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Une expérience aléatoire est une expérience liée au hasard Les mathématiques interviennent pour apporter un modèle qui comporte un univers et une loi de

C'est donc une expérience aléatoire à deux issues ➢ Exemple 2: On lance un dé cubique non truqué à 6 faces numérotés de 1 à 6 et on note le résultat

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7 mai 2009 · Définition 2 1 Lors d'une expérience aléatoire, on appelle univers l'ensemble des issus possibles de cette expérience On appelle événement

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20 sept 2012 · On appelle issue un résultat possible de l'expérience aléatoire L'ensemble de toutes les issues est l'univers On appelle événement élémentaire

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Une expérience aléatoire est une expérience liée au hasard Les mathématiques interviennent pour apporter un modèle qui comporte un univers et une loi de

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Un événement est un ensemble d'issues Si le résultat de l'expérience aléatoire est une des issues de l'événement, on dit que l'événement est réalisé Exemple

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L'ensemble des issues d'une expérience s'appelle l'univers (1, 2, 3, 4, 5 ou 6) 2) Réalisons une expérience aléatoire : Chaque élève lance 100 fois un dé à six

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Définition : Expérience aléatoire Une expérience est dite aléatoire si elle a plusieurs issues (ou résultats) possibles que l'on peut ni prévoir, ni calculer

[PDF] ▫ V Expérience à 2 épreuves ( lire cette fois la page 177 du cours

Exercice à effectuer avant le prochain cours de maths ( le corrigé se trouve sur les Chaque résultat possible d'une expérience aléatoire est appelé une issue

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TSChapitre 8 : Probabilités conditionnelles2011-2012 I Expérience aléatoire - modélisation - langage des probabilités

Une expérience aléatoire est une expérience liée au hasard.Les mathématiques interviennent pour apporter un

modèle qui comporte ununiverset uneloi de probabilité. Le choix de ces deux éléments n"est pas unique mais il

est généralement induit par une approche fréquentiste et une idée que l"on se fait à priori de l"expérience.

Exemple 1:

L"expérience consiste à lancer une pièce de monnaie (pile ou face) •Quelles sont les issues possibles? •Quelle probabilité attibue-t-on à chaque issue? I.1 Modélisation d"une expérience aléatoire

1. Univers

Définition 1Lorsqu"une expérience comporte un nombre fini d"issues, on définit l"ensembleΩ =

{x1,x2,...,xn}qui représente l"ensemble de toutes les issues envisagées de l"expérience.

Ωs"appelle l"univers

Exemple 2:

•On lance un dé et on regarde le numéro de la face obtenue :

Ω ={1,2,3,4,5,6}

•On lance un dé et on regarde si le numéro de la face obtenue est pair ou impair :Ω ={P,I}

•On lance une pièce de monnaie :Ω ={P,F} •On lance deux pièces de monnaie :Ω ={ } •On lance deux dés :Ω ={(i,j),1?i,j?6}

Remarque 1:

Évidemment l"univers dépend de l"observation qui est faite. Si on lance deux dés :

On s"intéresse au produit des faces : Ω =

On s"intéresse à la somme des faces : Ω =

Pour terminer, il existe des expériences comportant une infinité d"issues. Par exemple, l"expérience peut consister

à choisir un nombre réel dans l"intervalle [0,1], on note alors Ω = [0,1].

2. Loi de probabilité

Soit Ω ={x1,x2,...,xn}l"univers d"une expérience aléatoire.

On définit une loi de probabilité sur Ω en associant à chaque issuexi, un nombre réelp(xi) vérifiant :

0?p(xi)?1

n?

i=1p(xi) = 1

Déterminer la loi de probabilité associée à une expérience consiste à associer à chaque issue de

l"univers sa probabilité.

Exemple 3: Une urne comporte six boules : 3 rouges, 2 jaunes et 1 bleue. Onprélève une boule. Quelle loi de probabilité

associe-t-on à cette expérience?

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TSChapitre 8 : Probabilités conditionnelles2011-2012

I.2 Probabilité d"un événement

Définition 2Ω ={x1,x2,...,xn}est l"ensemble des issues d"une expérience aléatoire. On appelle événement toute

partieAdeΩ.

