et d'autre part toute matrice A n'admet pas d'inverse Dans ce qui suit, nous définissons la notion de matrice inverse d'une matrice x1 + 2x2 + 3x3 = y2 x2
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et d'autre part toute matrice A n'admet pas d'inverse Dans ce qui suit, nous définissons la notion de matrice inverse d'une matrice x1 + 2x2 + 3x3 = y2 x2
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Introduction
Définition
Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesInverse d"une matrice carrée1ère année
E.N.S.T.B.B.
Bordeaux INP
Année Universitaire 2015-16
C. NazaretInverse
Introduction
Définition
Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesPlan
1Introduction
2Définition
3Méthode de calcul
4Propriétés et Autres méthodes
C. NazaretInverse
Introduction
Définition
Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesPlan
1Introduction
2Définition
3Méthode de calcul
4Propriétés et Autres méthodes
C. NazaretInverse
Introduction
Définition
Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).Lorsqu"on dispose d"une
équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En eff ettout réel admet un in verse,noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 Et le produit est comm utatif(2 3=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a1ax=a1b
d"où x=a1bC. NazaretInverseIntroduction
Définition
Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).Lorsqu"on dispose d"une équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En effet tout réel admet un inverse, noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 Et le produit est comm utatif(2 3=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a1ax=a1b
d"où x=a1bC. NazaretInverseIntroduction
Définition
Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).Lorsqu"on dispose d"une équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En effet tout réel admet un inverse, noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 .Et le produit est commutatif (23=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a1ax=a1b
d"où x=a1bC. NazaretInverseIntroduction
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Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesNous nous intéressons ici auxmatrices carrées(autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution deAx=b (autant d"équations que d"inconnues).Lorsqu"on dispose d"une équation scalaireax=b, pour déterminerx, il suffit de multiplier (à droite ou à gauche) l"équation par l"inverse deasi aest non nul.En effet tout réel admet un inverse, noté 1a ou encorea1, à l"exception de 0 vérifiant a 1a=1 .Et le produit est commutatif (23=32). En multipliant par l"inverse, on obtient a1ax=a1b
d"où x=a1bC. NazaretInverseIntroduction
Définition
Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesLa démarche pour le calcul matriciel peut être la même mais
d"une part le produit matriciel n"est pas commutatif (AB6=BA) et d"autre part toute matriceAn"admet pas d"inverse...Dans ce qui suit, nous définissons la notion de matrice inverse d"une matrice carrée et donnons une méthode pour la calculer (lorsqu"elle existe!).C. NazaretInverse
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Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesLa démarche pour le calcul matriciel peut être la même mais
d"une part le produit matriciel n"est pas commutatif (AB6=BA) et d"autre part toute matriceAn"admet pas d"inverse...Dans ce qui suit, nous définissons la notion de matrice inverse d"une matrice carrée et donnons une méthode pour la calculer (lorsqu"elle existe!).C. NazaretInverse
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Propriétés et Autres méthodesPlan
1Introduction
2Définition
3Méthode de calcul
4Propriétés et Autres méthodes
C. NazaretInverse
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Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle queAB=BA=I.
On appelle B matrice inverse de A et on la note
A1Remarque :
Ecrire
BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverseIntroduction
Définition
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Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle que AB=BA=I.On appelle B matrice inverse de A et on la note A1Remarque :
Ecrire
BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverseIntroduction
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Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle que AB=BA=I.On appelle B matrice inverse de A et on la note A1Remarque :
Ecrire
BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverseIntroduction
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Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren.Définition On dit que A est inversible s"il existe une matrice B telle que AB=BA=I.On appelle B matrice inverse de A et on la note A1Remarque :
Ecrire
BA n"a pas de sens a priori parce que toute matrice n"a pas d"inverse et qu"on ne sait pas s"il faut multiplierBpar l"inverse deAà gauche ou à droite.C. NazaretInverseIntroduction
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Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesProposition
Soient A et B deux matrices carrées d"ordre n, inversibles. (AB)1=B1A1( tA)1=t(A1)C. NazaretInverseIntroduction
Définition
Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesProposition
Soient A et B deux matrices carrées d"ordre n, inversibles. (AB)1=B1A1( tA)1=t(A1)C. NazaretInverseIntroduction
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Propriétés et Autres méthodesProposition
Soient A et B deux matrices carrées d"ordre n, inversibles. (AB)1=B1A1( tA)1=t(A1)C. NazaretInverseIntroduction
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Propriétés et Autres méthodesPlan
1Introduction
2Définition
3Méthode de calcul
4Propriétés et Autres méthodes
C. NazaretInverse
Introduction
Définition
Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul del"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0
B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-JordanC. NazaretInverse
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Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul del"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0
B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-JordanC. NazaretInverse
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Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul del"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0
B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-JordanC. NazaretInverse
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Propriétés et Autres méthodesSoitAune matrice carrée d"ordren, inversible. Calcul del"inverse deA: il existe plusieurs méthodes1par résolution du système linéaireAx=yoùx=0
B BB@x 1 x 2 x n1 C CCA ety=0 B BB@y 1 y 2 y n1 C CCA2par la méthode des cofacteurs (utilise la notion de déterminant d"une matrice)3par la méthode du pivot de Gauss-JordanC. NazaretInverse
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Méthode de calcul
Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 30 1 01
C A (E) :Ax=y,8 :x1+x2+x3=y1
x1+2x2+3x3=y2
x 2=y3 (E),8 :x1+x3=y1y3
x 2=y3 x1+3x3=y22y3
(E),8 :x1+x3=y1y3
x 2=y32x1=y22y33(y1y3)C. NazaretInverse
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Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 30 1 01
CA(E) :Ax=y,8
:x1+x2+x3=y1
x1+2x2+3x3=y2
x2=y3(E),8
:x1+x3=y1y3
x 2=y3 x1+3x3=y22y3
(E),8 :x1+x3=y1y3
x 2=y32x1=y22y33(y1y3)C. NazaretInverse
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Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 30 1 01
CA(E) :Ax=y,8
:x1+x2+x3=y1
x1+2x2+3x3=y2
x2=y3(E),8
:x1+x3=y1y3
x 2=y3 x1+3x3=y22y3(E),8
:x1+x3=y1y3
x 2=y32x1=y22y33(y1y3)C. NazaretInverse
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Propriétés et Autres méthodesRésolution du système linéaireAx=y: exemple avec A=0 B @1 1 1 1 2 30 1 01
CA(E) :Ax=y,8
:x1+x2+x3=y1
x1+2x2+3x3=y2
x2=y3(E),8
:x1+x3=y1y3
x 2=y3 x1+3x3=y22y3(E),8
:x1+x3=y1y3
x 2=y32x1=y22y33(y1y3)C. NazaretInverse
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Propriétés et Autres méthodes(E),8
:x1+x3=y1y3
x 2=y32x1=3y1+y2+y3
(E),8 >>:x 1=32 y112 y212 y3 x 2=y3 x 3=12 y1+12 y212 y3 (E),0 B @x 1 x 2 x 31C A=12 0 B @311 0 0 2 1 111 C A0 B @y 1quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26