Logique et raisonnements
2 2 1Le raisonnement direct C'est le type de raisonnement le plus courant et le plus intuitif Une manière de démontrer l'implication P)Q est de commencer par l'hypothèse sup-posons que Pest vraie , et au terme d'un raisonnement déductif, obtenir alors Qest vraie Méthode 2 3 (Raisonnement direct) 18 Cours ECS1
BASES DU RAISONNEMENT - Université Paris-Saclay
Exercice 10 Ecrire la formule P qui dit que le carr´e de tout nombre r´eel est positif ou nul, ainsi que sa n´egation Solution de l’exercice 10 N´egation a un quantificateur P : (∀x ∈ R)(x2 ≥ 0), nonP : (∃x ∈ R)(x2 < 0) Exercice 11 Ecrire sous forme de formule math´ematique l’assertion Tout r´eel poss`ede un oppos´e
Prol egon emes : Quelques m ethodes de raisonnement 1
Prol egon emes : Quelques m ethodes de raisonnement 1 Raisonnement direct On proc ede par substitution d’ egalit es Exemple : Montrer que 8n 2N, 8 n(n+ 1) 2 + 1 est un carr e Preuve1: 8 n(n+ 1) 2 + 1 = 4n 2+ 4n+ 1 = (2n+ 1) 2 Raisonnement par disjonction de cas On s epare les donn ees en di erentes classes possibles selon leur comportement
TD- LOGIQUE ET RAISONNEMENTS PROF : ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF
Exercice 53 : A l’aide de la méthode des tables de vérité, dites si la formules PouP est une tautologies Exercice 54 : 1 (Raisonnement direct) Soient ab ; Montrer que si abd alors 2 ab ab dd et 0ddab b 22 (Cas par cas) Montrer que pour tout n n n ;1 est divisible par 2 (distinguer les n pairs des n impairs) 4 (Absurde) Soit n Montrer
TD n 1: Logique et raisonnement
Exercice 1 Montrer, sans calculatrice, que – Utiliser un raisonnement direct Indications 1,2,3,6 et 7 : Raisonner par équivalence
Logique et Alg ebre 1 Exercices { Feuille 1
Exercice 6 D emontrer les assertions suivantes (1) (Raisonnement direct) Soient a;b2R + Montrer que, si a b, alors a a+b 2 bet a p ab b (2) (Cas par cas) Montrer que pour tout n2N, n(n+ 1) est divisible par 2 (distinguer les n pairs des nimpairs) (3) (contrapos ee ou absurde) Soient a;b2Z Montrer que, si b6= 0, alors a+ b p 2 62Q (on
TD- LOGIQUE ET RAISONNEMENTS PROF : ATMANI NAJIB 1BAC BIOF
Exercice 53 : A l’aide de la méthode des tables de vérité, dites si la formules PouP est une tautologies Exercice 54 : 1 (Raisonnement direct) Soient ab ; Montrer que si abd alors 2 ab ab dd et 0ddab b 2 (Cas par cas) Montrer que pour tout n n n;1 est divisible par 2 (distinguer les n pairs des n impairs) 4 (Absurde) Soit n Montrer
Cours LOGIQUE ET RAISONNEMENTS PROF 1BAC
pour les autres On parle de raisonnement Les mathématiques sont un langage pour s’exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes, qui rend les calculs exacts et véritables Le raisonnement est le moyen de valider ou d’infirmer une hypothèse et de l’expliquer 1 PROPOSITION :
Chapitre 1 Logique et raisonnements - Éditions Ellipses
Mise en œuvre : exercice 1 5, exercice 1 6 M´ethode 1 3 — Comment d´emontrer une proposition par l’absurde Pour d´emontrer qu’une proposition P est vraie, on peut utiliser un raisonnement par l’absurde Pour cela, on suppose que P est fausse et on d´emontre que l’on aboutit alors `a une contradiction
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BASES DU RAISONNEMENT
P. Pansu
10 septembre 2006
Rappel du programme officiel
Logique, diff´erents types de raisonnement.
Ensembles, ´el´ements.
Fonctions et applications.
Produit, puissances.
Union, intersection, somme disjointe.
Cardinalit´es.
Relations.
Ensembles ordonn´es, diagramme de Hasse.