Exemple 4On lance un dé équilibré.

A={2,4,6}est l"événement : "La face obtenue est un chiffre pair".

Événements particuliers :

Un événementxiréduit à une seule issue est unévénement élémentaire. Ω est l"événement certainet?est l"événement impossible.

Théorème 1La probabilité d"un événementAest la somme de toutes les probabilités des issues appartenant à

A. en d"autres termes, si A={xk,xr,xs}aveck,r,sentiers naturels entre 1 etnalorsp(A) =p(xk) +p(xr) +p(xs)

I.3 Équiprobabilité

Lorsque Ω est de cardinal fini (nombre d"éléments de Ω fini) et que l"on attribue la même probabilité à chaque

issue, on dit que l"on choisit une probabilité péquirépartie, on a alors :

pour toute issuexide Ω :

p(xi) =1card(Ω)

pour tout événementA:

p(A) =card(A)card(Ω)=nombred?´el´ementsdeAnombred?´el´ementsdeΩ On dit aussi, dans une telle situation qu"il y aéquiprobabilité.

I.4 Propriété des probabilités

SiAetBsont deux événements :

A∩Best l"événement constitué des issues communes deAet deB. A?Best l"événement constitué des issues contenues dansAou dansB. parties deΩvocabulaire des événements propriété

A Aquelconque 0?p(A)?1

?,Ω événement impossible, certainp(?) = 0 etp(Ω) = 1

A∩B=?AetBincompatiblesp(A?B) =p(A) +p(B)

AAest l"événement contraire de Ap(A) = 1-p(A)

A,B AetBquelconquesp(A?B) =p(A) +p(B)-p(A∩B)

Exemple 5: On extrait une carte au hasard d"un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité de l"événement C :"la carte n"est ni un

roi ni un coeur"?

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TSChapitre 8 : Probabilités conditionnelles2011-2012

I.5 Variable aléatoire

Dans ce paragraphe, Ω est un univers fini.

1. Variable aléatoire

Définition 3Lorsqu"à chaque événement élémentaire (issue) d"un universΩon associe un nombre réel, on dit

que l"on définit une variable aléatoire. Une variable aléatoire est donc une applicationX: Ω?-→R.

Exemple 6On lance une pièce de monnaie trois fois de suite. L"universΩassocié à cette expérience aléatoire est constitué

de 8 issues :

Si l"on suppose la pièce bien équilibrée, on peut considérerque ces huit issues sont équiprobables.

On désigne parXle nombre de "face" obtenus. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoireX?

Notation : (X=k) ={xi?Ωtels que X(xi) =k}=X-1(k) De retour sur l"exemple précédent, expliciter les événements (X=k) pourk? {0;1;2;3}

2. loi de probabilité associée à une variable aléatoire

Définition 4Soitpune loi de probabilité sur un universΩ. SoitXune variable aléatoire définie surΩ

prenant un nombre fini de valeurs. Lorsqu"à chaque valeursi(1?i?n)deXon associe les probabilitéspide

l"événement"X=si", on dit que l"on définit la loi de probabilitépXde la variable aléatoireX.

Habitude :

Lorsque l"énoncé stipule de déterminer la loi de probabilité suivie par une variable aléatoire, il est

courant de rassembler les résultats dans un tableau :

Valeurs deX s1s2...sn

Probabilitépi=p(X=si) =pX(si)p1p2...pn

Exemple 7Retour sur l"exemple du lancer de pièce : déterminer la loi de probabilité de la variableXcomptant le nombre de

"face".

3. Espérance, variance, écart-type

Définition 5SoitXune variable aléatoire prenant les valeurss1,s2,...,snavec les probabilitésp1,p2,...,pn.

On appelle respectivementespérance mathématiquedeX,variancedeXetécart-typedeXles para- mètres notés respectivementE(X),V ar(X)etσ(X)et se calculant de la manière suivante :

E(X) =n?

i=0s ipi=s1p1+s2p2+...+snpn l"espérance est la moyenne des valeurssipondérées par les probabilitéspi. •V ar(X) =n? i=0(si-E(X))2pi= (s1-E(X))2p1+ (s2-E(X))2p2+...+ (sn-E(X))2pn •σ(X) =?

