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Universite Blaise Pascal, U.F.R. Sciences et Technologies, Departement de Mathematiques et Informatique

Licence de mathematique, deuxieme annee, S3, U.E. 21MM31, annee 2016-2017CALCUL INTEGRAL ET SERIES

Notes de cours de Francois DUMAS

Table des matieres

1 Primitives d'une fonction continue sur un intervalle 1

1.1 Denition et premieres proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1 Notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2 Existence de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3 Quelques exemples importants (a conna^tre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.4 Le cas des fonctions puissances (a conna^tre) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.5 D'autres exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2 Methodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1 Linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.3 Primitivation par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3 Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1 Cas des produits d'un polyn^ome par une exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2 Cas des polyn^omes trigonometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.3 Cas des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Integrale d'une fonction continue sur un segment 11

2.1 Denition et methodes de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.1 Integrale et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.2 Integrale et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2 Methodes de calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2.1 Linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4

2.2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2.3 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2.4 Exemple d'application : formule de Taylor avec reste integral . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3 Proprietes de l'integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3.1 Positivite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7

2.3.2 Formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.3.3 Inegalite de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4 Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.1 Integrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.2 Approximation d'une integrale par la methode des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4.3 Approximation d'une integrale par la methode des trapezes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3 Rappels et complements sur le comparaison locale des fonctions 21

3.1 Fonctions equivalentes, fonction negligeable devant une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.1.1 Deux relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.1.2 Regles de calculs sur les equivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.1.3 Regles de calculs sur la negligeabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.1.4 Remarque sur la comparaison des suites de reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2 Formule(s) de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2.1 Point de vue global : inegalite de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2.2 Point de vue local : theoreme de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2.3 Exemples d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.3 Developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.3.1 Notion de developpement limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.3.2 Developpements limites de quelques fonctions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.3.3 Methodes de calculs de developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.3.4 Exemples d'applications de developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4 Integrales impropres33

4.1 Notion d'integrale convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.1.1 Cas d'un intervalle borne semi-ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.1.2 Cas d'un intervalle non borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.1.3 Cas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.1.4 Un exemple fondamental : integrale de type Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

4.2 Conditions susantes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.2.1 Regle de majoration pour les fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.2.2 Regle d'equivalence pour les fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.2.3 Deux exemples classiques : integrales de Bertrand et fonction . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4.2.4 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.2.5 Exemples de synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5 Series numeriques45

5.1 Notion de serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.1.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.1.2 Terminologie des series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 6

5.1.3 Convergence d'une serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5.1.4 Premiers exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

5.1.5 Espace vectoriel des series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.2 Series a termes reels positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.2.1 Critere de majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

5.2.2 Series de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.2.3 Regle de d'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.2.4 Regle de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.3 Series numeriques a termes quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.3.1 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.3.2 Series (reelles) alternees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.4 Quelques complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.4.1 Comparaison entre series et integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.4.2 Deux exemples d'applications : series de Bertrand et constante d'Euler . . . . . . . . . . . .

56

5.4.3 Produit de Cauchy de deux series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

6 Series entieres61

6.1 Convergence des series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.1.1 Disques dansCet intervalles dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

6.1.2 Rayon de convergence d'une serie entiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.1.3 Methodes de calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

6.2 Fonctions denies par la somme d'une serie entiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

6.2.1 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

6.2.2 Derivabilite, primitivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

6.2.3 Application aux equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6.3 Developpement en series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6.3.1 Fonction developpable en serie entiere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

6.3.2 Exemples classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

7 Series de fonctions (un apercu) 75

7.1 Convergence des series de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

7.1.1 Convergence simple et convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

7.1.2 Convergence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

7.2 Fonctions denies par la somme d'une serie de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

7.2.1 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

7.2.2 Integration et derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

7.2.3 Retour sur le cas particulier des series entieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

7.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82
Ces notes sont destinees aux etudiants comme support a leur travail personnel. Il ne s'agit pas d'un \cours" parfaitement nalise, dans sa conception comme dans sa redaction. Je suis par avance reconnaissant a celles et ceux qui me signaleront les erreurs, manques, imperfections, co- quilles,... qu'il contient immanquablement. Je remercie Monique Chicourrat, Christoph Kriegler et Francois Martin pour leur relecture et leurs nombreuses remarques. version du 15 decembre 2016Francois.Dumas@univ-bpclermont.fr

