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Calcul stochastique appliqué à la finance
Romuald ELIE & Idris KHARROUBI
Table des matières
1 Notion d"arbitrage 5
1.1 Hypothèses sur le marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Comparaison de portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Relation de parité Call-Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Prix d"un contrat Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Modèle binomial à une période 11
2.1 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Stratégie de portefeuille simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Evaluation et couverture d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Modèle binomial à plusieurs périodes 21
3.1 "Rappels" de probabilité : processus discret et martingale . . . . . . . . . . .
3.2 Modélisation du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Stratégie de portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Arbitrage et probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Duplication d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Evaluation et couverture d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Options américaines dans le modèle binomial 33
4.1 Notion de temps d"arrêt en temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Arrêt optimal et enveloppe de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Evaluation des options américaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4TABLE DES MATIÈRES
5 Calcul stochastique 41
5.1 Processus et Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 EspacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
5.1.3 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.5 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Variation totale et variation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Intégrale stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Formule d"Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Processus d"Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Equation Différentielle Stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Modèle de Black & Scholes 77
6.1 Hypothèses sur le marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Modélisation probabiliste du marché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Probabilité risque neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Portefeuilles autofinançants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Duplication d"un produit dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Formule de Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Sensibilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 1
Notion d"arbitrage
1.1 Hypothèses sur le marché
Dans toute la suite, nous ferons les hypothèses simplificatrices suivantes :Les act ifssont di visiblesà l"infini ;
Le marché est liquide : on peut acheter ou v endreà tout instant ;On peut em prunteret v endreà découv ert;
Les échan gesont lieu sans coûts de transaction ; On peut em prunteret prêter au même taux constant r.Ces hypothèses, bien que n"étant pas toujours vérifiées dans la réalité, constituent une pre-
mière modélisation ayant l"avantage de pouvoir fournir une évaluation des produits dérivés,
notamment à l"aide de la notion d"arbitrage que nous présentons dans la suite.1.2 Arbitrage
De manière générale, la notion d"opportunité d"arbitrage fait référence à une situation où
un individu rationnel a la possibilité de prendre une décision qui lui permet de tirer profit de
manière certaine de l"avenir. Afin de formaliser cette notion, il faut donc mettre en place une modélisation de l"incertitude liée à l"évolution future du marché financier.6CHAPITRE 1. NOTION D"ARBITRAGE
Quelles sont les évolutions possibles du marché? : ensemble des états possibles du marché;P: Probabilité réelle (ou en tout cas anticipée) de survenance de chacun des évènements.
Toujours dans le but de formaliser cette notion d"arbitrage, il nous faut préciser la manière dont peut intervenir notre agent sur le marché.Quelles sont les stratégies d"investissement?
Définition 1.2.1Unportefeuille autofinancantest une stratégie (non anticipative) d"achatou de vente de titres, actions, prêts et emprunts à la banque, et plus généralement de produits
dérivésdont la valeur n"est pas modifiée par l"ajout ou le retrait d"argent. PourtT, on noteraXtlavaleur entdu portefeuilleX. Fixer un portefeuille revient donc simplement à se donner un capital initial et une stratégie dynamique d"investissement dans les actifs du marché à partir de ce capital de départ.Qu"est ce qu"une stratégie d"arbitrage?
Définition 1.2.2Unarbitrageentre les instants0etTest un portefeuille autofinançantXde valeur nulle ent= 0dont la valeurXTenTest positive et strictement positive avec une probabilité strictement positive :0= 0; XT0etP(XT>0)>0:
d"opportunités d"arbitrage(AOAen abrégé et NFL en anglais pourno free lunch) entre lesinstants0etT:fX0= 0etXT0g )P(XT>0) = 0L"hypothèse signifie simplement : "Si ma richesse aujourd"hui est nulle, elle ne peut deve-
nir positive et non identiquement nulle", soit "On ne peut gagner d"argent sans capital initial". Le raisonnement (défaitiste) est : "Si il y avait un arbitrage, quelqu"un en aurait déja pro- sur les marchés.1.3. COMPARAISON DE PORTEFEUILLES7
1.3 Comparaison de portefeuilles
Nous notons dans la suiteB(t;T)le prix entd"unzéro couponde maturitéT i:e:un actif dont la valeur enTvaut1. La valeurB(t;T)dépend du modèle choisi. Dans le cas d"un modèle en temps continu, la présence du taux d"intérêtrconduit àB(t;T) =e(Tt)alors que dans un modèle en temps discretB(t;T) = (1+r)noùndésigne le nombre de périodes entretetT. Proposition 1.3.1En AOA, si deux portefeuilles autofinançantsXetYont même valeur enT, ils ont même valeur en 0 :
T=YT)X0=Y0:
Démonstration.SupposonsX0< Y0et proposons la stratégie suivante : A l"instantt= 0, achat deX, vente deYet placement deY0X0>0à la banque. La valeur du portefeuille àl"instantt=TestXTYTplus ce qu"a rapporté l"argent à la banque, qui est toujours>0.en 0enTAchat de XX