V ar(X)

EXERCICE 1Calculer les 3 paramètres précédents avec l"exemple de trois lancers successifs d"une pièce de

monnaie.

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Linéarité de l"espérance :SoitXetYdeux variables aléatoires définies sur le même univers Ω, etaun réel.

E(X+Y) =E(X) +E(Y) etE(aX) =aE(X)

Exemple 8On lance trois dés. Quelle est, en moyenne, la somme des points obtenus? D"autres formules sur espérance, variance et écart-type :

E(X+b) =E(X) +b

V ar(X) =E(X-E(X))2=E(X2)-[E(X)]2

V ar(aX) =a2V ar(X) etσ(aX) =|a|σ(X)

V ar(X+b) =V ar(X) etσ(X+b) =σ(X)

II Probabilités conditionnelles

II.1 Exemple introductif

Un joueur tire au hasard une carte d"un jeu de 32 cartes. On considère les événements suivants :

F="la carte tirée est une figure"

R="la carte tirée est un roi"

?Calculerp(F),p(R)etp(R∩F)

?Le joueur affirme : "la carte tirée est une figure". Quelle est alors la probabilité que ce soit un roi?

On sait que la carte tirée est un roi. Les calculs de probabilités s"en trouvent modifiés. On définit donc une

nouvelle probabilitépFqui sera nulle sur les issues ne correspondant pas à une figure. Pour déterminer la proba-

bilité que la carte soit un roi, nous devons seulement considérer les rois parmi les figures par rapport au nombre

total de figures :

On a donc :

pF(R) =Card(R∩F)Card(F)=...

La probabilitépF(R)s"appelle la probabilité conditionnelle deRsachantF(sous-entendu sachant queFest

réalisé : c"est une certitude!!!)

II.2 Probabilité conditionnelle

Définition 6Soit une expérience aléatoire d"universΩ,pune probabilité surΩetBun événement tel quep(B)?= 0.

On définit une nouvelle probabilité surΩ, notéepB, en posant pour tout événementA: pB(A) =p(B∩A)p(B) p

B(A)est parfois notéep(A/B).

Remarque 2:

La relation ci-dessus est également uitlisée dans l"autre sens :p(B∩A) =pB(A)p(B) =pA(B)p(A)

L"événement contraire deA/Best

A/B(le contraire deAsachantBestAsachantB)

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TSChapitre 8 : Probabilités conditionnelles2011-2012

EXERCICE 2Une urne comporte 8 boules : 5 rouges et 3 jaunes. On tire au hasard, successivement et sans remise,

deux boules de l"urne. Quelle est la probabilité de tirer deux rouges?

II.3 Formules des probabilités totales

Théorème 2SoitΩun univers muni d"une probabilitép.

Si des partiesB1,B2,...,Bnde probabilités non nulles, constituent une partition deΩ, alors pour tout événement

A, on a :

p(A) =n?k=0p(Bk∩A) =n?k=0p

Bk(A)p(Bk) =pB1(A)p(B1) +...+pBn(A)p(Bn)

II.4 Exemple

On considère trois urnesU1,U2etU3contenant des boules rouges ou jaunes. U1: 1 rouge et 5 jaunes;U2: 3 rouges et 1 jaune;U3: 1 rouge et 2 jaunes.

On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit

rouge?

1. Arbre de probabilités

Règles de calcul dans un arbre :

?La probabilité d"un chemin est le produit des probabilités marquées sur ses branches.

?La probabilité d"un événement est la somme des probabilitésdes chemins qui conduisent à

cet événement.

2. Résolution

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II.5 Indépendance

1. Événements indépendants

Définition 7On dit que deux événements sont indépendants lorsque : pA(B) =p(B)ou encorepB(A) =p(A)ou encore quep(A∩B) =p(A)p(B)

Remarque 3:

La troisième caractérisation de l"indépendance est une conséquence des deux autres.

Deux événementsAetBsont indépendants lorsque la réalisation (ou non) de l"un n"a pas d"influence sur la

probabilité de réalisation de l"autre. EXERCICE 3On lance une pièce deux fois de suite et on considère les événements

A1:"FACE au premier lancer"

et A2:"FACE au second lancer" . Les événementsA1etA2sont-ils indépendants?

