient des erreurs de mesures,
etc...). On va donc chercher a donner unmodele mathematiquepour cette experience qui prendra en compte l'en-
semble des issus possibles (en fonction de ce que l'on veut observer) et laprobabilited'obtention d'une issue.
Comment est determinee cette probabilite? Nous le verrons plus loin, c'est une application qui doit verier des
proprietes bien precises, le choix de la probabilite fait partie du choix du modele.2 Evenements.
Denition 2.1Lors d'une experience aleatoire, on appelleuniversl'ensemble des issus possibles de cette experience.
On appelleevenement elementairetout element de l'univers etevenementtoute partie de l'univers.Exemple 1: Pour l'experience : on jette un de a 6 faces numerotees de 1 a 6 et l'on observe le numero obtenu
on modelisera en prenant pour univers =f1;:::;6g, l'evenement \obtenir 3" est l'evenement elementairef3g, l'evenement \obtenir un nombre pair" est l'evenementf2;4;6g.Exemple 2: Pour l'experience : on jette deux des a 6 faces numerotees de 1 a 6 (l'un est rouge et l'autre est bleu) et
l'on observe les numeros obtenus on modelisera en prenant pour univers =f1;:::;6g2; maintenant si l'on observe la somme obtenue apres le jet de ces deux des on modelisera en prenant pour univers =f2;:::;12g.Exemple 3: Si l'on reprend l'exemple evoque en introduction d'erreur de mesure alors l'univers sera par exemple
pour un pese-personne l'intervalle [100;100] ce qui ne rentre pas dans le cadre de cette lecon car non ni.
Dans toute la suite de la lecon nous supposerons l'univers ni. Tableau de correspondances probabilistes et ensemblistes, l'univers est note .Vocabulaire des evenementsPropriete ensemblisteEvenement elementairef!g!2
EvenementAA
Evenement certain
Evenement impossible;
Evenement contraire deA(noteA)
nAAimpliqueBABAouBA[BAetBA\BAetBincompatiblesA\B=;Aest realise!2A13 Probabilite.
3.1 Denition et proprietes.
Denition 3.1Soit
un ensemble ni non vide etP( )l'ensemble de ses parties. On appelleprobabilitesur ;P( ))toute applicationPdenie surP( ), a valeur dansR+et satisfaisant (i)P( ) = 1 (ii)8A; B2 P( )tels queA\B=;,P(A[B) =P(A) +P(B).Le triplet(
;P( );P)est appeleespace probabilise.Proposition 3.2Soit(
;P( );P)un espace probabilise,AetBdeux elements deP( ), alors1.P(;) = 0,
2.P(A) = 1P(A),
3.Pa valeurs dans[0;1],
4. SiABalorsP(A)P(B)etP(BnA) =P(B)P(A),
5.P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B).
Preuve.
1. \ ;=;d'ouP( ) =P( [ ;) =P( ) +P(;).2.A\A=;d'ou 1 =P(
) =P(A[A) =P(A) +P(A).3.P(A) = 1P(A) etP(A)0 doncP(A)1.
4. (BnA)\A=;d'ouP(B) =P((BnA)[A) =P(BnA) +P(A) etP(BnA)0.
5. (A[B)nA=Bn(A\B) d'ouP(A[B)P(A) =P(B)P(A\B).
Proposition 3.3Formule de Poincare.
Soit( ;P( );P)un espace probabilise. SoitN2, pour toute suite nie(Ai)1iNd'elements deP( )on a P N[ i=1A i! =NX i=1P(Ai)X1i 1i Preuve.Nous avons montre cette assertion pourN= 2 dans la proposition precedente, on la montre pour tout
entierN2 par recurrence surN(pas de diculte particuliere mais un peu emb^etant a ecrire). On peut aussi
donner une demonstration faisant intervenir un calcul d'esperances de variables aleatoires, nous l'avons indique dans
les commentaires car il ne rentre pas dans le cadre de la lecon. Corrolaire 3.4Formule de Poincare simpliee.