Chapitre 1

Primitives d'une fonction continue

sur un intervalle

1.1 Denition et premieres proprietes

1.1.1 Notion de primitiveDenition.Soitf:I!Rune fonction denie sur un intervalleIdeR. On appelle primitive

defsurItoute fonctionF:I!Rqui est derivable surIet telle queF0(x) =f(x) pour tout x2I.

Par exemple :

(i) p ourtout n2N, une primitive surRde la fonctionfdenie parf(x) =xnpour tout x2Rest la fonctionFdenie parF(x) =1n+1xn+1pour toutx2R; (ii) une primitiv esur Rde la fonctionfdenie parf(x) = cosxpour toutx2Rest la fonctionFdenie parF(x) = sinxpour toutx2R; (iii) une primitiv esur ]0 ;+1[ de la fonctionfdenie parf(x) =1x pour toutx2]0;+1[ est la fonctionFdenie parF(x) = lnxpour toutx2]0;+1[; (iv)

une primitiv esur Rde la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-m^eme.Proposition.Soitf:I!Rune fonction denie sur un intervalleIdeR, admettant une

primitiveFsurI. Alors, une autre fonctionG:I!Rest une primitive defsi et seulement s'il existe une constantek2Rtelle queG(x) =F(x) +kpour toutx2I. Demonstration.Par hypothese, il existeF:I!RveriantF0(x) =f(x) pour toutx2I. Supposons d'abord queG:I!Rest donnee parG(x) =F(x) +kpour toutx2I. Il est clair queGest derivable surR(comme somme de la fonctionFqui est derivable surRet de la fonction constante egale akqui l'est aussi). Pour toutx2I, on aG0(x) =F0(x) puisque la derivee d'une fonction constante est nulle, c'est-a-direG0(x) =f(x). Ceci prouve queGest une primitive defsurI. 1 Reciproquement, supposons queGest une primitive defsurI. Pour toutx2I, on aG0(x) = f(x) =F0(x) donc, par linearite de la derivation, (GF)0(x) = 0. Ceci prouve que la fonction GFest constante sur l'intervalleI, donc qu'il existek2Rtel queG(x)F(x) =kpour tout x2I.Corollaire.Soitf:I!Rune fonction denie sur un intervalleIdeR, admettant des primitives surI. Pour touta2Iet toutm2R, il existe une unique primitiveF:I!RdefsurItelle queF(a) =m. Demonstration.SoitGune primitive quelconque defsurI. Posonsk=mG(a)2R, et notons F:I!Rla fonction denie parF(x) =G(x) +kpour toutx2I. D'apres la proposition precedente,Fest une primitive defsurI. De plus elle verieF(a) =G(a) +k=m. Pour l'unicite, considerons une primitiveHdeftelle queH(a) =m. D'apres la proposition precedente, il existek02Rtel queH(x) =F(x) +k0pour toutx2I. En particulierm= H(a) =F(a) +k0=m+k0, donck0= 0, d'ouH=F.1.1.2 Existence de primitives Theoreme.Soitf:I!Rune fonction denie sur un intervalleIdeR. Sifest continue sur

I, alorsfadmet des primitives surI.