2. Variables aléatoires indépendantes

Définition 8:

SoitRetSdeux variables aléatoires définies sur un universΩ. Rprend les valeursr1,r2,...,rnetSprend les valeurss1,s2,...,sm.

On dit queSetRsontindépendanteslorsque :

pour toutietj(1?i?n et1?j?m), les événements (R=ri) et (S=sj) sontindépendants

Exemple 9On lance deux dés bien équilibrés. On noteSla somme des résultats obtenus etPle produit. Les variables

aléatoiresSetPsont-elles indépendantes?

3. Expériences aléatoires indépendantes→principe multipicatif

D"après "Terracher TS" : "Il n"est pas rare que des expériences aléatoires répétées (identiques ou non) soient

indépendantes, au sens intuitif du terme. Dans ce cas, nous admettrons que,conformément à l"intuition :

La probabilité de la liste des résultats est le produit des probabilités de chaque résultat;

Deux variables aléatoires attachées à deux expériences différentes sont indépendantes;

EXERCICE 4:

On lancenfois un dé. on noteA:"on obtient au moins un 6 au cours desnlancers". (a) Calculerp(A). (b) Comment choisirnpour que la probabilité deAsoit supérieure ou égale à 0.95?

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Exemple 1:

1. Univers

Ωs"appelle l"univers

Exemple 2:

Ω ={1,2,3,4,5,6}

Remarque 1:

On s"intéresse au produit des faces : Ω =

2. Loi de probabilité

0?p(xi)?1

n?

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I.2 Probabilité d"un événement

Exemple 4On lance un dé équilibré.

Événements particuliers :

I.3 Équiprobabilité

pour toute issuexide Ω :

pour tout événementA:

I.4 Propriété des probabilités

SiAetBsont deux événements :

A Aquelconque 0?p(A)?1

A∩B=?AetBincompatiblesp(A?B) =p(A) +p(B)

A,B AetBquelconquesp(A?B) =p(A) +p(B)-p(A∩B)

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I.5 Variable aléatoire

Dans ce paragraphe, Ω est un univers fini.

1. Variable aléatoire

2. loi de probabilité associée à une variable aléatoire

Habitude :

Valeurs deX s1s2...sn

Probabilitépi=p(X=si) =pX(si)p1p2...pn

3. Espérance, variance, écart-type

E(X) =n?

V ar(X)

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E(X+Y) =E(X) +E(Y) etE(aX) =aE(X)

E(X+b) =E(X) +b

V ar(X) =E(X-E(X))2=E(X2)-[E(X)]2

V ar(aX) =a2V ar(X) etσ(aX) =|a|σ(X)

V ar(X+b) =V ar(X) etσ(X+b) =σ(X)

II Probabilités conditionnelles

II.1 Exemple introductif

F="la carte tirée est une figure"

R="la carte tirée est un roi"

On a donc :

II.2 Probabilité conditionnelle

B(A)est parfois notéep(A/B).

Remarque 2:

L"événement contraire deA/Best

A/B(le contraire deAsachantBestAsachantB)

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II.3 Formules des probabilités totales

A, on a :

Bk(A)p(Bk) =pB1(A)p(B1) +...+pBn(A)p(Bn)

II.4 Exemple

1. Arbre de probabilités

Règles de calcul dans un arbre :

2. Résolution

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II.5 Indépendance

1. Événements indépendants

Remarque 3:

A1:"FACE au premier lancer"

2. Variables aléatoires indépendantes

Définition 8:

On dit queSetRsontindépendanteslorsque :

3. Expériences aléatoires indépendantes→principe multipicatif

EXERCICE 4:

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0?p(xi)?1

n?

pour toute issuexide Ω :

pour tout événementA:

E(X) =n?

E(X+b) =E(X) +b

V ar(X) =E(X-E(X))2=E(X2)-[E(X)]2

V ar(aX) =a2V ar(X) etσ(aX) =|a|σ(X)

V ar(X+b) =V ar(X) etσ(X+b) =σ(X)

F="la carte tirée est une figure"

R="la carte tirée est un roi"

L"événement contraire deA/Best