Soient(
;P( );P)un espace probabilise etN2. Si pour toute suite nie(Ai)1iNd'elements deP( )on a 8k2 f1;:::;Ng;81i1< i2<< ikN; P(Ai1\ \Aik) =pk
alors P N[ i=1A i! =NX k=1(1)k1N k p k: 3.2 Probabilite et denombrement.
Proposition 3.5Soient
=f!1;:::;!ngetnreels positifsp1,...,pntels quenP i=1p i= 1. Alors il existe une unique probabilitePsur( ;P( ))telle queP(f!ig) =pipour tout entiericompris entre 1 etn. 2 Preuve.SoitAun evenement alors necessairement (en appliquant l'axiome (ii) de la denition 3.1) nous avons
P(A) =P
i = !i2Ap i, d'ou l'unicite dePen cas d'exitence. Il reste a verier que l'applicationPdenie ci-dessus est bien une probabilite sur ( ;P( )). Elle est denie surP( et a valeurs positives.P( ) =nP i=1p i= 1 et clairementP(A[B) =P(A) +P(B) siA\B=;. Remarque 3.6Nous dirons que la donnee despicomme dans la proposition precedente deni une probabilite sur
;P( Denition 3.7Pest appeleeprobabilite uniformesur(
;P( ))si tous les evenements elementaires ont la m^eme probabilite. Proposition 3.8Soit(
;P( );P)un espace probabilise avecPla probabilite uniforme. Alors pour tout evenement A P(A) =card(A)card(
Preuve.Si card(
) =nalors pour tout!2 ,P(f!)g) =pavec 1 =P !2 p=np, d'ouP(f!)g) = 1=net P(A) =P
!2A1n =card(A)card( Exemple: Pour
=f1;:::;6g, l'applicationP1denie parP1(f1g) = 1 etP1(fig) = 0 pouri2 f2;:::;6gest une probabilite sur ( ;P( )). La probabilite uniformeP2est telle queP2(fig) = 1=6 pouri2 f1;:::;6g. Exercice: Pour
=f1;:::;6g, la probabilitePsur ( ;P( )) est telle que la probabilite des nombres pairs est le double de la probabilite des nombres impairs, trouverP. 4 Evenements independants et espace produit.
Denition 4.1Soit(
;P( );P)un espace probabilise, les evenements(Ai)1insont ditsindependants dans leur ensemblesi pour tout entierkcompris entre 2 etn P(Ai1\:::\Aik) =P(Ai1):::P(Aik)
avec1i1<< ikn. Remarque 4.2Des evenements incompatibles de probabilite non nulle ne sont jamais independants. L'independance dans leur ensemble deNevenements implique l'independance deux a deux de ces evenements mais
la reciproque est fausse. Un contre-exemple classique est : on lance deux pieces de monnaies discernables, equilibrees
et ce de facon independante, on considere les trois evenementsA=\on obtient pile sur la premiere piece",B=\on
obtient face sur la deuxieme piece" etC=\les deux pieces tombent du m^eme cote". AlorsA,BetCsont independants
deux a deux mais pas dans leur ensemble (cf.A\B\C=;). Proposition 4.3Etant donnesNespaces probabilises(
i;P( i);Pi)et 1 Nl'espace produit, il existe
une unique probabilitePsur( ;P( ))telle que pour toutAievenement de i {P( 1 i1Ai i+1 N) =Pi(Ai),
{ les evenements( 1 i1Ai i+1 N)1iNsoient independants dans leur ensemble.
Elle est denie parP(A1 AN) =P1(A1) PN(AN).
Denition 4.4La probabilitePdenie dans la proposition precedente est appelleeprobabilite produit. Preuve.L'expression deP(A1AN) resulte du fait que (A1AN) =T 1iN 1 i1Ai i+1 N et de l'hypothese d'independance. D'ou l'unicite en cas d'existence. Reciproquement l'applicationPdenie ci-dessus est positive etP !2 P(f!g) =Q
1iNP i2 iPi(f!ig) = 1, elle denit donc une unique probabilite sur et un m^eme type de calcul nous donneP(A1AN) =P1(A1)PN(AN). Elle verie alors clairement les deux assertions de la proposition. 3 Remarque 4.5Si pour touti,Piest la probablite uniforme sur ialors la probabilite produit est la probabilite uniforme sur 1 N. Exemple.Nlances successifs et independants d'une piece de monnaie equilibree sera modelise par =fP;FgNet la probabilite d'un evenement elementaire est12 N. 5 Des exemples classiques.