1 Vocabulaire de la logique
1.1 Assertions
Les assertions du monde math´ematique sont celles qui peuvent se traduire par une formule o`uinterviennent les ensembles de nombres (entiers, r´eels,...), des constantes (0, 1,...), des variables
respectent la syntaxe. Exemple 1Les formules(1>0),(1 = 0),(x >1)sont des assertions.Les assertions (1>0) et (1 = 0) sont compl`etes, elles ont une signification ind´ependante de tout
contexte : la premi`ere est vraie, la seconde fausse. L"assertion (x >1) n"est pas compl`ete, car elle contient une variable librex, et on ne peut pas r´epondre `a la questionl"assertion(x >1)est elle vraie?, car la r´eponse d´epend dex.D´efinition 2Une assertion estcompl`etesi toutes les variables sont quantifi´ees par unquantifi-
cateur?ou?. - (?x?E) se litquel que soitxappartenant `aE, oupour toutxdansE. - (?x?E) se litil existe un ´el´ement deEtel que. Exemple 3((?x?R)(x >1))est une assertion compl`ete. Elle est ´evidemment fausse, mais c"est son droit.1.2 Traduction
Le jeu math´ematique consiste `a ´etablir si des assertions compl`etes sont vraies ou fausses. Il faut
savoir convertir en formules math´ematiques des ´enonc´es du langage courant et inversement.
Exercice 4Ecrire sous forme de formule math´ematique l"assertion suivante.Pour tout rationnel strictement positif, il existe un entier strictement plus grand que lui. 1 Solution de l"exercice 4.Propri´et´e archim´edienne des rationnels. (?x?Q) ((x >0)?((?n?N)(n > x))). Exercice 5Traduire en langage courant l"assertion exprim´ee par la formule (?x?N) (?x??N) ((x?= 0)et(x??= 0))?(?y?N)(?q?N)(?q??N) ((y=qx)et(y=q?x?)et(y?= 0))).Solution de l"exercice 5.Multiple commun.
Deux entiers strictement positifs poss`edent un multiple commun non nul.1.3 Dictionnaire
Ci-dessous, une liste de termes math´ematiques avec leur description en langage courant. N´egation. C"est dire le contraire. La n´egation dej"ai 18 ansestje n"ai pas 18 ans. Onnote nonPla n´egation de l"assertionP. Et. SiPetQsont des assertions, (PetQ) est l"assertion qui est vraie lorsquePetQsont toutes les deux vraies.J"ai 18 ans et je suis ´etudiant `a l"IFIPS. Ou. SiPetQsont des assertions, (PetQ) est l"assertion qui est vraie sauf siPetQsont toutes les deux fausses. C"est donc unouau sens large, non exclusif. C"est leoudemon p`ere ou ma m`ere viendra me chercher `a la gareet non celui deje dois choisir entre prendre le RER ou la voiture. Implication. SiPetQsont des assertions, l"assertionP ? Qexprime l"id´ee que siPestvraie, alorsQdoit ˆetre vraie aussi, sans qu"il y ait pour autant une relation de cause `a effet. Par
exemple,j"ai mon permis de conduireimpliquej"ai plus de 18 ans, mˆeme si ce n"est pas d"obtenir le permis de conduire qui m"a fait vieillir. Equivalence. SiPetQsont des assertions, l"assertionP ? Qexprime l"id´ee quePetQsont vraies simultan´ement. Autrement dit, (P ? Q) signifie ((P ? Q) et (Q ? P)).Par cons´equent, d´emontrer une ´equivalence, c"est d´emontrer deux implications. Sauf dans des
situations tr`es simples d"application imm´ediate de r`egles, on a en g´en´eral int´erˆet `a les d´emontrer
s´epar´ement. R´eciproque. SoientPetQsont des assertions. Lar´eciproquede l"implication (P ? Q), c"est l"assertion (Q ? P). Elles sont vraies toutes les deux si et seulement siP ? Qest vraie. Exercice 6Quelle est la r´eciproque de l"assertionTout professeur a ´et´e ´etudiant?Solution de l"exercice 6.R´eciproque.
Toute personne ayant ´et´e ´etudiant est professeur. Contrapos´ee. SoientPetQsont des assertions. On appelle l"assertion nonQ ?nonPla contrapos´eedeP ? Q. Proposition 7SoientPetQdes assertions. L"assertion(nonQ)?(nonP)est synonyme deP ? Q.
