TD n 1: Logique et raisonnement

2 2 1Le raisonnement direct C'est le type de raisonnement le plus courant et le plus intuitif Une manière de démontrer l'implication P)Q est de commencer par l'hypothèse sup-posons que Pest vraie , et au terme d'un raisonnement déductif, obtenir alors Qest vraie Méthode 2 3 (Raisonnement direct) 18 Cours ECS1

BASES DU RAISONNEMENT - Université Paris-Saclay

Exercice 10 Ecrire la formule P qui dit que le carr´e de tout nombre r´eel est positif ou nul, ainsi que sa n´egation Solution de l’exercice 10 N´egation a un quantiﬁcateur P : (∀x ∈ R)(x2 ≥ 0), nonP : (∃x ∈ R)(x2 < 0) Exercice 11 Ecrire sous forme de formule math´ematique l’assertion Tout r´eel poss`ede un oppos´e

Prol egon emes : Quelques m ethodes de raisonnement 1

Prol egon emes : Quelques m ethodes de raisonnement 1 Raisonnement direct On proc ede par substitution d’ egalit es Exemple : Montrer que 8n 2N, 8 n(n+ 1) 2 + 1 est un carr e Preuve1: 8 n(n+ 1) 2 + 1 = 4n 2+ 4n+ 1 = (2n+ 1) 2 Raisonnement par disjonction de cas On s epare les donn ees en di erentes classes possibles selon leur comportement

TD- LOGIQUE ET RAISONNEMENTS PROF : ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF

Exercice 53 : A l’aide de la méthode des tables de vérité, dites si la formules PouP est une tautologies Exercice 54 : 1 (Raisonnement direct) Soient ab ; Montrer que si abd alors 2 ab ab dd et 0ddab b 22 (Cas par cas) Montrer que pour tout n n n ;1 est divisible par 2 (distinguer les n pairs des n impairs) 4 (Absurde) Soit n Montrer

TD n 1: Logique et raisonnement

Exercice 1 Montrer, sans calculatrice, que – Utiliser un raisonnement direct Indications 1,2,3,6 et 7 : Raisonner par équivalence

Logique et Alg ebre 1 Exercices { Feuille 1

Exercice 6 D emontrer les assertions suivantes (1) (Raisonnement direct) Soient a;b2R + Montrer que, si a b, alors a a+b 2 bet a p ab b (2) (Cas par cas) Montrer que pour tout n2N, n(n+ 1) est divisible par 2 (distinguer les n pairs des nimpairs) (3) (contrapos ee ou absurde) Soient a;b2Z Montrer que, si b6= 0, alors a+ b p 2 62Q (on

TD- LOGIQUE ET RAISONNEMENTS PROF : ATMANI NAJIB 1BAC BIOF

Exercice 53 : A l’aide de la méthode des tables de vérité, dites si la formules PouP est une tautologies Exercice 54 : 1 (Raisonnement direct) Soient ab ; Montrer que si abd alors 2 ab ab dd et 0ddab b 2 (Cas par cas) Montrer que pour tout n n n;1 est divisible par 2 (distinguer les n pairs des n impairs) 4 (Absurde) Soit n Montrer

Cours LOGIQUE ET RAISONNEMENTS PROF 1BAC

pour les autres On parle de raisonnement Les mathématiques sont un langage pour s’exprimer rigoureusement, adapté aux phénomènes complexes, qui rend les calculs exacts et véritables Le raisonnement est le moyen de valider ou d’inﬁrmer une hypothèse et de l’expliquer 1 PROPOSITION :

Chapitre 1 Logique et raisonnements - Éditions Ellipses

Mise en œuvre : exercice 1 5, exercice 1 6 M´ethode 1 3 — Comment d´emontrer une proposition par l’absurde Pour d´emontrer qu’une proposition P est vraie, on peut utiliser un raisonnement par l’absurde Pour cela, on suppose que P est fausse et on d´emontre que l’on aboutit alors `a une contradiction

[PDF] contre exemple math

[PDF] les types de raisonnement pdf

[PDF] modèle moléculaire du méthane

[PDF] molecule de l air

[PDF] molécule de l'oxygène

[PDF] n2 molécule

[PDF] raisonnement par contre exemple

[PDF] raisonnement par absurde

[PDF] raisonnement par disjonction de cas

[PDF] bilan énergétique de la glycolyse

[PDF] glycolyse aérobie

[PDF] glycolyse anaérobie

[PDF] glycolyse étapes

[PDF] formule semi développée du fructose

[PDF] qu est ce qu un atome

. Lycée JoffreAnnée 2016-2017

PCSI 1. Feuille 1

TD n

◦1: Logique et raisonnement .1.Montrer des implications ou des équivalencesExercice 1Montrer, sans calculatrice, que⎷

2?3⎷

Exercice 2Montrer, sans calculatrice, que⎷

52?2
⎷3.

Exercice 3Soitn?N?. Montrer que⎷

n+ 1-⎷ n?1

2⎷

n?⎷ n-⎷ n-1.

Exercice 4Soit(a,b,c,d)?Q. Montrer quea+b⎷

2 =c+d⎷

2?b=deta=c.

Exercice 5Soit(a,b,c,d)?Q. Montrer quealn2 +bln3 =cln2 +dln3?b= deta=c.