1. Probabilite d'obtenir une certaine main dans un jeu de cartes, les exemples precedents avec les des (la probabilite
d'obtenir une certaine somme en lancant deux des nous donne un exemple de probablite non uniforme), etc ...
2. Les anniversaires.
Dans un classe deNeleves qu'elle est la probabilite que deux eleves, au moins, f^etent leur anniversaire le m^eme
jour (ils sont nes la m^eme annee et ce n'est pas une annee bissextile). Sans plus de renseignement pour modeliser nous allons aussi faire l'hypothese que les naissances se repartissent
de facon uniforme sur une annee. L'univers sera alors =f1;:::;365gNet la probabilitePla probabilite uniforme. Nous allons calculer la probabilite de l'evenement contraireA N, P(A N) =card(A
N)card(
=365364 (365N+ 1)365 N: On obtient par exempleP(A22)'0:48,P(A23)'0:51 etP(A30)'0:71. 3. Distance la plus probable.
On constitue une le d'attente en attribuant au hasard des numeros d'ordre anpersonnes. Pourrcompris entre
1 etn1, trouver la probabilite que deux amis soient distants derplaces (i.e. separes parr1 personnes).
On modelise en prenant pour univers
l'ensemble des les d'attente possibles, soit, l'ensemble desn-uplets sans repetition possibles, card( ) =n!. Les numeros d'ordre etant attribues au hasard, on prend a nouveau pourPla probabilite uniforme et en notantBrl'evenement \les amis sont distants derplaces nous obtenons
P(Br) = 2nrn!(n2)! =2(nr)n(n1):
On remarquera que contrairement a ce que l'on peut dire intuitivement, la distance la plus probable est la
distance 1 (les amis se suivent). 4. Les rencontres.
npersonnes deposent leur parapluie a l'entree d'un restaurant. En partant, chacune recupere un parapluie au
hasard, qu'elle est la probabilite qu'aucune d'entre elle ne reparte avec son parapluie? On modelise avec pour univers
l'ensembles des suites possibles de parapluies, soit, l'ensemble desn-uplets sans repetition possibles, card( ) =n!. Les parapluies sont pris au hasard,Pest la probabilite uniforme. On noteAi=\laiepersonne recupere son parapluie" etC=\aucune personne ne repart avec son parapluie", alors
P(C) = 1P(A1[:::[An)
= 1nX k=1(1)(k1)n k (nk)!n! nX k=0(1)k1k!: Ce resultat est obtenu a l'aide de la formule de Poincare simpliee puisque pour tout 1kn,P(Ai1\:::\ A ik) =(nk)!n!. 5. Probleme du chevalier de Mere. Est-il plus avantageux, lorsqu'on joue aux des, de parier sur l'apparition d'au
moins un 6 en lancant 4 fois un de ou bien sur l'apparition d'au moins un double 6 en lancant 24 fois deux des?
Tout d'abord pourquoi 24? Lorsque l'on lance un de on a 6 issues possibles et lorsque l'on lance deux des on
4 a 36=6x6 issues possibles, 24=6x4. On modelise ce probleme dans le premier cas en prenant pour univers 1=f1;2;3;4;5;6g4et la probabilite
uniforme sur 1. Ainsi la probabilite de ne pas avoir de 6 lors des 4 lancers est56
4et la probabilite d'avoir
au moins un 6 estp1= 156 4'0:5177.
Dans le second cas, on le modelise en prenant pour univers 2= (f1;2;3;4;5;6g2)24et la probabilite uniforme
sur 2. Ainsi la probabilite de ne pas avoir de double 6 lors des 24 lancers est3536
24et la probabilite d'avoir
au moins un double 6 estp2= 13536 24'0:4914. Le premier jeu est plus avantageux que le second et il n'y
a pas de principe \d'homotethie". 6 Commentaires.
