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Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Clément Rau

Laboratoire de Mathématiques de Toulouse

Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan

Module complémentaire de maths, année 2012

Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminant1Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une

application linéaire/matriceNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminant

2Pivot de Gauss sur les matrices

But de l"algorithme

Présentation de la méthode

Diposition des calculs : un exemple

L"algorithme général

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminant1Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une

application linéaire/matriceNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminant

2Pivot de Gauss sur les matrices

But de l"algorithme

Présentation de la méthode

Diposition des calculs : un exemple

L"algorithme général

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantRappel : Notion d"application bijective

Definition

Soit f:U!V une application linéaire. On dit que f est bijective si pour tout y de V, il existe un unique x dans U tel que f(x) =y:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantRappel : Notion d"application bijective

Definition

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantNotion d"inverse d"un application linéaire bijective

Dans le cas oùfest bijective, on peut lui fabriquer une application inverse notéef1 f 1:V!U

qui à chaqueydeVassocie l"uniquexdeUtel quey=f(x).Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantNotion d"inverse d"un application linéaire bijective

Dans le cas oùfest bijective, on peut lui fabriquer une application inverse notéef1 f 1:V!U

qui à chaqueydeVassocie l"uniquexdeUtel quey=f(x).Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverse

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,

ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,

ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverse

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,

ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,

ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverse

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,

ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

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Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverse

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,

ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

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Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverse

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

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Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverse

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

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Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantPropriétés évidentes de l"inverse

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

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Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque une matrice est une représentation d"une application linéaire (dans de certaines bases), la notion d"inverse d"une application linéaire se translate aux matrices... Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice

On considère une application linéaire bijectivef:Rn!RmSoitBdetBades bases respectives deRnetRm.SoitAla matrice defdans les basesBdetBaSoitBla matrice def1dans les basesBaetBdClément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantDéfinition de l"inverse d"une matrice Puisque la multiplication matricielle a été construite pour prolonger la composition des applications, des égalités f

1of=IdRnfof1=IdRm

on déduit :

BA=IdnAB=Idm;

oùIdp=0 B @10 011 C

A(de taillep)Definition

La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A

1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

1of=IdRnfof1=IdRm

on déduit :BA=IdnAB=Idm;oùIdp=0 B @10 011 C

A(de taillep)Definition

La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A

1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

1of=IdRnfof1=IdRm

on déduit :BA=IdnAB=Idm;oùIdp=0 B @10 011 C

A(de taillep)Definition

La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A

1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

1of=IdRnfof1=IdRm

on déduit :BA=IdnAB=Idm;oùIdp=0 B @10 011 C

A(de taillep)Definition

La matrice B s"appelle la matrice inverse de A. On la note parfois A

1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantDéterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans le

cadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.A chaque matriceA, on associe un nombre appelé

determinant deAet notédet(A). det:Mn!R A7!det(A):Ce nombre a la propriété "magique" suivante : A est inversible,det(A)6=0:Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantDéterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans le

cadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.A chaque matriceA, on associe un nombre appelé

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantDéterminant Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice est inversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans le

cadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.A chaque matriceA, on associe un nombre appelé

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantCalcul de déterminants de matrices d"ordre 2 et 3

det(a b c d ) =adbcdet(0 @a 1a2a3 b 1b2b3 c

1c2c31

A ) =a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3 (a3b2c1+b3c2a1+c3a2b1)Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantCalcul de déterminants de matrices d"ordre 2 et 3

det(a b c d ) =adbcdet(0 @a 1a2a3 b 1b2b3 c

1c2c31

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantPour s"en souvenir, on peut écrire : 0 B BBB@a 1a2a3 b 1b2b3 c 1c2c3 a 1a2a3 b

1b2b31

CCCAet

remarquer que le déterminant est la différence entre la somme des diagonales vers le bas et des diagonales vers le haut. det(0 @a 1a2a3 b 1b2b3 c

1c2c31

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantPour s"en souvenir, on peut écrire : 0 B BBB@a 1a2a3 b 1b2b3 c 1c2c3 a 1a2a3 b

1b2b31

CCCAet

remarquer que le déterminant est la différence entre la somme des diagonales vers le bas et des diagonales vers le haut.det(0 @a 1a2a3 b 1b2b3 c

1c2c31

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques exemples det(4 3 1 2 ) =11;donc la matrice est inversible.det(41 1 1=4 ) =0;donc la matrice n"admet pas d"inverse.det(0 @24 4 2 0 1

4 1 11

) =2;donc la matrice est inversible.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques exemples det(4 3 1 2 ) =11;donc la matrice est inversible.det(41 1 1=4 ) =0;donc la matrice n"admet pas d"inverse.det(0 @24 4 2 0 1

4 1 11

) =2;donc la matrice est inversible.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

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Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques exemples det(4 3 1 2 ) =11;donc la matrice est inversible.det(41 1 1=4 ) =0;donc la matrice n"admet pas d"inverse.det(0 @24 4 2 0 1

4 1 11

) =2;donc la matrice est inversible.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantCalcul de déterminant de matrices d"ordre supérieur

A l"aide des cofacteurs (voir poly pour la déf), on peut calculer le déterminant d"une matrice d"ordre 4, à l"aide

des déterminants de matrices d"ordre 3.Plus généralement, les cofacteurs permettent de caculer le

déterminant d"une matrice d"ordrenà l"aide des déterminants de matrices d"ordren1.