Exercice 6Soitz?C, montrer quez?iR? |z-1|=|z+ 1|.

Exercice 7Soitz?C, montrer queRe(z) =Im(z)? |z-1|=|z-i.|

2.Raisonner par l"absurdeExercice 8Montrer queln(2)

ln(3)/?Q.

Exercice 9Montrer que⎷3/?Q.

Exercice 10Soitn?N?. On répartit au hasardn+ 1chaussettes dansntiroirs. Montrer qu"il existe au moins un tiroir contenant deux chaussettes. Exercice 11Une classe contient 40 élèves. Montrer qu"il existe au moinsquatre

élèves nés le même mois.

Exercice 12Soientaetbdeux rationnels strictement positifs. On suppose que⎷ a et⎷ bsont irrationnels. Montrer que⎷ a+⎷ best irrationnel. Exercice 13(?)Montrer qu"il n"existe pas d"entiers strictement compris entre⎷ n+⎷ n+ 1et⎷

4n+ 2.

Exercice 14Montrer qu"il n"existe pas d"entier strictement compris entre? n(n+ 2)et(n+ 1).Exercice 15Soientr?Qetx /?Q. Montrer quer+x /?Q. Exercice 16Soientr?Qetx /?Q. Montrer querx?Q?r= 0. Exercice 17Soitfla fonction définie parf(x) =ax+ 1aveca?R. Montrer que sifne change pas de signe alorsa= 0. Exercice 18Soitnun entier naturel. Montrer quen2impair impliquenimpair.

3.Raisonner par récurrenceExercice 19Pour toutn?N?, on poseSn= 1·2+2·3+···+(n-1)·n.

Démontrer que l"on aSn=1

3n(n-1)(n+ 1).

Exercice 20Pour toutn?N?, on poseSn= 13+ 23+···+n3. Démontrer que l"on aSn=?n(n+1) 2? 2. Exercice 21Soient(x1,...,xn)des réels appartenant à[0,1]. Montrer que : Exercice 22On considère la suite(vn)n?Ndéfinie parv0= 1,v1= 3et v n+2= 4vn+1-4vn. Montrer que?n?N,vn= 2n? 1 +n 2? Exercice 23On considère la suite définie parun+2= 3un+1-2un,u0= 1et u

1= 1 +α,α?R. Montrer que?n?N,un= 1-α+α2n.

Exercice 24Soitu0= 2,u1= 5et?n?N,un+2= 5un+1-6un. Montrer que ?n?N,un= 2n+ 3n. Exercice 25(?)Montrer que pour tout entiern?N?, il existe(m,q)?N2tel quen= 2mqavecqimpair.

4.Raisonner par analyse/synthèse

Exercice 26Montrer que toute fonction continue s"écrit comme la somme d"une fonction linéairex?→axet d"une fonction dont l"intégrale entre 0 et

1 est nulle.

Exercice 27Montrer que toute fonction deRdansRs"écrit comme la somme d"une fonction s"annulant en 0 et d"une fonction constante. Exercice 28Montrer que tout polynôme s"écrit comme la somme d"un polynôme s"annulant en 1 et d"un polynôme constant.

Exercice 29Soitu?C. Montrer que|u|= 1? ?z?C?,u=

zz. Exercice 30Déterminer l"ensemble des réelsxtels quex+ 1 =⎷ x+ 3. Exercice 31(?)Soitnun entier naturel non nul. Montrer que sin= 4mavec mun nombre premier impair, alors il s"écrit comme la différence de deux carrés de même parité. Memo

Comment montrer une propriété?

-Utiliser un raisonnement direct -Raisonner par équivalence -Raisonner par l"absurde -Raisonner par analyse/synthèse

Comment montrer une implication ?

-Utiliser un raisonnement direct -Raisonner par l"absurde -Raisonner par contraposée

Comment montrer une équivalence?

-Raisonner par équivalence -Raisonner par double implication Comment montrer une propriété valable pour tout entier? -Faire une récurrence -Utiliser un raisonnement direct

Indications

1,2,3,6 et 7: Raisonner par équivalence.

4Raisonner par double implication et utiliser le fait que⎷

2/?Q.

5Raisonner par double implication et utiliser le fait queln2ln3/?Q.

8,9,10,11,12 et 15:Raisonner par l"absurde.

13Raisonner par l"absurde puis par équivalence.

14Raisonner par l"absurde puis par équivalence.

16Supposerr= 0puisr?= 0.

17Supposera?= 0et trouver deux images de signes opposés.

18Montrer la contraposée.

19,20 et 21Raisonner par récurrence surn.

22,23,24 et 25Raisonner par récurrence forte surn.

26Supposer que c"est le cas et déterminer la valeur dea.

27Supposer que c"est le cas et déterminer la fonction constante.

28Supposer que c"est le cas et déterminer le polynôme constant.

29Écriveru=eiθetz=reiρet trouver une condition nécessaire surz.

30Supposer qu"un telxexiste et regarder ce que cela implique, en gardant en tête

le fait quexest alors positif.

31Supposer que4m=a2-b2et déterminer les valeurs possibles pouraetb.

quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] TD n 1: Logique et raisonnement