Preuve.Donn´ee en exercice plus loin.Remarque 8Les symboles?,?,?,?ne sont pas des abbr´eviations `a ins´erer dans un texte. Ils
n"ont leur place que dans des formules math´ematiques.Fin du coursn01 21.4 Ambigu¨ıt´es du langage courant
Ci-dessous, une liste de termes du langage courant et leur traduction (parfois probl´ematique) en formule math´ematique. Si. La phraseles ´etudiants viennent voir le prof s"ils n"ont rien comprispeut avoir plusieurssens suivant le contexte. Pour le prof surmen´e qui manque de temps apr`es un cours, ¸ca peut vouloir
dire :ne viennent me voir aujourd"hui que les ´etudiants qui n"ont rien compris. Pour un prof quitravaille dans des conditions normales, ¸ca devrait vouloir dire :tout ´etudiant qui ne comprend pas
devrait venir me voir. La version speed´ee se traduit par vient me voir aujourd"hui?n"a rien compris.La version cool par
n"a rien compris?vient me voir aujourd"hui, c"est-`a-dire, la r´eciproque. On nage en pleine confusion. En math´ematiques, pour ´eviter toute confusion,siP, alorsQest synonyme de (P ? Q).Psi et seulement siQest synonyme de (P ? Q). Pour. A la questionpour quelles valeurs deaa-t-ona2< a?, je r´epondspour0< a <1.Est-ce que ¸ca veut dire
(0< a <1)?(a2< a) ? ou plutˆot (a2< a)?(0< a <1) ? ou (a2< a)?(0< a <1) ? Pour ˆetre pr´ecis, je dois r´epondreon aa2< asi et seulement si0< a <1.Contraire. Traduire par n´egation?
"- J"ai dit que le groupe jaune est convoqu´e `a 14h cet apr`es-midi. - Non, vous avez dit le contraire, vous avez dit que c"est le groupe rouge." Donc le contraire de (?x? {´etudiants})((x? {jaune)?(rendez-vous = 14h)) est (?x? {´etudiants})((x /? {jaune)?(rendez-vous = 14h))? Rien `a voir avec une n´egation.Eviter d"utiliser le motcontraire.
Il fautouIl suffit?
"- Comment je vais montrer que ((x2+x+ 1< y)?(1x2+x+1>1y
- Tu sait prendre l"inverse d"une in´egalit´e entre nombres positifs? - Ben oui. - Y faut donc que tu montres d"abord quex2+x+ 1 est toujours positif."En r´ealit´e, ilsuffitquex2+x+ 1>0 pour que l"implication `a d´emontrer soit vraie. En effet,
(?x?R)(?y?R) ((x2+x+ 1>0)?((x2+x+ 1< y)?(1x2+x+ 1>1y
SiP ? Q, ilsuffitquePsoit vraie pour queQsoit vraie, et ilfautqueQsoit vraie pour que Psoit vraie. On dit parfois quePest une condition suffisante pourQ, et queQest unecondition n´ecessairepourP. Par exemple,avoir au moins 18 ansest une condition n´ecessaire pouravoir le permis de conduire, mais ce n"est pas suffisant.Exercice 9DansQ,ˆetre positif ou nulest-il
3 - une condition n´ecessaire, - une condition suffisante, - une condition n´ecessaire et suffisante pourˆetre un carr´e? Et si on remplaceQparR? parC? Solution de l"exercice 9.Condition n´ecessaire ou suffisante.SurQ, c"est une condition n´ecessaire (car un carr´e est toujours positif ou nul) mais non suffisante
(car 2 n"est pas le carr´e d"un rationnel, bien qu"il soit positif ou nul). SurCc"est une condition suffisante, puisque tout nombre complexe est le carr´e d"un nombre complexe, mais ce n"est pas necessaire (¸ca n"a mˆeme pas de sens). SurR, c"est une condition n´ecessaire et suffisante.1.5 Op´erations sur les assertions
On rassemble une s´erie de recettes qui rendent les exercices en partie m´ecaniques.1.5.1 R`egles relatives `a la n´egation
- non(x < y), c"est (x≥y). - SoitP(x) une assertion d´ependant d"une variable librex. Alors non((?x?E)P(x)), c"est (?x?E)(nonP(x)). - Pour toute assertion, non(nonP) =P. Une assertionPest vraie si et seulement si nonPest fausse. On peut donc voir la n´egationcomme une "porte logique" qui ´echange vrai et faux. On peut le repr´esenter par la petite tablePVF
nonPFV.Exercice 10Ecrire la formulePqui dit que le carr´e de tout nombre r´eel est positif ou nul, ainsi
que sa n´egation. Solution de l"exercice 10.N´egation `a un quantificateur.P: (?x?R)(x2≥0),nonP: (?x?R)(x2<0).