Demonstration.Admis, conformement au programme1.1.1.3 Quelques exemples importants (a conna^tre) fIF e xRe x+k1 x]1;0[ ou ]0;+1[lnjxj+klnx]0;+1[xlnxx+kfIF cosxRsinx+ksinxRcosx+k1

1+x2Rarctanx+kDemonstration.Il sut de calculer la derivee surIde la fonctionFdonnee pour verier que

l'on retrouve bien la fonctionfcorrespondante, qui est continue sur l'intervalleIconsidere.1.1.4 Le cas des fonctions puissances (a conna^tre)

Pour tout reela6=1, c'est une seule et m^eme formule qui donne les primitives de la fonction fdenie parf(x) =xa, a savoir :fIF x adepend dea1

a+1xa+1+k1. Il n'est pas dans l'esprit de ce cours d'insister au-dela du theoreme admis ci-dessus sur les conditions

(necessaires, susantes) pour qu'une fonction admette des primitives. Mentionnons simplement pour memoire

que : (1) il existe des fonctions qui n'admettent pas de primitives sur un intervalle donne, comme par exemple la

fonction partie entiere surR(evidemment elles ne sont pas continues sur cet intervalle); (2) il existe des fonctions

qui admettent des primitives sur un intervalle donne sans pour autant ^etre continues sur cet intervalle.

2 mais le point crucial est que l'intervalleIsur lequel la fonctionfest denie (et continue), ainsi que la facon m^eme dontxaest deni, dependent duachoisi. Donnons quelques precisions.af(x) =xaIF a=n(n2N)x n=xx xR1 n+1xn+1+ka=n(n2N;n2)1 x n]1;0[ ou ]0;+1[1 (1n)xn1+ka=12px[0;+1[2 3 xpx+ka=12 .1px]0;+1[2 px+kaquelconque,a6=1e alnx]0;+1[1

a+1e(a+1)lnx+kEn resume, il n'y a qu'une formule a conna^tre, mais le plus important est de savoir quel sens lui

donner suivant le choix dea. Quant au cas oua=1, il est de nature completement dierente puisqu'une primitive defest dans ce cas le logarithme neperien.

1.1.5 D'autres exemples classiques

fIF 1 cos 2x 2 +n;2 +ntanx+kchxRshx+kshxRchx+k1 ch

2xRthx+k1

1x2]1;1[ ou ]1;1[ ou ]1;+1[1

2 lnx+1x1+k1p1+x2Rln(x+p1 +x2) +k1p1x2]1;1[arcsinx+k1px

21]1;1[ ou ]1;+1[ln

x+px 21+k

1.2 Methodes de calcul

1.2.1 LineariteProposition.Soientf:I!Retg:I!Rdeux fonctions denies sur un intervalleIdeR.

On suppose quefadmet surIune primitiveFet quegadmet surIune primitiveG. Alors, pour tous reels;, la fonctionF+Gest une primitive def+gsurI. Demonstration.Par hypothese,FetGsont derivables surIet verientF0(x) =f(x) etG0(x) = g(x) pour toutx2I. La linearite de la derivation implique alors que la fonctionF+Gest

derivable surIet verie (F+G)0(x) =F0(x)+G0(x) =f(x)+g(x) pour toutx2I.Par exemple :toute fonction polyn^ome admet des primitives surR, car c'est une combinaison

lineaire de fonctions puissances a exposants entiers naturels. 3

1.2.2 Changement de variable

Proposition.Soientg:J!Rune fonction denie sur un intervalleJdeR, admettant surJ une primitiveG. Soitu:I!June fonction derivable sur un intervalleI. Alors une primitive surIde la fonctionf:I!Rdenie parf(x) =g(u(x))u0(x) est la fonctionF=Gu. Rappelons tout d'abord queGuest l'applicationI!Rdenie par (Gu)(x) =G(u(x)) pour toutx2I. Demonstration.La fonctionF=Guest derivable surIen tant que composee de deux fonctions derivables, et l'on a pour toutx2I: F