{ Il ne semble pas indispensable de parler d'espace produit dans cette lecon, il est tout de m^eme bon d'avoir
compris que l'independance d'epreuves successives conduit a une modelisation avec la probabilite produit.
{ Une preuve de la formule de Poincare avec les esperances. Avec les notations de la proposition, pour tout
evenementBon introduit les variables aleatoires1Bvalant 1 si!appartient aBet 0 sinon (c'est la fonction
indicatrice de l'ensembleB). AlorsE(1B) =P(B) et1Ai1\:::\Aik=1Ai1 1Aik. Nous obtenons donc P(A1[:::[AN) = 1P(A
1\:::\A
N) = 1E(11A1):::(11AN) = 1E1 +NX k=1(1)kX 1i1<::: Ai1:::1Aik
NX k=1(1)(k1)X 1i1<::: 7 Quelques references.
Ouvrard J-Y.,Probabilites 1 - Capes Agregation, Cassini. Isaac R.,Une initiation aux probabilites, Vuibert. www.bibmath.net/dico/ 5quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
1i Preuve.Nous avons montre cette assertion pourN= 2 dans la proposition precedente, on la montre pour tout
entierN2 par recurrence surN(pas de diculte particuliere mais un peu emb^etant a ecrire). On peut aussi
donner une demonstration faisant intervenir un calcul d'esperances de variables aleatoires, nous l'avons indique dans
les commentaires car il ne rentre pas dans le cadre de la lecon. Corrolaire 3.4Formule de Poincare simpliee.
Soient(
;P( );P)un espace probabilise etN2. Si pour toute suite nie(Ai)1iNd'elements deP( )on a 8k2 f1;:::;Ng;81i1< i2<< ikN; P(Ai1\ \Aik) =pk
alors P N[ i=1A i! =NX k=1(1)k1N k p k: 3.2 Probabilite et denombrement.
Proposition 3.5Soient
=f!1;:::;!ngetnreels positifsp1,...,pntels quenP i=1p i= 1. Alors il existe une unique probabilitePsur( ;P( ))telle queP(f!ig) =pipour tout entiericompris entre 1 etn. 2 Preuve.SoitAun evenement alors necessairement (en appliquant l'axiome (ii) de la denition 3.1) nous avons
P(A) =P
i = !i2Ap i, d'ou l'unicite dePen cas d'exitence. Il reste a verier que l'applicationPdenie ci-dessus est bien une probabilite sur ( ;P( )). Elle est denie surP( et a valeurs positives.P( ) =nP i=1p i= 1 et clairementP(A[B) =P(A) +P(B) siA\B=;. Remarque 3.6Nous dirons que la donnee despicomme dans la proposition precedente deni une probabilite sur
;P( Denition 3.7Pest appeleeprobabilite uniformesur(
;P( ))si tous les evenements elementaires ont la m^eme probabilite. Proposition 3.8Soit(
;P( );P)un espace probabilise avecPla probabilite uniforme. Alors pour tout evenement A P(A) =card(A)card(
Preuve.Si card(
) =nalors pour tout!2 ,P(f!)g) =pavec 1 =P !2 p=np, d'ouP(f!)g) = 1=net P(A) =P
!2A1n =card(A)card( Exemple: Pour
=f1;:::;6g, l'applicationP1denie parP1(f1g) = 1 etP1(fig) = 0 pouri2 f2;:::;6gest une probabilite sur ( ;P( )). La probabilite uniformeP2est telle queP2(fig) = 1=6 pouri2 f1;:::;6g. Exercice: Pour
=f1;:::;6g, la probabilitePsur ( ;P( )) est telle que la probabilite des nombres pairs est le double de la probabilite des nombres impairs, trouverP. 4 Evenements independants et espace produit.
