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Chapitre7

Espacesvectorielsnorm´es;espaces

deBanach RouC.

7.1Exemplesd"espacesvectorielsnorm´es

7.1.1NormessurK

n SurK ||x|| n? i=1|xi|,||x||2=? n? i=1|xi|2 ?12

Pourp>1onpose:

||x|| p=? n? i=1|xi|p ?1p

Proposition7.1.2.|| ||

pd´efinitunenormesurKn. suivent.TouteslesnormessurK unespacedeBanach.

7.1.2In´egalit´esdeconvexit´e

αa+βb≥a

αbβ.

26

αbβ).

p+1 q=1,ona: px p+1qx q. lemmepr´ec´edent`a: a=x p,b=xq,α=1p,β=1q p+1 q=1.Pour a n? n? i=1ap i ?1p?n? i=1bq i ?1q.

D´emonstration.Onpose:

A=? n? i=1ap i ?1p,B=?n? i=1bq i ?1q. aiA,y=biB,puisonadditionne: n? i=1 ai Ab i n? i=1 ap i Ap+1q n? i=1 bq i Bq=1; donc: n? n? i=1ap i ?1p?n? i=1bq i ?1q. n,ona:? n? i=1(ai+bi)p i=1ap i ?1p+?n? i=1bp i ?1p. 27

1.Pourp>1,onpose:q=p

p-1,defa¸con`a avoir:1 p+1 q=1.Onappliquealors puisonadditionne. n? n? i=1ap i ?1p×?n? i=1(ai+bi)(p-1)q ?1q+?n? i=1bp i ?1p×?n? i=1(ai+bi)(p-1)q ?1q n? i=1ap i ?1p+?n? i=1bp i ?1p? n? i=1(ai+bi)p ?1-1 p.

D"o`ulaconclusion:

n? i=1(ai+bi)p ?1-(1-1 p) n? i=1(ai+bi)p i=1ap i ?1p+?n? i=1bp i ?1p. a:? n? i=1|xi+yi|p i=1|xi|p ?1p+?n? i=1|yi|p ?1p.

D´emonstration.Celar´esultede:|x

Minkowsky.

7.1.3Normessurlesespacesdesuites

L"espacel

||u|| ∞=sup n≥0|un|.

Onnotel

converge.

Proposition7.1.8.L"espacel

||u|| 1=? n≥0|un|.

D´emonstration.Soit(X

unesuitedontletermed"indicenestnot´eX mn.

Toutesuiteudel

aussiunesuitedeCauchydansl

Ilreste`avoirque:

28
a)Lalimiteuestdansl1(K); b)lasuite(X m)m≥0convergeversudansl1(K).

Pour?>0,ilexisteM

?telque: ?m≥M ?,?m?≥M?,? n≥0|Xmn-Xm? 1=M. ?m≥M 1

PourNfix´e:

?m≥M N? N? donc: N? N?

Cequiprouvelaconvergencedelas´erie:?

N n=0|un|,c"est`adirea). ?m≥M ?,?m?≥M?,? n≥0|Xmn-Xm?

PourNfix´e:

?m≥M ?,?m?≥M?, N? n=0|Xmn-Xm?

Onpasse`alalimitequandm

?tendversl"infini: ?m≥M ?N ?m≥M

Onaprouv´eb):

??>0,?M 29
s´erie? n≥0|un|pconverge.

Proposition7.1.9.L"espacel

||u|| p=(? n≥0|un|p)1p.

7.1.4Normessurlesespacesdefonctions

intervalle):(B(I,K),|| || ∞)estunespacedeBanach. dansK:(C([a,b],K),|| ||

B([a,b],K).

Pourp≥1,etf?C([a,b],K),onpose:

||f|| p=Ç b a|f(x)|pdxå 1 p.

Proposition7.1.11.(C([a,b],K),|| ||

p)estunespacevectorielnorm´e. p|l"estaussietdonc b a|f(x)|pdx=0?(?x?[a,b]f(x)=0).

Onabien:

||f|| p=0?(festnulle).

Pourλ?K,

||λf|| p=Ç b a|λf(x)|pdxå 1 p=Ç |λ|p?b a|f(x)|pdxå 1 p=|λ|×||f|| p. sommesdeRiemann: b ah(x)dx=limn→+∞ b-a n n? k=1 hÇ a+kb-anå 30
n? k=1 ?(f+g)(a+kb-an)? k=1 ?f(a+kb-an)? p?1p+?n? k=1 ?g(a+kb-an)? p?1p.

EnmultipliantparÄ

b-a n l"in´egalit´esouhait´ee: b a|(f+g)(x)|pdxå 1 ?b a|f(x)|pdxå 1 p+Ç ?b a|g(x)|pdxå 1 p. ?f(x)=-1six?[-1, -1 n] , f(x)=nxsix?[ -1 n,1 n] , f(x)=1six?[ 1 n,1]. estdeCauchymaisneconvergepasdans(C([a,b],K),|| || 1).

7.2Lin´earit´e etcontinuit´e

espacesvectorielsnorm´es(E,|| || E)et(F,|| ||F).Rappel:Uneapplicationlin´eaireest

N(f)=sup

||x||E=1||f(x)||F. b)Pourtoutx?E,ona:||f(x)||

D´emonstration.b)Pourx?=0

E,onposex0=1

N(f),d"o`u:

||f(x)||=||x|| f(0E,1),ona: ||(f+g)(x)|| 31
Donc:

N(f+g)=sup

c)Pourx?B f(0E,1),ona: ||g(f(x)|| espacedeBanach. topologiquedeKetsouventnot´eE produit:||(x,y)||=max(||x||

E,||y||F).Ilya ´equivalenceentre:

a)festcontinueen(0

E,0F).

b)festborn´eesurB f(0E,1)×Bf(0F,1). c)festuniform´ementcontinuesurB f(OE,R)×Bf(0F,R)pourtoutR>0. d)festcontinue.

D´emonstration.d)?a)!

a)?b).Lacontinuit´een(0

E,0F)assurel"existencedeα>0telque:

Enutilisantlalin´earit´e:

f(0E,1)×Bf(0F,1). b)?c).Supposonsque||f(x,y)||

Lemme7.2.5.

?x?E,y?F,||f(x,y)||

Pour(x,y)et(x

||f(x c)?d)Lacontinuit´esurB continuit´een(x,y). 32
Proposition7.2.6.Soit(E,|| ||E)unespacevectorielnorm´esurK. b)L"additionestuneapplicationlin´eaire continuedeE×EdansE. c)Lamultiplicationexterneestuneapplicationbilin´eaire continuedeK×EdansE. Th´eor`eme7.2.8.Le compl´et´ed"unespacevectorielnorm´eestunespacedeBanach. sous-espacedense.Onmontre: debouleferm´ees) delacontinuit´e) ceprolongement. Exemple7.2.9.Pourp≥1,lecompl´et´ede(C([a,b],K),,|| ||p)estunespacedeBanach not´eL p([a,b],K). p(R,K),encompl´etantl"espace (C norme|| || p.

7.3Notiond"alg`ebrenorm´ee

haut.

Elui-mˆemeestunespacedeBanach.

33
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