Exercice 11Ecrire sous forme de formule math´ematique l"assertionTout r´eel poss`ede un oppos´e
ainsi que sa n´egation. Solution de l"exercice 11.N´egation `a deux quantificateurs. (?x?R)(?y?R) (x+y= 0).Sa n´egation est
(?x?R)(?y?R) (x+y?= 0).1.5.2 R`egles relatives `a la conjonction et
On peut le voir leetcomme la "porte logique" qui retourne vrai exactement lorsquePetQ sont vraies. Cela donne la tablePetQ:VF
VVF FFF.R`egles : SiP,QetRsont des assertions,
- (PetQ) = (QetP), - ((PetQ) etR) = (Pet (QetR)), ce qu"on peut donc ´ecrire (PetQetR) sans ambigu¨ıt´e. 41.5.3 R`egles relatives `a la disjonction ou
On peut le voir leoucomme la "porte logique" qui retourne vrai exactement lorsque l"une des assertionsPetQest vraie, ou lorsque les deux sont vraies. Cela donne la tablePouQ:VF
VVV FVF.R`egles : siP,QetRsont des assertions,
- non(PetQ) = (nonP) ou (nonQ), - non(PouQ) = (nonP) et (nonQ), - (Pou (QouR)) = ((PouQ) ouR) ce qu"on peut donc ´ecrire (PouQouR), - (Pet (Qou R)) = ((PetQ) ou (PetR)), - (Pou (Qet R)) = ((PouQ) et (PouR)).Exercice 13Ecrire la table de v´erit´e de l"op´eration qui a des assertionsPetQassocie l"assertion
(nonP)ouQ. Solution de l"exercice 13.Table deP,Q ?→(nonP)ouQ. (nonP) ouQ:VF VVV FFV.1.5.4 R`egles relatives `a l"implication
L"implication peut ˆetre vue comme la porte logique qui retourne faux exactement quandPest vraie maisQfausse.Cela correspond `a la table
P ? Q:VF
VVV FFV. Proposition 14Quelques soient les assertionsPetQ, l"assertionP ? Qest ´equivalente `a l"assertion(nonP)ouQ. Par cons´equent, sa n´egation est non(P ? Q)?(Pet(nonQ)). Exercice 15Ecrire la n´egation de la formule 4 qui exprime le fait qu"un rationnel strictement positif a toujours un entier au-dessus de lui. Solution de l"exercice 15.N´egation d"une implication. Exercice 16SoientPetQdes assertions. Les assertionsP ? Qet(nonQ)?(nonP)sont´equivalentes.
Solution de l"exercice 7.Contraposition.
((nonQ)?(nonP))?(Qou (nonP))?((nonP) ouQ)?(P ? Q). 52 Diff´erents types de raisonnement
Un th´eor`eme n"est rien d"autre qu"une assertion compl`ete, dont on affirme qu"elle est vraie, en
s"appuyant sur une d´emonstration.Une d´emonstration de l"assertionP, c"est la mise en oeuvre d"une succession de d´efinitions, de
r`egles ou de th´eor`emes connus permettant de d´eduire quePest vraie. On d´ecrit diff´erentes fa¸cons
typiques d"organiser une d´emonstration.2.1 Raisonnement direct
Exercice 17Pour tout rationnel strictement positif, il existe un entier strictement plus grand que lui. On aura besoin de l"´ecriture d"un rationnel sous forme de fractionirr´eductible. Rappel 18Un nombrerationnelest le quotient de deux entiers. L"ensemble des nombres ration- nels est not´eQ. Tout rationnelr?Qs"´ecrit de mani`ere uniquer=pq avecq >0etpetqn"ont pas de diviseur commun (autre que±1).Solution de l"exercice 17.Toujours plus haut.
Soitx?Q. Il existe des entierspetqavecq >0 tels quex=pq (propri´et´e deQ). Commeqest entier strictement positif,q≥1 (propri´et´e deN).Alorsp=xq≥x(r`egle).
En particulier,p >0 (r`egle).
D"o`u 2p > p(r`egle).
Il vient 2p > x(r`egle).