0(x) = (Gu)0(x) =G0(u(x))u0(x) =g(u(x))u0(x) =f(x)

ce qui prouve queFest une primitive defsurI.IPar exemple : fonctionfintervalleIprimitiveFindication : choix deuetgf(x) =lnxx ,I= ]0;+1[,F(x) =12 (lnx)2+k, u(x) = lnx,g(y) =y f(x) =1xlnx,I= ]0;1[ ou ]1;+1[,F(x) = lnjlnxj+k, u(x) = lnx,g(y) =1y f(x) = tanx,I=2 ;2 ,F(x) =lnjcosxj+k, u(x) = cosx,g(y) =1y f(x) =x1+x2,I=R,F(x) =12 ln(1 +x2) +k, u(x) = 1 +x2,g(y) =12y f(x) =xp1+x2,I=R,F(x) =p1 +x2+k, u(x) = 1 +x2,g(y) =12 py f(x) =x1+x4,I=R,F(x) =12 arctanx2+k, u(x) =x2,g(y) =12(1+y2) f(x) = cos3x,I=R,F(x) = sinx13 sin3x+k, u(x) = sinx,g(y) = 1y2 ISur le plan pratique :la methode de changement de variable peut s'appliquer lorsque la fonctionfdont on cherche a calculer une primitive peut ^etre mise sous la formef= (gu)u0, ouuest une fonction derivable etgune fonction dont on conna^t une primitive (sur des intervalles

convenables). Parmi les situations les plus courantes, on peut citer :sifest de la formeu0un, alorsF=1n+1un+1+k,sifest de la formeu0u

2, alorsF=1u

+k,sifest de la formeu0pu , alorsF= 2pu+k,sifest de la formeu0u , alorsF= lnjuj+k,sifest de la formeu0eu, alorsF= eu+k,sifest de la formeu01+u2, alorsF= arctanu+k,4

1.2.3 Primitivation par parties

Proposition.Soientuetvdeux fonctions derivables sur un intervalleIdeR. On suppose que la fonctiong:I!Rdenie parg(x) =u(x)v0(x) admet une primitiveGsurI. Alors la fonction f:I!Rdenie parf(x) =u0(x)v(x) admet pour primitive surIla fonctionFdenie par

F(x) =u(x)v(x)G(x) pour toutx2I.

primitive deu0v=uvprimitive deuv0 Demonstration.La fonctionH=uvest derivable surIen tant que produit de deux fonctions derivables, et l'on a pour toutx2I: H

0(x) = (uv)0(x) =u0(x)v(x) +u(x)v0(x) =f(x) +g(x) =f(x) +G0(x);

d'ouf(x) =H0(x)G0(x), ce qui par linearite prouve queHGest une primitive defsur

l'intervalleI.ISur le plan pratique :la methode de primitivation par parties peut s'appliquer lorsque la

fonctionfdont on cherche a calculer une primitive peut ^etre mise sous la formef=u0v, ouuetvsont deux fonctions derivables telles que l'on connaisse une primitive (sur l'intervalle considere) de la fonctiong=uv0.

IPar exemple :

fonctionfintervalleIprimitiveFindication : choix deuetvf(x) =xsinxI=RF(x) = sinxxcosx+k u(x) =cosx,v(x) =x

f(x) =xexI=RF(x) = (x1)ex+k u(x) = ex,v(x) =x f(x) = lnxI= ]0;+1[F(x) =xlnxx+k u(x) =x,v(x) = lnx f(x) =xlnxI= ]0;+1[F(x) =x24 (2lnx1) +k u(x) =12 x2,v(x) = lnx f(x) = (lnx)2I= ]0;+1[F(x) =x((lnx)22lnx+ 2) +k u(x) =x,v(x) = (lnx)2 IRemarque :il est assez frequent qu'un calcul de primitive necessite d'appliquer plusieurs fois de suite une primitivation par parties. Comme sur l'exemple suivant : On veut calculer une primitiveFdef:R!Rdenie parf(x) = e2xcosx. Pour calculerF, on fait une premiere primitivation par parties en prenantu(x) = sinxetv(x) = e2x. On obtient :F(x) = e2xsinx+2G(x), ouGest une primitive de la fonctiong:R!Rdenie parg(x) = e2xsinx. Pour calculerG, on fait une seconde primitivation par parties en prenantu(x) = cosxetv(x) = e2x. On obtient :G(x) =e2xcosx2F(x). On conclut en combinant les deux relations que :F(x) =15 e2x(sinx2cosx) +k. 5

1.3 Quelques complements

Les quelques outilselementaires exposes ci-dessus (des primitives usuelles a conna^tre, la linearite,

le changement de variable et la primitivation par parties) susent deja, en les combinant de facon pertinente, a calculer des primitives pour de larges familles de fonctions continues. Sans chercher la virtuosite technique gratuite, il est indispensable de s'entra^ner sur de nombreux exemples. Conformement au programme, on donne pour nir quelques indications (tres partielles) sur des situations classiques simples. De nombreux autres exemples seront vus en travaux diriges et dans le chapitre suivant.

