drature des aires curvilignes, mais elle est peu adaptée à la pra- tique Il est préférable quelconque « nombre de relations algébriques » (donc au genre) : Expliquons pourquoi il Un tel polygone de Newton est http://www numdam org/
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AIRE DUN QUADRILATÈRE QUELCONQUE, PAR M J -G DOST OR, Docteur es sciences mathématiques THÉORÈME Les côtés consécutifs d'un
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quadrilatère quelconque (*), et faisant sortir le fadeur 4 de dessous le radical, on obtient • Q = - v {mn -f- ac — bd) {mn — ac -f- bd), pour l'expression de l'aire
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http://www numdam org/ ayant la forme d'un quadrilatère convexe quelconque On prendra donc pour probabilité élémentaire l'élément d'aire dxdy
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le calcul d'un périmètre ou d'une aire, la graduation d'une règle) ou des mesures de Rennes, repéré à http://www numdam org/article/PSMIR_1987-1988___ 5_A3_0 pdf s'agir de quadrilatères, de triangles ou autres polygones Demander aux élèves de mesurer la surface d'une figure quelconque ou d'un livre géant
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mathématiques http://www numdam org/ de tout quadrilatère inscrit ou circonscrit sera un quadrilatère ins- crit ou circonscrit au cercle ; de plus, les aires de deux quadri- latères quelconques, inscrits ou circonscrits à l'ellipse seront entre
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© Université Paul Aire du polygone d'appui L'aire du triangle défini par 3 points indépendants à répar- Un calcul analogue peut être fait pour un triangle quelconque, mais le
Triangulation automatique dun polyèdre en dimension N - ESAIM
l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www numdam org/ des polyèdres quelconques en dimension n Cette methode utilise ou maillages par des quadrilatères ou des hexaèdres) est proposée dans un article de [2] M BERGER, Geometrie tome 3 convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et
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dans un quadrilatère quelconque, les droites qui joignent les milieux des 1 ( 1810-1811) 310-317 ; http://www numdam org/numdam-bin/feuilleter?j=AMPA
[PDF] QUEST-CE QUE LE GENRE? par Patrick Popescu-Pampu
drature des aires curvilignes, mais elle est peu adaptée à la pra- tique Il est préférable quelconque « nombre de relations algébriques » (donc au genre) : Expliquons pourquoi il Un tel polygone de Newton est http://www numdam org/
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QU"EST-CE QUE LE GENRE?
parPatrick Popescu-Pampu1. Introduction
La manière probablement la plus rapide pour introduire de nos jours la notion mathématique degenre, est de dire qu"il s"agit du nombre de trous d"une surface, en précisant toutefois aux personnes averties qu"il faut que celle-ci soit compacte, connexe, orientable et sans bord. Par exemple, une sphère est de genre0, un tore est de genre1et la surface d"un bretzel est de genre3.56P. POPESCU-PAMPU
Cette définition a l"avantage d"être intuitive, on peut l"expliquer sur des exemples même à des enfants. Et avec un peu d"entrainement, on arrive à trouver rapidement le genre d"une surface qui nous est présentée ... pourvu qu"elle ne soit pas trop contorsionnée ou nouée, comme dans la photo suivante, qui ne représente pourtant que des surfaces de genre zéro (1). Les exemples de ce type permettent de voir que le concept de " trou » n"a pas toujours un sens. Y a-t-il un autre concept, peut- être moins intuitif, qui serait valable pour toutes les surfaces, et qui donnerait le nombre de trous lorsque la surface en a visiblement, comme dans la première photo(1) Il s"agit d"une photo de rocher runique prise dans la commune de Sigtuna (Suède) en 1914 par Erik Brate et disponible à l"adressehttp://commons.QU"EST-CE QUE LE GENRE?57
Eh bien, on a cherché progressivement à définir le concept de " genre » justement pour qu"il puisse s"appliquer à toutes les surfaces, indépendamment de leur forme dans l"espace. Pour qu"il s"applique aussi à des surfaces situées dans des espaces de dimension supérieure, et même à des surfaces " abstraites » qui ne vivent nulle part ailleurs qu"en elles-mêmes. Voici comment on peut arriver à une telle définition, qui ne fait plus référence à un espace environnant. Partons des exemples intuitifs, où les trous sont immédiatement reconnaissables. Dessinons alors sur la surface des contours qui entourent ces trous. Comme les trous sont séparés les uns des autres, on peut choisir ces contours disjoints deux à deux. On se retrouve donc avec des cercles dessinés sur la surface,aussi nombreux que les trous.Voilà donc une idée : c"est de tracer des cercles deux à deux dis-
joints sur n"importe quelle surface, puis de les compter, et de dire que le nombre obtenu estle genrede la surface. Mais afin que cette construction donne naissance à un concept bien défini, il faut expli- quer d"abord suivant quelles contraintes on doit choisir les cercles, puis il faut montrer que tous les choix donnent le même nombre. Il est clair qu"on peut toujours choisir un seul cercle, ou bien qu"on peut continuer à en dessiner d"autres, par exemple à chaque fois un peu différents de l"un des cercles déjà présents. Pour comprendre com- ment interdire ces choix, qui ne nous permettraient pas d"aboutir à