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UniversiteReneDescartes
UFRdemathematiquesetinformatique
chapitre2MethodedeGauss-Jordan
Calculdel'inversed'unematrice
Methodesnumeriques2003/2004-D.Pastre
licencedemathematiquesetlicenceMASS 1MethodedeGauss-Jordan
VariantedelamethodedeGauss(gauss1):
alakemeetape,oncombinetoutesleslignes (sauflalignek)aveclalignek(aulieudene k) saufauniveaudupivota(k) kkExemple:
A=2 6 4214335
4523
7 5B=2 6 48
14 163
7 5 2
A(1)=2
6411=224
03=21 2 03603 7
5ligne1/2
ligne2-3ligne1 ligne3-4ligne1 ligne2/32A(2)=2
64107=310=3
012=3 4=3 004 437
5ligne1-12ligne2
ligne3-3ligne2 ligne3/4A(3)=2
6 41001010 2 001 13 7
5ligne1+73ligne3
ligne2-23ligne3Onadirectementlesracinesdansla4ecolonne.
3 A=2 6 4a11a12a13a14a21a22a23
a24a31a32a33 a343 7 5 A (2)=2 6 6 641a(2)
12a(2)
13 a(2) 14 0a(2)22a(2)
23a(2) 24
0a(2)
32a(2)
33a(2) 343
7 7 7 5 A (3)=2 6 6 6
410a(3)
13 a(3) 1401a(3)
23a(3) 24
00a(3)
33a(3) 343
7 7 7 5 A (4)=2 6 6 6 4100
a(4) 14 010 a(4) 24
001 a(4) 343
7 7 7 5
Iln'yadoncpasdephasederemontee.
Maisonfaitplusd'operations.
4Algorithme
Commeprecedemmentpour:
-rechechedupivot(nonnuloumax) -nouvellelignek dierentpour: -nouvelleslignesi pourk=1an recherchedupivot(nonnuloumax) echangeeventueldelignes flepivotakk6=0g divisiondelalignekparakk pouri=1ansaufk, retrancheralalignei lanouvellelignekmultiplieeparaik (pourlescolonnesdek(ouk+1)an lessolutionssontdansla(n+1)emecolonne (xi=ai;n+1) 5Complexite
Lenombred'operationsestdel'ordrede
n3aulieude2n3
3Averierenexercice.
Doncmoinsinteressantquel'algorithmede
Gauss.
l'inversed'unematrice. 6Calculdel'inversed'unematrice
Onutiliselaproprietesuivante:
lejevecteurcolonnedeA1estXj=A12 6 6 6 6 6 400 1 03 7 7 7 7 7 5 etestdoncsolutiondusystemeAXj=2 6 6 6 6 6 40
0 1 03 7 7 7 7 7 5
Onvaresoudrelesnsystemesenm^emetemps
parlamethodedeGauss-Jordan2 6 4 100A 010 0013 7
5conduiraa2
6 4100010X1X2X3
001 3 7 5 etA1=hX1X2X3i 7Calcul
AExemple
2 4a11a12a13
100a
21a22a23
010 a31a32a33
0013 524214
100
335
010 452
0013 5 2 6
41a(2)
12a(2)
13 b(2) 11000a(2)
22a(2)
23b(2) 2110
0a(2)
32a(2)
33b(2) 31013
7 52
411=22
1=200 03=21 3=210 0362013
5 2 6
410a(3)
13 b(3)11b(3)
12001a(3)
23b(3)
21b(3)
22000a(3)
33b(3)
31b(3)
32137 52
4107=3
11=30 012=3 12=30 004 12135 2 6 4100
b(4)
11b(4)
12b(4)
13 010 b(4)21b(4)
22b(4)
23001 b(4)