Denition 4.1Soit(
;P( );P)un espace probabilise, les evenements(Ai)1insont ditsindependants dans leur ensemblesi pour tout entierkcompris entre 2 etn P(Ai1\:::\Aik) =P(Ai1):::P(Aik)
avec1i1<< ikn. Remarque 4.2Des evenements incompatibles de probabilite non nulle ne sont jamais independants. L'independance dans leur ensemble deNevenements implique l'independance deux a deux de ces evenements mais
la reciproque est fausse. Un contre-exemple classique est : on lance deux pieces de monnaies discernables, equilibrees
et ce de facon independante, on considere les trois evenementsA=\on obtient pile sur la premiere piece",B=\on
obtient face sur la deuxieme piece" etC=\les deux pieces tombent du m^eme cote". AlorsA,BetCsont independants
deux a deux mais pas dans leur ensemble (cf.A\B\C=;). Proposition 4.3Etant donnesNespaces probabilises(
i;P( i);Pi)et 1 Nl'espace produit, il existe
une unique probabilitePsur( ;P( ))telle que pour toutAievenement de i {P( 1 i1Ai i+1 N) =Pi(Ai),
{ les evenements( 1 i1Ai i+1 N)1iNsoient independants dans leur ensemble.
Elle est denie parP(A1 AN) =P1(A1) PN(AN).
Denition 4.4La probabilitePdenie dans la proposition precedente est appelleeprobabilite produit. Preuve.L'expression deP(A1AN) resulte du fait que (A1AN) =T 1iN 1 i1Ai i+1 N et de l'hypothese d'independance. D'ou l'unicite en cas d'existence. Reciproquement l'applicationPdenie ci-dessus est positive etP !2 P(f!g) =Q
1iNP i2 iPi(f!ig) = 1, elle denit donc une unique probabilite sur et un m^eme type de calcul nous donneP(A1AN) =P1(A1)PN(AN). Elle verie alors clairement les deux assertions de la proposition. 3 Remarque 4.5Si pour touti,Piest la probablite uniforme sur ialors la probabilite produit est la probabilite uniforme sur 1 N. Exemple.Nlances successifs et independants d'une piece de monnaie equilibree sera modelise par =fP;FgNet la probabilite d'un evenement elementaire est12 N. 5 Des exemples classiques.
1. Probabilite d'obtenir une certaine main dans un jeu de cartes, les exemples precedents avec les des (la probabilite
d'obtenir une certaine somme en lancant deux des nous donne un exemple de probablite non uniforme), etc ...
2. Les anniversaires.
Dans un classe deNeleves qu'elle est la probabilite que deux eleves, au moins, f^etent leur anniversaire le m^eme
jour (ils sont nes la m^eme annee et ce n'est pas une annee bissextile). Sans plus de renseignement pour modeliser nous allons aussi faire l'hypothese que les naissances se repartissent
de facon uniforme sur une annee. L'univers sera alors =f1;:::;365gNet la probabilitePla probabilite uniforme. Nous allons calculer la probabilite de l'evenement contraireA N, P(A N) =card(A
N)card(
=365364 (365N+ 1)365 N: On obtient par exempleP(A22)'0:48,P(A23)'0:51 etP(A30)'0:71. 3. Distance la plus probable.
On constitue une le d'attente en attribuant au hasard des numeros d'ordre anpersonnes. Pourrcompris entre
1 etn1, trouver la probabilite que deux amis soient distants derplaces (i.e. separes parr1 personnes).
On modelise en prenant pour univers
l'ensemble des les d'attente possibles, soit, l'ensemble desn-uplets sans repetition possibles, card( ) =n!. Les numeros d'ordre etant attribues au hasard, on prend a nouveau pourPla probabilite uniforme et en notantBrl'evenement \les amis sont distants derplaces nous obtenons
P(Br) = 2nrn!(n2)! =2(nr)n(n1):
On remarquera que contrairement a ce que l'on peut dire intuitivement, la distance la plus probable est la
distance 1 (les amis se suivent). 4. Les rencontres.
