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Calcul stochastique

M2 Mathematiques

Jean-ChristopheBreton

Universite de Rennes 1

Octobre{Decembre 2021Version du 3 decembre 2021

Table des matieres

1 Formule d'It^o et consequences

1.1 Formule d'It^o

1.2 Theoreme de Levy

1 1

1.3 Dubins-Schwarz

1.4 Inegalites de Burkholder-Davis-Gundy

1 4

1.5 Representation des martingales browniennes

2 0

1.6 Formules de Tanaka

2 5

2 Theoreme de Girsanov

2.1 Logarithme stochastique

3 0

2.2 Theoreme de Girsanov

3 2

2.3 Mise en uvre de Girsanov

3 5

2.4 Girsanov dans le cadre brownien

3 7

Equation dierentielle stochastique43

3.1 Introduction et denitions

3.2 Exemples d'EDS

4 5

3.2.1Equations lineaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5

3.2.2Equations anes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Existences et unicites

4 8

3.4 Utilisation de Girsanov pour les EDS

3.5 Flot sur l'espace de Wiener

3.6 Markov fort pour EDS homogene

4 Mouvement brownien et EDP

4.1 Fonctions harmoniques

7 1

4.2 Probleme de Dirichlet

7 6

4.3Equation de la chaleur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1

4.4 Formule de Feynman-Kac

8 3

5 Diusions

5.1 Generateur d'une diusion

5.2 Semi-groupe d'une diusion

9 0 iiTable des matieres

5.3 Diusion et EDP

9 4

6 Problemes de martingale

103

6.1 Introduction et notations

1 03

6.2 EDS et probleme de martingale

10 6

6.3 Unicite faible avec probleme de martingale

1 16

Introduction

Ces notes de cours ont pour but d'introduire au calcul stochastique et a ses outils fon- damentaux. Elles sont principalement destinees aux etudiants du Master 2 Mathematiques et applications de l'Universite de Rennes 1. Ces notes ont plusieurs sources d'inspiration, dont principalement [ LG1 ] mais aussi les notes de cours [ Gue EGK Mal ].P arai lleurs, des references standards conseillees sur le sujet sont les livres [ ] (en anglais) et Gal ] (en francais).

Le contenu de ces notes est le suivant :

Les proprietes de l'integrale stochastique, en particulier la formule d'It^o et le theoreme de Girsanov, sont des outils qui fondent le calcul stochastique; ils sont presentes dans les Chapitres e t . Dans le Chapitre ,o np resentel an otiond 'equationd ierentielle stochastique (EDS) a laquelle on donne un sens gr^ace a l'integration stochastique. Le calcul stochastique et la formule d'It^o en particulier permettent de creer des liens feconds entre processus stochastiques et equations dierentielles partielles (EDP). Ils sont illustres dans le Chapitre p arl esl iense ntrem ouvementb rownienet equationd el ac haleur.On s'interesse ensuite aux processus de diusion, qui sont des solutions d'EDS particulieres, on les introduit dans le Chapitre .Le C hapitre p resentel an otiond ep roblemed e martingales qui permet de donner des solutions faibles d'EDS. Les prerequis de ce cours sont les martingales en temps continu, le mouvement brownien et l'integration stochastique (niveau M2) pour lesquelles on pourra consulter [

JCB-proc

iii iv©JCB { M2 Math. { Universite de Rennes 1

Chapitre 1

Formule d'It^o et consequences

Dans ce chapitre, on prouve la formule d'It^o, veritable clef de vo^ute du calcul stochas- tique. Celle-ci montre que lorsqu'on applique une applicationC2a une semimartingale, on conserve une semimartingale; elle en donne en plus la decomposition (martingale locale + processus a variation nie). La formule d'It^o est prouvee en Section 1. 1 .D escon sequences importantes en sont presentees dans les sections suivantes : theoreme de Levy (caracterisa- tion du mouvement brownien par son crochet, Section 1 .2 ) ,t heoremed eD ubins-Schwarz (Section 1 .3 ), inegalites de Burkholder-Davis-Gundy (BDG, Section 1 .4 ),t heoremed er e- presentation des martingales (Section 1. 5 ),fo rmuled eT anaka( Section 1 .6

1.1 Formule d'It^o

La formule d'It^o est l'outil de base du calcul stochastique : elle montre qu'une fonction de classeC2depsemimartingales continues est encore une semimartingale continue, et elle exprime explicitement la decomposition de cette semimartingale. Rappelons la formule de changement de variable classique : siF;gsont de classeC1alors (Fg)0(t) =F0(g(t))g0(t) s'ecrit

F(g(t)) =F(g(0)) +Z

F0(g(s))g0(s)ds:

SiFestC1etgest seulement absolument continue (c'est a dire a variation nie) alors on a encore avec l'integrale de Stieltjes :

F(g(t)) =F(g(0)) +Z

F0(g(s))dg(s):

La m^eme formule reste vraie pour un processusXa variation nie en faisant un calcul trajectoriel (pour chaque!xe, la trajectoiret7!Xt(!) est a variation nie et le cas precedent s'applique) : pourFune fonction de classeC1, on a alors

F(Xt) =F(X0) +Z

F0(Xs)dXs:

2Chapitre 1.©JCB { M2 Math. { Universite de Rennes 1

La formule d'It^o generalise cette propriete pour des semimartingales lorsqueFestC2; la formule fait alors appara^tre un terme supplementaire d^u au fait que ces processus ne sont pas a variation nie, cf. ( 1.1 )ci -dessous. Theoreme 1.1 (Formule d'It^o)SoitXune semimartingale etF:R!Rune fonction de classeC2. Alors

F(Xt) =F(X0) +Z

F0(Xs)dXs+12

F00(Xs)dhX;Xis:(1.1)

Si on considerepsemimartingales continuesX(1);:::;X(p)etF:Rp!Rde classeC2 alors,

F(X(1)

t;:::;X(p) t) =F(X(1)

0;:::;X(p)

0) +pX

i=1Z 0@F@x i(X(1)s;:::;X(p)s)dX(i)s i;j=1Z 2F@x i@xj(X(1)s;:::;X(p)s)dhX(i);X(j)is:(1.2) Demonstration :On traite d'abord le cas (1.1) c'est a direp= 1. Considerons une suite f0 =tn0<< tnp n=tgn1de subdivisions embo^tees de [0;t] de pas tendant vers 0. Alors en telescopant la somme, on a

F(Xt) =F(X0) +p

n1X i=0

F(Xtni+1)F(Xtni):

La formule de Taylor (Lagrange) a l'ordre 2 sur l'intervalle (non ordonne) (Xtni;Xtni+1) donne pour chaque!2

F(Xtni+1)F(Xtni) =F0(Xtni)(Xtni+1Xtni) +fn;i(!)2

(Xtni+1Xtni)2 n;i2" inf

2[0;1]F00Xtni+(Xtni+1Xtni);sup

2[0;1]F00Xtni+(Xtni+1Xtni)#

D'apres 6) dans la Proposition??(approximation a la Riemann des integrales stochas- tiques) avecHs=F0(Xs), on a au sens de la convergence en probabilite : n1X i=0F

0(Xtni)(Xtni+1Xtni)P!Z

F0(Xs)dXs; n!+1:

Pour prouver la formule d'It^o (

1.1 ),i lr este a etablirl ac onvergencee np robabilite:quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5