Comme 2p≥0 (r`egle),
on remarque que 2p?N(d´efinition deZ). On conclut que le double du num´erateurn= 2pconvient.2.2 Disjonction de cas
Exercice 19En se ramenant au cas des rationnels positifs, montrer que pour tout rationnel, il existe un entier plus grand que lui. Solution de l"exercice 19.Propri´et´e archim´edienne deQ.On distingue deux cas.
Ou bienx >0. Dans ce cas, on applique l"exemple 17, qui fournit l"entier cherch´e.2.3 Raisonnement par contrapos´ee
Pour d´emontrer une assertion du typeP ? Q, il suffit de d´emontrer sa contrapos´ee nonQ ? nonP. Exercice 20Montrer que sixetysont des r´eels distincts de 1, et six?=y, alors1x-1?=1y-1.Solution de l"exercice 20.Contraposition.
La contrapos´ee de l"´enonc´e estsixetysont des r´eels distincts de 1, et si1x-1=1y-1, alors
x=y. Et c"est vrai, car1x-1=1y-1?x-1 =y-1?x=y.
62.4 Raisonnement par l"absurde
Exercice 21Montrer que⎷2n"est pas rationnel.
Solution de l"exercice 21.
⎷2est irrationnel. Par l"absurde. Supposons⎷2 rationnel. Alors il existe des entierspetqsans diviseurs communs tels que⎷2 = pq . On l"´ecritp2= 2q2. On remarque que sipest impair,p2est aussi impair. Doncforc´ementpest pair,p= 2p?. Alorsq2= 2p?2. Pour la mˆeme raison,qest pair,q= 2q?. Cela signifie
quepetqadmettent 2 comme diviseur commun, contradiction. On conclut que⎷2 est irrationnel.2.5 Utiliser un contre exemple
Pour d´emontrer une assertion du type (?x?E)P(x), il suffit de donner un exemple d"unxqui convient. En passant `a la n´egation, pour d´emontrer qu"une assertion du type (?x?E)P(x) est fausse, il suffit de donner un exemple d"unxqui ne convient pas. On appelle cela uncontre-exemple `a la propri´et´eP. Exercice 22L"assertiontout entier positif est somme de trois carr´esest-elle vraie? fausse? Solution de l"exercice 22.Sommes de trois carr´es.Sachant qu"il n"y a que deux carr´es non nuls inf´erieurs ou ´egaux `a 7, `a savoir 1 et 4, le nombre
7 n"est pas somme de trois carr´es. Cela prouve que l"assertion est fausse.Fin du coursn02
2.6 Raisonnement par r´ecurrence
Exercice 23Pourn?N, on noteP(n)l"assertionn!≥2n. Montrer queP(n)est vraie `a partir d"un certain rang. Lequel?Solution de l"exercice 23.R´ecurrence.
Supposons queP(n) est vraie. Alors
(n+ 1)! = (n+ 1)n! ≥(n+ 1)2n ≥22n = 2 n+1, pourvu quen≥1. Autrement dit, (?n?N) ((n≥1)?(P(n)? P(n+ 1))). Est-ce que cela suffit `a montrer queP(n) est vraie pour toutn≥1?P(0) s"´ecrit 1 = 0!≥20= 1, c"est vrai. Malheureusement, on n"a pas su d´emontrer l"assertion
(P(0)? P(1)). D"ailleurs, elle est fausse. En effet,P(1) s"´ecrit 1 = 1!≥21= 2, c"est faux.
P(2) s"´ecrit 2 = 2!≥22= 4, c"est faux.
P(3) s"´ecrit 6 = 3!≥23= 8, c"est faux.
P(4) s"´ecrit 24 = 4!≥24= 16, c"est vrai. Ouf!On conclut queP(n) est vraie pour toutn≥4.
73 A retenir/`a savoir faire
A retenir
- On s"efforce de n"´ecrire que des assertionscompl`etes. - Changer la nature ou l"ordre des quantificateurs change le sens de l"assertion. - En math´ematiques, le motsia un sens pr´ecis. - Attention `a la traduction math´ematique du motpour. - Les termesil fautetil suffitne sont pas interchangeables.-Si et seulement sirecouvre deux ´enonc´es, et requiert deux d´emonstrations, une implication
et sa r´eciproque.A savoir faire
- D´echiffrer une assertion math´ematique pr´esentant des quantificateurs. - Traduire une phrase du langage courant en assertion math´ematique.- Ecrire la n´egation, la contrapos´ee et la r´eciproque d"une assertion, sans les confondre.
- R´ediger un raisonnement par l"absurde, un raisonnement par r´ecurrence. 8quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13