npersonnes deposent leur parapluie a l'entree d'un restaurant. En partant, chacune recupere un parapluie au
hasard, qu'elle est la probabilite qu'aucune d'entre elle ne reparte avec son parapluie? On modelise avec pour univers
l'ensembles des suites possibles de parapluies, soit, l'ensemble desn-uplets sans repetition possibles, card( ) =n!. Les parapluies sont pris au hasard,Pest la probabilite uniforme. On noteAi=\laiepersonne recupere son parapluie" etC=\aucune personne ne repart avec son parapluie", alors
P(C) = 1P(A1[:::[An)
= 1nX k=1(1)(k1)n k (nk)!n! nX k=0(1)k1k!: Ce resultat est obtenu a l'aide de la formule de Poincare simpliee puisque pour tout 1kn,P(Ai1\:::\ A ik) =(nk)!n!. 5. Probleme du chevalier de Mere. Est-il plus avantageux, lorsqu'on joue aux des, de parier sur l'apparition d'au
moins un 6 en lancant 4 fois un de ou bien sur l'apparition d'au moins un double 6 en lancant 24 fois deux des?
Tout d'abord pourquoi 24? Lorsque l'on lance un de on a 6 issues possibles et lorsque l'on lance deux des on
4 a 36=6x6 issues possibles, 24=6x4. On modelise ce probleme dans le premier cas en prenant pour univers 1=f1;2;3;4;5;6g4et la probabilite
uniforme sur 1. Ainsi la probabilite de ne pas avoir de 6 lors des 4 lancers est56
4et la probabilite d'avoir
au moins un 6 estp1= 156 4'0:5177.
Dans le second cas, on le modelise en prenant pour univers 2= (f1;2;3;4;5;6g2)24et la probabilite uniforme
sur 2. Ainsi la probabilite de ne pas avoir de double 6 lors des 24 lancers est3536
24et la probabilite d'avoir
au moins un double 6 estp2= 13536 24'0:4914. Le premier jeu est plus avantageux que le second et il n'y
a pas de principe \d'homotethie". 6 Commentaires.
{ Il ne semble pas indispensable de parler d'espace produit dans cette lecon, il est tout de m^eme bon d'avoir
compris que l'independance d'epreuves successives conduit a une modelisation avec la probabilite produit.
{ Une preuve de la formule de Poincare avec les esperances. Avec les notations de la proposition, pour tout
evenementBon introduit les variables aleatoires1Bvalant 1 si!appartient aBet 0 sinon (c'est la fonction
indicatrice de l'ensembleB). AlorsE(1B) =P(B) et1Ai1\:::\Aik=1Ai1 1Aik. Nous obtenons donc P(A1[:::[AN) = 1P(A
1\:::\A
N) = 1E(11A1):::(11AN) = 1E1 +NX k=1(1)kX 1i1<::: Ai1:::1Aik
NX k=1(1)(k1)X 1i1<::: 7 Quelques references.
Ouvrard J-Y.,Probabilites 1 - Capes Agregation, Cassini. Isaac R.,Une initiation aux probabilites, Vuibert. www.bibmath.net/dico/ 5quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
Preuve.Nous avons montre cette assertion pourN= 2 dans la proposition precedente, on la montre pour tout
entierN2 par recurrence surN(pas de diculte particuliere mais un peu emb^etant a ecrire). On peut aussi
donner une demonstration faisant intervenir un calcul d'esperances de variables aleatoires, nous l'avons indique dans
les commentaires car il ne rentre pas dans le cadre de la lecon.Corrolaire 3.4Formule de Poincare simpliee.
Soient(
;P( );P)un espace probabilise etN2. Si pour toute suite nie(Ai)1iNd'elements deP( )on a8k2 f1;:::;Ng;81i1< i2<< ikN; P(Ai1\ \Aik) =pk
alors P N[ i=1A i! =NX k=1(1)k1N k p k:3.2 Probabilite et denombrement.
