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Fonctions et Applications

Université de Toulouse

Année 2020/2021

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Notion de fonction

Fonction

Unefonctionf:E!F(deEdansF) est définie par un sous-ensemble deGfEFtel que pour toutx2E, il existe au plus uny2Ftel que (x;y)2Gf, on note y=f(x).Exemple 1 :

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cg.

On définit la fonctionfpar le graphe :

G f=f(1;a);(2;c);(4;a)g EF

Autrement dit

f:E!F 17!a 27!c
47!a

Exemple 2 :

H=f(1;a);(2;c);(4;a);(1;b)g EFn"est pas le graphe d"une fonction Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions2 / 13

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

E ab cde F 1 2 34
Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

f:?!? x7!3x2+2x5Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

051015202468

Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13

Ensemble image

Soitf:E!Fune fonction deEdansF.

Image :f(x)est l"imagedex

Ensemble image deAE:

f(A) =fy2Ftel que9x2Avérifiantf(x) =yg =fy2Ftel que9x2Avérifiant(x;y)2Gfg

Ensemble image def:

Im(f) =f(E) =fy2F:9x2Etel quef(x) =ygExemple :

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cgetf:E!Fdéfinit par

G f=f(1;a);(2;c);(4;a)g EF. On a : f(f1g) =fagf(f1;4g) =fagf(f3g) =;f(f1;2;3g) =fa;cg Im(f) =fa;cgIntroduction à la notion d"ensemblesPremières notions4 / 13

Préimage

Ensemble image

Soitf:E!Fune fonction deEdansF.

Antécédent :xest l"antécedentdeysiy=f(x)

Préimage deBF:

1(B) =fx2Etel que9y2Bvérifiantf(x) =yg

=fx2Etel que9y2Bvérifiant(x;y)2Gfg

Domaine de définition def:

Dom(f) =f1(F) =fx2E:9y2Ftel quef(x) =ygExemple :

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cgetf:E!Fdéfinit par

G f=f(1;a);(2;c);(4;a)g EF. On a : f

1(fag) =f1;4gf1(fa;cg) =f1;2;4gf1(;) =;f1(fbg) =;

Dom(f) =f1;2;4gIntroduction à la notion d"ensemblesPremières notions5 / 13

Application

Une fonctionf:E!Fest une application siDom(f) =E.Exemple :

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cg.

Le grapheG=f(1;a);(2;c);(4;a)g EFdéfinit une fonction deE dansFmais pas une application.

SoitE0=f1;2;4getF=fa;b;cg.

Le grapheG=f(1;a);(2;c);(4;a)g E0Fdéfinit une fonction deE0

dansFqui est une application deE0dansF.Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions6 / 13

Composition

Lafonction composéedef:E!Fparg:F!Gest définie par gf(x) =g(f(x))

Dom(gf) =fx2Dom(f) :f(x)2Dom(g)gF

ab cde G 1 2 34
E fg gfPropriétés

En généralfg6=gf.Associativité :(fg)h=f(gh).Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions7 / 13

Injections

Fonction injective

f:E!Festinjectivesi touty2Fadmet au plus un antécédent.

Autrement dit :8x1;x22Eon af(x1) =f(x2) =)x1=x2FE

ab cde f

Exemple :Code ASCII, Code INSEE...

Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions8 / 13

Surjections

Fonction surjective

f:E!Festsurjectivesi touty2Fadmet au moins un antécédent.

Autrement dit :Im(f) =f(E) =F.E

ab cde F 1 2 34
g Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions9 / 13

Bijections

Application bijective

f:E!Fest une applicationbijectivesi touty2Fadmet exactement un antécédent. Autrement dit :fest une application injective et surjective.E ab cd F 1 2 34
g Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions10 / 13

Bijections

Application réciproque

L"applicationf:E!Fest bijective si et seulement si il existe une applicationg:F!Etelle quefg=IdFetgf=IdE. Sifest bijective, l"applicationgest unique, c"est l"application réciproque de l"applicationf, notéef1.Composée de deux bijections Soientf:E!Fetg:F!Gdeux applications bijectives. La composée gfest bijective et (gf)1=f1g1:Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions11 / 13

Suites

Soit?un ensemble, unesuite à valeurs dans?est une application de? dans?.

On note??l"ensemble des suite à valeurs dans?.

Etant donnée une suiteu2??, on note souventunlenèmeélément de la

suite etu= (un)n2?.Introduction à la notion d"ensemblesQuelques classes importantes de fonctions12 / 13

Fonctions caractéristiques

SoientA

on définit lafonction caractéristiquede l"ensembleApar 1 A: ! f0;1g x7!(1six2A

0six=2APropriétés

SoientA;B2 P(

), pour toutx2 , on a :1

A\B(x) =1A(x)1B(x)1

A[B(x) =1A(x) +1B(x)1A\B(x)1A

(x) =11A(x)Introduction à la notion d"ensemblesQuelques classes importantes de fonctions13 / 13quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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Fonctions et Applications

Université de Toulouse

Année 2020/2021

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Notion de fonction

Fonction

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cg.

On définit la fonctionfpar le graphe :

Autrement dit

Exemple 2 :

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

051015202468

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

Ensemble image

Ensemble image

Soitf:E!Fune fonction deEdansF.

Image :f(x)est l"imagedex

Ensemble image deAE:

Ensemble image def:

Im(f) =f(E) =fy2F:9x2Etel quef(x) =ygExemple :

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cgetf:E!Fdéfinit par

Préimage

Ensemble image

Soitf:E!Fune fonction deEdansF.

Antécédent :xest l"antécedentdeysiy=f(x)

Préimage deBF:

1(B) =fx2Etel que9y2Bvérifiantf(x) =yg

Domaine de définition def:

Dom(f) =f1(F) =fx2E:9y2Ftel quef(x) =ygExemple :

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cgetf:E!Fdéfinit par

1(fag) =f1;4gf1(fa;cg) =f1;2;4gf1(;) =;f1(fbg) =;

Application

Application

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cg.

SoitE0=f1;2;4getF=fa;b;cg.

Composition

Composition

Dom(gf) =fx2Dom(f) :f(x)2Dom(g)gF

Injections

Fonction injective

Autrement dit :8x1;x22Eon af(x1) =f(x2) =)x1=x2FE

Exemple :Code ASCII, Code INSEE...

Surjections

Fonction surjective

Autrement dit :Im(f) =f(E) =F.E

Bijections

Application bijective

Bijections

Application réciproque

Suites

On note??l"ensemble des suite à valeurs dans?.