4Voir poly pour plus de détailsClément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantCalcul de déterminant de matrices d"ordre supérieur

A l"aide des cofacteurs (voir poly pour la déf), on peut calculer le déterminant d"une matrice d"ordre 4, à l"aide

des déterminants de matrices d"ordre 3.Plus généralement, les cofacteurs permettent de caculer le

déterminant d"une matrice d"ordrenà l"aide des

déterminants de matrices d"ordren1.4Voir poly pour plus de détailsClément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

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Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques propriétés des déterminants

det(Id) =1det(AB) =det(A)det(B)det(A1) =1det(A):Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques propriétés des déterminants

det(Id) =1det(AB) =det(A)det(B)det(A1) =1det(A):Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantQuelques propriétés des déterminants

det(Id) =1det(AB) =det(A)det(B)det(A1) =1det(A):Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminantComment calculer l"inverse d"une matrice Il existe diverses méthodes pour calculer l"inverse d"une matriceA.Méthode des cofacteurs, calcul déterminants de diverses sous matrices deA. (voir poly...)Avec un logiciel ...

Algorithme du pivot de Gauss.

Objet des sections suivantes

Inverse d"une matrice

Algorithme du pivot de Gauss.

Objet des sections suivantes

Inverse d"une matrice

Algorithme du pivot de Gauss.

Objet des sections suivantes

Inverse d"une matrice

Algorithme du pivot de Gauss.

Objet des sections suivantes

Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesBut de l"algorithme

Présentation de la méthode

Diposition des calculs : un exemple

L"algorithme général1Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matriceNotion d"inverse d"une application linéaire

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminant

2Pivot de Gauss sur les matrices

But de l"algorithme

Présentation de la méthode

Diposition des calculs : un exemple

L"algorithme général

Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesBut de l"algorithme

Présentation de la méthode

Diposition des calculs : un exemple

L"algorithme généralSoitAune matrice carré (supposée inversible),on cherche

à obtenir la matrice :

1Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Rappel de l"épisode précédent sur l"inverse d"une application linéaire/matrice Pivot de Gauss sur les matricesBut de l"algorithme

Présentation de la méthode

Diposition des calculs : un exemple

L"algorithme généralSoitAune matrice carré (supposée inversible),on cherche

à obtenir la matrice :

1Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

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Clément Rau

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Inverse d"une matrice

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminant

2Pivot de Gauss sur les matrices

But de l"algorithme

Présentation de la méthode

Diposition des calculs : un exemple

L"algorithme général

Inverse d"une matrice

Inverse d"une matrice

Critère d"inversibilité : le déterminant

2Pivot de Gauss sur les matrices

But de l"algorithme

Présentation de la méthode

Diposition des calculs : un exemple

L"algorithme général

Inverse d"une matrice

Definition

Inverse d"une matrice

Definition

Inverse d"une matrice

Inverse d"une matrice

Inverse d"une matrice

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,

Inverse d"une matrice

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,

Inverse d"une matrice

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,

Inverse d"une matrice

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,

Inverse d"une matrice

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Inverse d"une matrice

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Inverse d"une matrice

On a :

1est bijective(f1)1=fpour toutxdansU;f1(f(x)) =x,ie:f1of=IdUpour toutydansV;f(f1(y)) =y,ie:fof1=IdVsifest linéaire, alorsf1l"est aussi.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Inverse d"une matrice

Inverse d"une matrice

Inverse d"une matrice

Inverse d"une matrice

Inverse d"une matrice

1of=IdRnfof1=IdRm

BA=IdnAB=Idm;

A(de taillep)Definition

1.Clément RauCours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Inverse d"une matrice

1of=IdRnfof1=IdRm

A(de taillep)Definition

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Inverse d"une matrice

1of=IdRnfof1=IdRm

A(de taillep)Definition

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Inverse d"une matrice

1of=IdRnfof1=IdRm

A(de taillep)Definition

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Inverse d"une matrice

Inverse d"une matrice

Inverse d"une matrice

Inverse d"une matrice

1c2c31

Inverse d"une matrice

1c2c31

Inverse d"une matrice

1b2b31

CCCAet

1c2c31