Proposition 3.5Soient
=f!1;:::;!ngetnreels positifsp1,...,pntels quenP i=1p i= 1. Alors il existe une unique probabilitePsur( ;P( ))telle queP(f!ig) =pipour tout entiericompris entre 1 etn. 2Preuve.SoitAun evenement alors necessairement (en appliquant l'axiome (ii) de la denition 3.1) nous avons
P(A) =P
i = !i2Ap i, d'ou l'unicite dePen cas d'exitence. Il reste a verier que l'applicationPdenie ci-dessus est bien une probabilite sur ( ;P( )). Elle est denie surP( et a valeurs positives.P( ) =nP i=1p i= 1 et clairementP(A[B) =P(A) +P(B) siA\B=;.Remarque 3.6Nous dirons que la donnee despicomme dans la proposition precedente deni une probabilite sur
;P(Denition 3.7Pest appeleeprobabilite uniformesur(
;P( ))si tous les evenements elementaires ont la m^eme probabilite.Proposition 3.8Soit(
;P( );P)un espace probabilise avecPla probabilite uniforme. Alors pour tout evenement AP(A) =card(A)card(
Preuve.Si card(
) =nalors pour tout!2 ,P(f!)g) =pavec 1 =P !2 p=np, d'ouP(f!)g) = 1=netP(A) =P
!2A1n =card(A)card(Exemple: Pour
=f1;:::;6g, l'applicationP1denie parP1(f1g) = 1 etP1(fig) = 0 pouri2 f2;:::;6gest une probabilite sur ( ;P( )). La probabilite uniformeP2est telle queP2(fig) = 1=6 pouri2 f1;:::;6g.Exercice: Pour
=f1;:::;6g, la probabilitePsur ( ;P( )) est telle que la probabilite des nombres pairs est le double de la probabilite des nombres impairs, trouverP.4 Evenements independants et espace produit.
Denition 4.1Soit(
;P( );P)un espace probabilise, les evenements(Ai)1insont ditsindependants dans leur ensemblesi pour tout entierkcompris entre 2 etnP(Ai1\:::\Aik) =P(Ai1):::P(Aik)
avec1i1<< ikn. Remarque 4.2Des evenements incompatibles de probabilite non nulle ne sont jamais independants.L'independance dans leur ensemble deNevenements implique l'independance deux a deux de ces evenements mais
la reciproque est fausse. Un contre-exemple classique est : on lance deux pieces de monnaies discernables, equilibrees
et ce de facon independante, on considere les trois evenementsA=\on obtient pile sur la premiere piece",B=\on
obtient face sur la deuxieme piece" etC=\les deux pieces tombent du m^eme cote". AlorsA,BetCsont independants
deux a deux mais pas dans leur ensemble (cf.A\B\C=;).Proposition 4.3Etant donnesNespaces probabilises(
i;P( i);Pi)et 1Nl'espace produit, il existe
une unique probabilitePsur( ;P( ))telle que pour toutAievenement de i {P( 1 i1Ai i+1N) =Pi(Ai),
{ les evenements( 1 i1Ai i+1N)1iNsoient independants dans leur ensemble.
Elle est denie parP(A1 AN) =P1(A1) PN(AN).
Denition 4.4La probabilitePdenie dans la proposition precedente est appelleeprobabilite produit. Preuve.L'expression deP(A1AN) resulte du fait que (A1AN) =T 1iN 1 i1Ai i+1 N et de l'hypothese d'independance. D'ou l'unicite en cas d'existence. Reciproquement l'applicationPdenie ci-dessus est positive etP !2P(f!g) =Q
1iNP i2 iPi(f!ig) = 1, elle denit donc une unique probabilite sur et un m^eme type de calcul nous donneP(A1AN) =P1(A1)PN(AN). Elle verie alors clairement les deux assertions de la proposition. 3 Remarque 4.5Si pour touti,Piest la probablite uniforme sur ialors la probabilite produit est la probabilite uniforme sur 1 N. Exemple.Nlances successifs et independants d'une piece de monnaie equilibree sera modelise par =fP;FgNet la probabilite d'un evenement elementaire est12 N.5 Des exemples classiques.
1. Probabilite d'obtenir une certaine main dans un jeu de cartes, les exemples precedents avec les des (la probabilite
d'obtenir une certaine somme en lancant deux des nous donne un exemple de probablite non uniforme), etc ...
