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Cours de Calcul stochastique

Master 2IF EVRY

Monique Jeanblanc

Septembre 2006

Contents

1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1 Existence d'une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Convergence de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 Convergence presque s^ure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Convergence quadratique, ou convergence dansL2() . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.2 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.3 Processus croissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.4 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7.5 Variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7.6 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.2 Cas Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9.2 Cas continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.10 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10.3 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.11 Rappels d'analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 LE MOUVEMENT BROWNIEN 23

2.1 Le mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Une notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.3 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.5 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.6 Trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.8 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.9 Brownien multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2 Processus d'Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.3 Modµele de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 INT

3.2.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.4 Martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 Processus d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.4 Crochet d'un processus d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4 Lemme d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.1 Premiµere forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.4 Cas du Brownien multidimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.5 Application µa la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES 49

4.1.5 Exemple : Martingale exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.3 Formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.4 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 EXEMPLES DE PROCESSUS D'ITO 55

5.2 Modµele de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 De¯nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4.1 Euclidian norm ofn-dimensional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4.2 General de¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.4.3 Scaling properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4.4 Absolute continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.1 Additivity of BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.2 Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.3 Transition densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5.4 Hitting times for Bessel processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5.5 Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6 Cox-Ingersoll-Ross processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6.1 CIR processes and BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6.2 Transition probabilities for a CIR process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.6.3 CIR model for spot rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 CHANGEMENT DE PROBABILIT

6.1.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.5 Cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.2 Application aux modµeles ¯nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2.2 Arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.3 Hedging methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.2.4 Arbitrage et mme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3.4 Valorisation d'une option sur obligation µa coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Begin at the beginning, and go on till you come to the end. Then, stop.

L. Caroll, Alice's Adventures in Wonderland

6CONTENTS

Chapter 1

dans tout le cours

de Breiman [?], Grimmett et Stirzaker [?], Jacod et Protter [?] ou encore Williams [?]. Voir aussi des

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