raisonnement disjonction cas - pagesperso-orangefr
Raisonnement par disjonction des cas Soit P et Q deux propositions Pour montrer que « P ⇒ Q» , on sépare l’hypothèse P de départ en différents cas possibles et on montre que l’implication est vraie dans chacun des cas Exemple 1 On montre, par disjonction des cas, la proposition : «Pour tout entier n, n(n +1) 2 est un entier »
Raisonnement 1 Différents types de raisonnements
1 Différents types de raisonnements 1 1 Par disjonction des cas Pour démontrer une propriété, il est parfois nécessaire d’étudier cas par cas On peut par exemple étudier 2 cas : x = 0 et x 6= 0 Ce raisonnement est appelé "disjonction des cas" Pour démontrer P =⇒ Q, on décompose en n sous-cas et on démontreP 1 =⇒ Q, P 2
Chapitre 1 Logique et raisonnements
et 1 > 0 Par cons´equent, (x−2)2 +1 > 0, c’est-`a-dire x2 −4x+5 > 0 Mise en œuvre : tous les exercices M´ethode 1 2 — Comment d´emontrer une proposition par disjonction de cas On est parfois amen´e `a distinguer plusieurs cas pour d´emontrer qu’une proposition est vraie C’est le principe d’une d´emonstration par
Thème : Divers types de raisonnements
è Raisonnement par disjonction de cas è Prise d’initiative è Calcul d’angle Exercice 2e - Montrer que toute fonction f sur R s’écrit de manière unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire è Démonstration è Voir un raisonnement différent de l’habitude è Parité des fonctions è Prise d’initiative
Pour tous ces exercices , faire l’effort d’appliquer le
Exercices sur les différents types de raisonnements Pour tous ces exercices , faire l’effort d’appliquer le raisonnement demandé Exercice 1 Montrer par disjonction des cas que pour tout n , n (n +1 ) est un entier pair Exercice 2 1) Montrer en utilisant la contraposée que si 7 divise x² + y² alors 7 divise x et 7 divise y
CH I : Logique et raisonnements mathématiques
On procède alors par disjonction de cas sur la valeur de vérité (par exemple)dep sipestvraie:alorsqOU restfausse Ainsi,qetrsontfausses OnendéduitquepET qetpET rsontfausses Ainsi,laproposition(pET q) OU (pET r) estfausse sipestfausse:alorspET qestfausseetpET restfausse Ainsi,laproposition(pET q) OU (pET r) estfausse
Logique et raisonnements - Site de Tatiana Audeval
2 2 1Le raisonnement direct C'est le type de raisonnement le plus courant et le plus intuitif Une manière de démontrer l'implication P)Q est de commencer par l'hypothèse sup-posons que Pest vraie , et au terme d'un raisonnement déductif, obtenir alors Qest vraie Méthode 2 3 (Raisonnement direct) 18 Cours ECS1
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[PDF] raisonnement par implication
[PDF] raisonnement par équivalence définition
[PDF] raisonnement par l'absurde exercices
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS3??
Le d'exposer théorie ?les incontournables ?manipuler les quantificateurs ?raisonner par implication ou par ´equivalence ?utiliser un raisonnement par l"absurde ou par contraposition ?effectuer un raisonnement par r´ecurrence simple ou double ?et plus si affinit´es ?appliquer une r´ecurrence forte ?raisonner par analyse-synth`ese ??4CHAPITRE 1Manipulerȱlesȱquantificateurs.ȱ
R´esum´e de cours
?Notions de logiqueD´efinition : Proposition -.Uneproposition(ou assertion) est un ´enonc´e math´ematique qui
peut prendre deux valeurs : vrai (V) ou faux (F). D´efinition : N´egation d"une proposition -.Soitune proposition. On appellen´egationde et on note la proposition d´efinie par : ? est vraie lorsqueest fausse; ? est fausse lorsqueest vraie. D´efinition : Conjonction de deux propositions -.Soitetdeux propositions. On appelle conjonction deetla proposition not´ee , et d´efinie de la mani`ere suivante : ? est vraie lorsqueetsont vraies; ? est fausse lorsque l"une au moins des deux propositions est fausse. D´efinition : Disjonction de deux propositions -.Soitetdeux propositions. On appelle disjonction deetla proposition not´ee , et d´efinie de la mani`ere suivante : ? est vraie lorsque l"une au moins des deux propositions est vraie; ? est fausse lorsqueetsont fausses. D´efinition : Implication -.Soitetdeux propositions. On appelle implication deparla proposition . Cette proposition se note.Vocabulaire :la propositionse lit
impliqueou encoresialors Remarque :lorsqueest vraie, on dit queest unecondition suffisantepour avoir, ou queest unecondition n´ecessairepour avoir. D´efinition : R´eciproque -.Soitetdeux propositions. On appelle r´eciproque de l"implication.D´efinition :
´Equivalence -.Soitetdeux propositions. On appelle ´equivalence deetla propositionet. Cette proposition se note.Vocabulaire :la propositionse lit
si et seulement si. Remarque :lorsqueest vraie,est unecondition n´ecessaire et suffisantepour avoir . Ainsi, les ´equivalences sont les conditions n´ecessaires et suffisantes. Table de v´erit´e des connecteurs logiques : PQVVFVVVV
VFFFVFF
FVVFVVF
FFVFFVV
LOGIQUE ET RAISONNEMENTS5??
Remarque :d"apr`es cette table de v´erit´e, sietsont vraies alorsest vraie. C"est le principe de d´eduction D´efinition : Contrapos´ee -.Soitetdeux propositions. On appelle contrapos´ee de l"implica- tionl"implication T h ´e o r `e m e 1 . 1 . -Soitetdeux propositions. L"implicationet sa contrapos´ee sont´equivalentes. Autrement dit :
Proposition 1.2.-Soitetdeux propositions. Alors :
?QuantificateursD´efinition :Soit()une propri´et´e d´ependant d"un param`etre, o `uest un ´el´ement d"un en-
semble.Quantificateur universel :Pour signifier que la propri´et´e()est vraie pour tous les ´el´ements
de, on ´ecrit : Le symboleest appel´equantificateur universelet se litquel que soit. Quantificateur existentiel -.Pour signifier que la propri´et´e()est vraie pour au moins un ´el´ementde, on ´ecrit : Le symboleest appel´equantificateur existentielet se litil existe. Proposition 1.3.- N´egation des propositions avec quantifi cateurs -. ?La n´egation de la proposition ()est: () ?La n´egation de la proposition ()est: () Remarque :attention, l"ordre des quantificateurs est tr`es important. Lorsque plusieurs quantifi- cateurs apparaissent dans une proposition, on ne peut pas intervertir leur ordre sans changer (en g´en´eral) le sens de la proposition. Pour s"en convaincre, on pourra consulter leVrai/Faux. ??6CHAPITRE 1 ?Raisonnement par r´ecurrence Th´eor`eme 1.4.- Propri´et´e fondamentale de-.Toute partie non vide deadmet un plus petit ´el´ement. Th´eor`eme 1.5.- Principe de r´ecurrence -.Soit() une proposition d´ependant de, et 0 . Si