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[PDF] PRODUIT SCALAIRE - maths et tiques

La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan On appelle produit 

[PDF] Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel

I 1 Introduction I 2 Scalaire et vecteur I 3 Opérations sur les vecteurs I 3 1 Somme et multiplication par un scalaire I 3 2 Produit scalaire I 3 3 Produit vectoriel

[PDF] Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel I Produit scalaire (de

des deux vecteurs par le cosinus de leur angle Le produit scalaire est donc : positif pour θ aigu, négatif pour θ obtus • Forme géométrique

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2 y 2 pour un vecteur u x,y 3 Formule du cosinus Soient u et v deux vecteurs non nuls On a u 

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Dans tout ce qui suit, E désigne un R-espace vectoriel de dimension 3, muni d'un produit scalaire (le produit scalaire de deux vecteurs u et v sera noté u v)

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Le produit scalaire de deux vecteurs correspond à la somme des produits de leurs composantes Si =(a, b) et = (c, d), Alors • = ac 

[PDF] Chapitre 1 Rappel sur les vecteurs - Cours

vecteurs dans des espaces de dimension supérieure `a 3, d'o`u la nécessité Puisque la somme de deux vecteurs et le produit d'un vecteur par un nombre 

[PDF] Produit scalaire et produit vectoriel Produit scalaire de vecteurs

Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est le nombre 0 • Attention : ne pas confondre avec la multiplication scalaire d'un vecteur par un nombre

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28 août 2017 · فر u ^ فر v “ p u2v3 ´ u3v2 , u3v1 ´ u1v3 , u1v2 ´ u2v1 q ; le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur Proposition 8 19 Le produit 

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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur

u et deux points A et B tels que u =AB . La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v , noté u .v , le nombre réel définit par : - u .v =0 , si l'un des deux vecteurs u et v est nul - u .v =u ×v

×cosu

;v , dans le cas contraire. u .v se lit " u scalaire v ". Remarque : Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : u .v =AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

=a×a×cos60° =a 2

×0,5

a 2 2 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u .v =0

est une maladresse à éviter ! 3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur

u et v , on a : u .v =v .u

Démonstration : On suppose que

u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). u .v =u ×v

×cosu

;v =v ×u

×cosu

;v =v ×u

×cos-v

;u =v ×u

×cosv

;u =v .u

4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs

u v et w , on a : 1) u .v +w =u .v +u .w 2) u .kv =ku .v , avec k un nombre réel. - Admis -

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs

u et v , on a : 1) u +v 2 =u 2 +2u .v +v 2 2) u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 3) u +v u -v =u 2 -v 2

Démonstration pour le 2) :

u -v 2 =u -v u -v =u .u -u .v -v .u +v .v =u 2 -2u .v +v 2

II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur

u , on a : u .u =u ×u

×cosu

;u =u 2

×cos0=u

2 et u .u =u 2

On a ainsi :

u 2 =u .u =u 2

Propriété : Soit

u et v deux vecteurs. On a : u .v 1 2 u 2 +v 2 -u -v 2 et u .v 1 2 uquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28