2. Les anniversaires.
Dans un classe deNeleves qu'elle est la probabilite que deux eleves, au moins, f^etent leur anniversaire le m^eme
jour (ils sont nes la m^eme annee et ce n'est pas une annee bissextile).Sans plus de renseignement pour modeliser nous allons aussi faire l'hypothese que les naissances se repartissent
de facon uniforme sur une annee. L'univers sera alors =f1;:::;365gNet la probabilitePla probabilite uniforme. Nous allons calculer la probabilite de l'evenement contraireA N, P(AN) =card(A
N)card(
=365364 (365N+ 1)365 N: On obtient par exempleP(A22)'0:48,P(A23)'0:51 etP(A30)'0:71.3. Distance la plus probable.
On constitue une le d'attente en attribuant au hasard des numeros d'ordre anpersonnes. Pourrcompris entre
1 etn1, trouver la probabilite que deux amis soient distants derplaces (i.e. separes parr1 personnes).
On modelise en prenant pour univers
l'ensemble des les d'attente possibles, soit, l'ensemble desn-uplets sans repetition possibles, card( ) =n!. Les numeros d'ordre etant attribues au hasard, on prend a nouveaupourPla probabilite uniforme et en notantBrl'evenement \les amis sont distants derplaces nous obtenons
P(Br) = 2nrn!(n2)! =2(nr)n(n1):
On remarquera que contrairement a ce que l'on peut dire intuitivement, la distance la plus probable est la
distance 1 (les amis se suivent).4. Les rencontres.
npersonnes deposent leur parapluie a l'entree d'un restaurant. En partant, chacune recupere un parapluie au
hasard, qu'elle est la probabilite qu'aucune d'entre elle ne reparte avec son parapluie?On modelise avec pour univers
l'ensembles des suites possibles de parapluies, soit, l'ensemble desn-uplets sans repetition possibles, card( ) =n!. Les parapluies sont pris au hasard,Pest la probabilite uniforme. OnnoteAi=\laiepersonne recupere son parapluie" etC=\aucune personne ne repart avec son parapluie", alors
P(C) = 1P(A1[:::[An)
= 1nX k=1(1)(k1)n k (nk)!n! nX k=0(1)k1k!: Ce resultat est obtenu a l'aide de la formule de Poincare simpliee puisque pour tout 1kn,P(Ai1\:::\ A ik) =(nk)!n!.5. Probleme du chevalier de Mere. Est-il plus avantageux, lorsqu'on joue aux des, de parier sur l'apparition d'au
moins un 6 en lancant 4 fois un de ou bien sur l'apparition d'au moins un double 6 en lancant 24 fois deux des?
Tout d'abord pourquoi 24? Lorsque l'on lance un de on a 6 issues possibles et lorsque l'on lance deux des on
4 a 36=6x6 issues possibles, 24=6x4. On modelise ce probleme dans le premier cas en prenant pour univers1=f1;2;3;4;5;6g4et la probabilite
uniforme sur1. Ainsi la probabilite de ne pas avoir de 6 lors des 4 lancers est56
4et la probabilite d'avoir
au moins un 6 estp1= 1564'0:5177.
Dans le second cas, on le modelise en prenant pour univers2= (f1;2;3;4;5;6g2)24et la probabilite uniforme
sur2. Ainsi la probabilite de ne pas avoir de double 6 lors des 24 lancers est3536
24et la probabilite d'avoir
au moins un double 6 estp2= 1353624'0:4914. Le premier jeu est plus avantageux que le second et il n'y
a pas de principe \d'homotethie".6 Commentaires.
{ Il ne semble pas indispensable de parler d'espace produit dans cette lecon, il est tout de m^eme bon d'avoir
compris que l'independance d'epreuves successives conduit a une modelisation avec la probabilite produit.
{ Une preuve de la formule de Poincare avec les esperances. Avec les notations de la proposition, pour tout
evenementBon introduit les variables aleatoires1Bvalant 1 si!appartient aBet 0 sinon (c'est la fonction
indicatrice de l'ensembleB). AlorsE(1B) =P(B) et1Ai1\:::\Aik=1Ai1 1Aik. Nous obtenons donc