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Cours de mathématiques

Terminale S1

Chapitre 12 : Calcul Intégral

Année scolaire 2008-2009

mise à jour 5 mai 2009 Fig.1 - Henri-Léon Lebesgue et Bernhard Riemann

On les confond parfois

1

Table des matières

I Chapitre 12 : Calcul Intégral3

I.A Intégrale d"une fonction continue positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.A.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.B Intégrale d"une fonction continue négative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

I.B.1 Intégrale d"une fonction continue de signe quelconque. . . . . . . . . . . . . . . 4 I.B.2 Cas d"une fonction en escalier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.C Propriétés de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.D Propriété. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.D.1 Linéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.D.2 Relation de Chasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.D.3 Intégrales et inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.D.4 Valeur moyenne d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.E Primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

I.E.1 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 I.E.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I.F Primitive d"une fonction continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.G Calculs de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.H Calculs d"intégrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.I Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

I.J Calculs de volumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Informations sur la mise en page

Le document s"inspire des nombreux livres de Terminale S desdifférentes éditions. Les figures

de ce document ont été réalisées avec métapost et les macros deJ-M Sarlatet en s"inspirant

très fortement de ce qui est fait ici par David Nivaud a:

L"environnement

bclogo, utilisé pour la réalisation de ce document, est téléchargeable ici :

ale fichier de macros s"appelle toujours courbes.mp mais est différent du fichier courbes.mp des chapitres

précédents 2

I Chapitre 12 : Calcul IntégralI.A Intégrale d"une fonction continue positiveI.A.1 Définition

Définition 1:

Un repère orthogonal(O,-→ı ,-→?)ayant été fixé, une unité d"aire est définie de la manière sui-

vante : IKJ u.a.1u.a.=aire du rectangleOIKJxy O

Définition 2:

Soitfune fonction continue et positive sur un intervalle[a;b]etCfsa courbe représentative dans un repère orthogonal(O,-→ı ,-→?).

Le réel, noté?

b a f(x)dx, est l"aire, en unités d"aire, du domaineDdélimité parCf, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=aetx=b.?b a f(x)dx se lit somme deaàbdef(x)dx ou intégrale deaàbdef y=f(x) a bDomaineD? b a f(x)dx=aire du domaineD xy O 3 I.B Intégrale d"une fonction continue négative

Définition 3:

Sifest une fonction continue et négative sur[a;b], on a la définition suivante : y=f(x)a b

DomaineD

b a f(x)dx=-(aire du domaineD) xy O I.B.1 Intégrale d"une fonction continue de signe quelconque

Définition 4:

Sifest continue sur l"intervalle[a;b], alors on définit? b a f(x)dx de la manière suivante : y=f(x) a bD 1 D 2? b a f(x)dx=aire du domaineD1-(aire du domaineD2) xy O 4

Remarque

On admet pour l"instant l"égalité suivante : sifest une fonction continue sur[a;b], alors, pour toutc?[a;b], c c f(x)dx= 0

I.B.2 Cas d"une fonction en escalier

Définition 5:

Il est un cas où, si la fonctionfn"est pas continuesur[a;b], on peut néanmoins définir? b a f(x)dx , c"est le cas des fonctions en escalier.

Sifest définie ainsi :

1. six?[x0;x1[,f(x) =c1

2. six?[x1;x2[,f(x) =c2

3. six?[x2;x3[,f(x) =c3

4. six?[x3;x4],f(x) =c4

alors? b a f(x)dx=somme des aires des rectangles situés au-dessus de l"axedes abscisses-(somme des aires des rectangles en dessous de l"axe des abscisses) c 1c 2 c 3c 4 x

0=ax1x2x3x4=b

xy O

I.C Propriétés de l"intégrale

I.D Propriété

5

Théorème 1

On admet pour l"instant, la définition de l"intégrale ayant été donnée précédemment, que

b a f(x)dx=-? a b f(x)dx La notion de primitive nous permettra de valider cette propriété dans quelques instants.

I.D.1 Linéarité

Théorème 2

Sifetgsont deux fonctions continues sur[a;b]etαun réel, alors on a : b a f(x)dx+? b a g(x)dx=? b a (f(x) +g(x))dx et ?b a

αf(x)dx=α?

b a f(x)dx

I.D.2 Relation de Chasles

Théorème 3

Soitfune fonction continue sur[a;c], alors :

y=f(x) a bc? b a f(x)dx+? c b f(x)dx=? c a f(x)dx xy O

I.D.3 Intégrales et inégalités

6

Théorème 4

y=f(x) y=g(x) a b? b b af(x)dx xy O

Théorème 5: Inégalités de la moyenne

S"il existemetMtels que, pour toutx?[a;b]

alors on a : y=f(x) a bA BF ED C M b a xy O Il suffit de comparer les aires du domaine sous la courbe avec celles des trianglesABCDet ABEF

I.D.4 Valeur moyenne d"une fonction

7

Théorème 6

Sifest une fonction continue sur un intervalleI;aetbsont deux réels distincts de l"intervalle I.

Alors il existe un réelcentreaetbtel que?

b a f(x)dx= (b-a)f(c).

Le nombre

1 b-a? b a f(x)dx est appelévaleur moyenne defentreaetb. Interprétation cinématique : la vitesse moyenne d"un mobile La vitesse moyenne d"un mobile est la valeur moyenne de la vitesse, d"où : vitesse moyenne=distance parcourue durée du trajet=1t2-t1? t2 t

1v(t)dt

Démonstration

On suppose la fonctionfcroissante. (On admet le résultat dans le cas général.)

Premier cas :

a < b. Puisquefest croissante, pour tout réelxdans[a;b],

On a alors

b a et, puisqueb-a >0, b-a? b a

Le réel

1 b-a? b a f(x)dx est dans l"intervalle[f(a);f(b)], donc il existecdans[a;b]tel que : 1 b-a? b a f(x)dx=f(c)

Deuxième cas :

a > b. On procéde de la même manière que précédemment, à vous de le faire.

I.E Primitives

I.E.1 Exemple

On s"intéresse à la fonction

f:x?R+?-→0.9×e-0.9x

Le but est double :

- Introduire la notion de primitive. - Découvrir la fonctionfen vue du chapitre sur la loi exponentielle. SoitAla fonction qui, à tout réelxpositif, associeA(x) =? x 0

0.9e-0.9tdt.

Alors, pour tout réelapositif, le réelA(a+h)- A(a)représente l"aire du domaine hachuré en vert

ci-après. (on se place dans le cas oùhest strictement positif) : 8 En utilisant les inégalités de la moyenne décrites plus haut, on peut écrire : d"où De la même manière, en considéranthstrictement négatif, on obtient : Si on fait tendrehvers 0 et en tenant compte du fait que la fonctionfest continue surR, donc sur R +en particulier, on obtient, après passage à la limite : lim h→0A(a+h)- A(a) h=f(a) aa+hf(a+h)f(a)C f:y= 0.9×e-0.9xxy O

Ce qui nous permet de dire que la fonction

A:x?-→?

x 0 f(t)dt est dérivable surR+et vérifie A ?(x) =f(x) La fonctionAest appeléeprimitivede la fonctionfsurR+. Cela nous permet aussi de calculer la valeur exacte de? 1quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28