1.3.1 Cas des produits d'un polyn^ome par une exponentielle

IExemple 1.On veut calculer une primitiveF:R!Rde la fonctionf:R!Rdenie par : f(x) =x2e3x Une premiere primitivation par parties avecu(x) =13 e3xetv(x) =x2donne :

F(x) =13

x2e3xG(x) ouG:R!Rest une primitive de la fonctiong:R!Rdenie parg(x) =23 xe3x. Une seconde primitivation par parties avecu(x) =13 e3xetv(x) =23 xdonne :

G(x) =29

xe3x227 e3x:

On conclut que :F(x) = (13

x229 x+227 )e3x+k. IPrincipe general.La methode de primitivation par parties successives que l'on vient d'employer s'applique de facon analogue a toute fonctionf:R!Rde la formef(x) =xnexavec2R, puis par linearite a toute fonctionf:R!Rde la formef(x) =pn(x)exavecpnune fonction polynomiale. On pourra retenir : Sif:R!Rest une fonction de la formef(x) =pn(x)exavec2Retpnune fonction polynomiale de degren, alorsfadmet une primitiveF:R!Rde la forme F(x) =qn(x)exavecqnune fonction polynomiale de degren. Il est generalement beaucoup plus rapide de determinerqnen identiant (qn(x)ex)0avecpn(x)ex que de faire les primitivations par parties. IExemple 2.On veut calculer une primitiveF:R!Rde la fonctionf:R!Rdenie par : f(x) = (x25x+ 7)ex. On cherche une primitiveFsous la formeF(x) = (ax2+bx+c)exaveca;b;c2R. On calcule : F

0(x) = (2ax+b)ex(ax2+bx+c)ex= [ax2+ (2ab)x+ (bc)]ex;

que l'on identie af(x), d'oua= 1, 2ab=5 etbc= 7. Donca=1,b= 3 etc=4. On conclut que les primitives defsurRsont de la forme

F(x) +k= (x2+ 3x4)ex+k.

6

1.3.2 Cas des polyn^omes trigonometriques

IExemple 1.On veut calculer une primitiveF:R!Rde la fonctionf:R!Rdenie par : f(x) = sin3xcos2x. On observe d'abord quef(x) = sin2xcos2xsinx= (1cos2x)cos2xsinx. Ainsi par changement de variable avecu(x) = cosx, on reconna^t quef=u0(u2u4). Donc, d'apres 1.2.2, une primitive defestF=GuavecGune primitive de la fonctiong:R!Rdenie par g(x) =x2+x4. On peut choisirG(x) =13 x3+15 x5. On conclut que :

F(x) =13

cos3x+15 cos5x+k: IExemple 2.On veut calculer une primitiveF:R!Rde la fonctionf:R!Rdenie par : f(x) = cos5x On observe d'abord quef(x) = cos4xcosx= (1sin2x)2cosx. Ainsi par changement de variable avecu(x) = sinx, on reconna^t quef=u0(1u2)2=u0(12u2+u4). Donc, d'apres

1.2.2, une primitive defestF=GuavecGune primitive de la fonctiong:R!Rdenie

parg(x) = 12x2+x4. On peut choisirG(x) =x23 x3+15 x5. On conclut que :

F(x) = sinx23

sin3x+15 sin5x+k: IPrincipe general.Un polyn^ome trigonometrique est une somme nie de fonctions de la forme sinquotesdbs_dbs18.pdfusesText_24